必修4高三数学第2章-平面向量向量的数量积复习课课件.ppt

1、高三数学组高三数学组 倪杰倪杰2023年4月28日星期五4OBAFEDCFF2？书山有路书山有路勤乐径，勤乐径，学海无涯学海无涯苦趣舟。苦趣舟。书到用时书到用时 方恨少，方恨少，事非经过事非经过不知难。不知难。名句名句 欣赏欣赏3背景背景 平面向量平面向量 几何表示几何表示 符号表示符号表示 坐标表示坐标表示 向量的运算向量的运算 加法加法 数量积数量积 向量的应用向量的应用 数乘数乘 减法减法 第二章第二章 平面向量知识网平面向量知识网i ii ii ii ii i4 已知已知两个非零两个非零向量向量 a 和和 b，它们的夹角为它们的夹角为,我们把数量我们把数量|a|b|cos叫做叫做 a

2、和和 b的的数量积数量积(或内或内积积)，记作记作:a b=|a|b|cos.同时规定同时规定:0与任何向量的数量积为与任何向量的数量积为0，即，即 0 a=0.2.4 向量的数量积向量的数量积对于两个对于两个非零非零向量向量 a 和和 b，作，作OA=a,OB=b，则则AOB=(001800)叫做向量叫做向量a和和b的夹角的夹角.特别地，当向量特别地，当向量 a 和和 b 的夹角分别等于的夹角分别等于00，1800和和900 时，两个向量分别是时，两个向量分别是同向、反向和垂同向、反向和垂直，直，向量向量a与与 b垂直，记作垂直，记作ab.(1)ba(2)ba(3)ba001800900注意

3、上述定义中注意上述定义中两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的.5设向量设向量 a，b，c 和实数和实数，则向量的数量的积，则向量的数量的积满足下列运算率满足下列运算率:a b=b a；(a)b=a (b)=(a b)=a b；(a+b)c=a c+b c.(数乘数乘结合律结合律)(交换律交换律)(分配律分配律)当当 a，b同向时，同向时，a b=|a|b|；a，b反向时，反向时，a b=|a|b|.说明：说明：(1)一般地，一般地，(a b)c a(b c).(2)a cb c，c0 ab.(3)有如下常用性质：有如下常用性质：a 2|a|2；(ab)(cd)a ca d b cb d；(

4、ab)2a 22 a bb2.6对定义的诠释对定义的诠释:尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的，尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了，一般地但是，它已经是一种抽象的数学运算了，一般地,它已经不具有它已经不具有“求功求功”的具体意义的具体意义.在引入向量的在引入向量的数量积以后，物理学中功的概念数量积以后，物理学中功的概念就可以用就可以用两个向量数量积是两个向量数量积是一个实数一个实数，这与向量的加法，这与向量的加法、减法和数乘运算、减法和数乘运算(向量向量)是不同的是不同的.数学语言数学语言表述为表述为:功就是在力功就是在力F与其作用下物体产与其作用下物

5、体产生的位移生的位移s 的数量积，即的数量积，即 W=F s.注意注意:0 a=0，等式右边的零是一个等式右边的零是一个实数实数，而，而不是零向量；符号不是零向量；符号“”在向量运算中不是乘号，在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用既不能省略，也不能用“”代替代替.7数量积的重要性质数量积的重要性质当当 a 与与 b 同向时，同向时，a b|a|b|当当a与与b反向时，反向时，a b|a|b|ab x1x2 +y1 y2=0；a b|a|b|cos|a bab 2a aa 特别地，特别地，a a|a|2或或|a|设设a与与b都是非零向量，都是非零向量，e 是单位向量，是单位向量，0 是是a

6、与与 e 夹角，夹角，是是a 与与 b夹角夹角.e aa eacos0 ab a b0 即即 a/b|a b|a|b|；22|a|xy.221212AB=(xx)(yy)121222221122x xy ycos.x+yx+ya/bx1y2x2y1=0；a/ba=b；8B1OABabOABab|b|cos叫做向量叫做向量 b 在在 a 方向上投影，它是方向上投影，它是数量，当是数量，当是锐角锐角时，时，OB1与与 a 同向，投影为同向，投影为正值；正值；当是当是钝角钝角时，时，OB1与与 a 反向，投影为反向，投影为负值负值;当当 a 与与 b互相垂直互相垂直时，时，投影为投影为 0.OABa

7、bB1 由此可知由此可知a b的几何意义是的几何意义是:数量积数量积a b等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 方向上投影方向上投影|b|cos的乘积；的乘积；或等于或等于b 的长度的长度|b|与与 a 在在 b方向上投影方向上投影|a|cos的的乘积乘积.向量向量 b 在在 a 方向上投影方向上投影91.判断下列命题的真假判断下列命题的真假，并简要说明理由，并简要说明理由.向量的数量积可以是任何实数向量的数量积可以是任何实数.若若 a=0，则对任何向量，则对任何向量 b，有，有a b=0.若若a 0，则对任何向量，则对任何向量 b，有，有a b 0.如果如果a b 0，那么，那

