微分方程复习课k课件.ppt
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- 微分方程 复习 课件
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1、微分方程微分方程 复习课复习课基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.线性方程线性方程6.6.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容1 1、基本概念、
2、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 一、主要内容一、主要内容通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数,并且微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程
3、的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解,确定了通解中的任意常数以后得到的解,叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题,求微分方程满足初始条件的解的问题,叫初值问题叫初值问题2 2、一阶微分方程及其解法、一阶微分方程及其解法(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(形形如如解法解法 dxxfdyyg)()(2)齐次型方程齐次型方程)(xyfdxdy 形如形如解法解法xyu 令令(分离变量法分离变量法)(变量代换法变量代换法)(3)一阶线性微分方程一阶线性
4、微分方程)()(xQyxPdxdy 形如形如,0)(xQ当当齐次齐次,0)(xQ当当非齐次非齐次.解法解法齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey(使用分离变量法)(使用分离变量法)非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()((常数变易法)(常数变易法)(4)伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()(形如形如)1,0(n时时,当当1,0 n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时,当当1,0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.解法解法 利用变量代换利用变量代换法法化为线性微分方程化为线性微分方
5、程,1 nyz 令令.)1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn变量代换变量代换是解微分方程的重要思想和重要方法是解微分方程的重要思想和重要方法1 1、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法)()1()(xfyn 型型解法解法接连积分接连积分n次,得通解次,得通解),()2(yxfy 型型特点特点.y不显含未知函数不显含未知函数解法解法),(xPy 令令,Py 代入原方程代入原方程,得得).(,(xPxfP ),