8、么a 与与 b的夹角为锐角的夹角为锐角.若若a 0，a b=0，则则 b=0.若若b 0，a b=b c，则则 a=c.真真假假假假假假假假假假真真真真 若若 a b|a|b|，则则 a/b.若若|a+b|=|ab|，则，则 ab.假假|a b|a|b|；|ab|a|b|cos|a|b|,这里这里是是a与与b的夹角，只的夹角，只有有0或或时，才有时，才有|a b|a|b|；应用举例应用举例10假假对任意向量对任意向量 a，b，c 都有都有(ab)ca(bc)；2举反例如下举反例如下:已知已知|a|1，|b|1，|c|，a 与与 b夹角是夹角是600，b与与 c 夹角是夹角是450，则：则：(a

9、 b)c(|a|b|cos600)c c，a(b c)(|b|c|cos450)a a而而 c a，故故(a b)c a (b c).对于对于若若 a 与与 c 共线，记共线，记 ac.则则a b(c)b (c b)(b c)，(a b)c(b c)c(b c)c(b c)a 若若 a 与与 c 不共线，则不共线，则(a b)c(b c)a.2.已知已知|a|=4，|b|=6，a 与与 b的夹角为的夹角为600，求求(1)a b；(2)a(a+b)；(3)(2ab)(a+3 b).(1)12；(2)28；(3)16.11 3.已知向量已知向量 a 与与 b的夹角为的夹角为，|a|=2，|b|=

10、3，分分别在下列条件求别在下列条件求 a b:(1)=1350；(2)a/b；(3)a b.解解:(1)a b=|a|b|cos=23cos1350=32.(2)当当a/b时，则时，则=00或或1800，若若=00，a b=|a|b|=6；若若=1800，a b=|a|b|=6.(3)当当 a b 时，时，a b=0.4.已知正已知正ABC的边长为的边长为2，设设 BC=a，CA=b,AB=c，求求 a b+b c+a cABCacb解解 a b=|a|b|cos=4cos1200=2.同理同理 b c=|b|c|cos=4cos1200=2.a c=|a|c|cos1200=2.=6.12A

11、BDC解解 (1)因为因为AD/BC且方向且方向相同，所以相同，所以AD与与BC夹角夹角是是00.所以所以ADBC=|AD|BC|cos00=331=9.5.在在平行四边形在在平行四边形ABCD中，已知中，已知|AB|=4，|AD|=3，DAB=600，求求(1)AD BC；(2)AB CD；(3)AB DA.(2)因为因为AB/CD，且且AB与与CD方向相反的，所以方向相反的，所以夹角是夹角是1800.所以所以ABCD=|AB|CD|cos1800=44(1)=16.(3)因为因为AB与与AD的夹角是的夹角是600，所以，所以AB 与与DA的的 夹角为夹角为1200.ABDA=|AB|DA|

12、cos1200=43(0.5)=6.120013 解解 因为因为a b=2 3+(1)(2)=8，a 2=22+(1)2=5，b 2=32+(2)2=13，所以所以 (3 a b)(a 2 b)=3 a 27 a b+2 b2 =3578+213=15.6.已知已知 a=(2，1)，b=(3，2)，求求(3 a b)(a 2 b).7.求出下面各组两个向量求出下面各组两个向量 a，b的夹角的夹角.(1)a=(，1)，b=(,2)，(2)a=(1，1)，b=(1 ,1+)，332 331200600 8.设向量设向量a，b满足满足|a|=8，|b|=3，a b=12，求求 a 与与 b 的夹角的

13、夹角.60014 9.已知直线已知直线 l1:x2y=0，和和 l2:x+3y=0，求直线求直线 l1和和 l2 的夹角的夹角.解解 在在 l1上取两点，如上取两点，如(2，1)，(0，0)，记向量记向量 a=(2，1)(0，0)=(2，1)；在在 l2上取两点，如上取两点，如(3，1)，(0，0)，记向量记向量 b=(3，1)(0，0)=(3，1).设设 a 与与 b 的夹角为的夹角为，可知可知.a b2 3 1(12cos.2|a|b|510 ）所以所以=，即，即直线直线 l1和和 l2 的夹角为的夹角为 .44几分耕耘，几分收获！几分耕耘，几分收获！1514,15k 故故 k 52+(2

14、k1)54cos600 2 420，所以，当所以，当 时，时，(k ab)(a+2 b).1415k 即即 k a 2+（2k1)a b 2 b 20，(k ab)(a+2 b)0，10.已知已知|a|=5，|b|=4，且且 a 与与 b 的夹角为的夹角为600，问当且仅当问当且仅当 k为何值时，使为何值时，使(k ab)(a+2 b)？解：解：(k ab)(a+2 b)，练习练习 设设 A(2，1)，B(6，3)，C=(0，5)，求证求证:ABC是直角三角形是直角三角形.ABAC=0=ABAC.1611.在在ABC中，设中，设 AB=(2，3)，AC=(1，k),且且ABC是直角三角形，求是

15、直角三角形，求k的值的值.分析分析 题中未明确哪个角是直角，所以要讨论题中未明确哪个角是直角，所以要讨论.解解 若若A=900，则则 ABAC，于是，于是21+3k=0.解得解得2k;3 若若B=900，则则 ABBC，又，又BC=ACAB =(1，k3)，故得故得 2(1)+3(k3)=0.解得解得11k;3 若若C=900，则则 ACBC，故，故2(1)+3(k3)=0.解得解得313k.2 所求的所求的k值为值为211313.332或或17则由已知条件，可得则由已知条件，可得1OD(1,),2OD OEcosDOE=|OD|OE|1111422.555221OE=(1)2，解解 以以OA

16、和和OC所在直线为坐标所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示轴建立直角坐标系，如图所示.12.已知正方形已知正方形OABC的边长为的边长为1，点，点D、E分别为分别为AB、BC的中点，求的中点，求DOE的余弦值的余弦值.ABCDEOxy13.已知已知 ba 且且|b|=2，求向量求向量b的坐标的坐标.a=(35)，解解 设设B(x，y)则则223x5y=0,xy4+且，1062210622（-，）或（，-）.1814.设设 a=(1，2)，b=(3，2)，求，求 (1)|a+b|和和|a b|；(2)k为何值时，向量为何值时，向量 k a+b与与a3 b垂直？垂直？(3)k为何值时，向量为何

17、值时，向量 k a+b与与a3 b平行？平行？(2)k a+b=(k3，2k+2)，a3 b=(10，4)，解解 (1)|a+b|=2 ，|a b|=4；5 (k a+b)(a3b)=2k38=0，k=19；(3)4(k3)=10(2k +2)，k=1.3 15.设设 a=(x，3)，b=(2，1)，若，若 a 与与 b 的夹角的夹角 为钝角，求为钝角，求x的取值范围的取值范围.2a b2x 3cos|a|b|x+95-=，解解2x30,x 6,x1.5且且x 6.因为因为为钝角，所以为钝角，所以cos0，t1t20且且t1t2，所以所以OA=(4t12，4 t1)，OB=(4t22，4 t2

18、)，OM=(x，y)，AB=(4(t22t12)，4(t2t1).因为因为OAOB，所以所以(4t12)(4t22)+(4 t1)(4 t2)=0，由于由于t1 t2 0，可知可知t1t2=1 因为因为OMAB，所以所以 x(4t22 t12)+y(4 t24 t1)=0，由于由于t1 t2，可知可知t1+t2=yx20又因为又因为A，B，C三点共线三点共线，所以所以AM/BM.而而 AM=OMOA=(x4t12，y4t1)，BM=OMOB=(x4t22，y4t2)，由向量共线充要条件，可知由向量共线充要条件，可知 (x4t12)(y4t2)(y4t1)(x4t22)=0，化简得化简得 x(t

19、1+t2)y+4t1t2 =0 将、代入，可得将、代入，可得 (x2)2+y2=4 (x0)，它表示与它表示与轴切于原点的一个圆轴切于原点的一个圆(不包括原点不包括原点).xyO(2，0)说明说明 由于向量既能体现由于向量既能体现“形形”的直观位置特征，的直观位置特征，又具有又具有“数数”的良好运算性质，是数形结合与转的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，而解析几何也具有数形结合与换的桥梁和纽带，而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以，在向量与解析几何知识的交转换的特征，所以，在向量与解析几何知识的交汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个新的亮汇处设计试题已逐渐成为高考命题的一个新的

20、亮点点.基本思路基本思路 将几何问题将几何问题坐标化、符号化、数量化，坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化运算从而将推理转化运算.21 17.四边形四边形A BCD中，中，AB=(6，1)，BC=(x，y)，CD=(2，3)，(1)若若BC/DA，试求，试求 x与与y满足的关系式；满足的关系式；(2)满足满足(1)的同时又有的同时又有ACBD，求求x，y的值及四的值及四 边形边形ACBD的面积的面积.解解 BC=(x，y)，DA=AD=(AB+BC+CD)=(x+4，y2)=(x4，y+2).(1)因因BC/DA，则有，则有 x(y+2)(x4)=0，化简得化简得 x+2y=0.(2)AC=

21、AB+BC=(x+6，y+1)，BD=(BC+CD)=(x2，y3)又又ACBD，则则=(x+6)(x2)+(y+1)(y3)=0，22 化简得化简得 x2+y2+4x2y15=0.22x+2y=0 x=6x=2y=3y=1x+y+4x2y 15=0解解得得或或 联联立立ACBD因因 BC/AD，|BC|AD|，ACBD，故四边形故四边形ABCD为对角线相互垂直的梯形为对角线相互垂直的梯形.当当 x=6，y=3，AC=(0，4)，BD=(8，0)，此时，此时，SABCD=|AC|BD|=16.12 当当 x=2，y=1，AC=(8，0)，BD=(0，4)，此时，此时，SABCD=|AC|BD|=16.1223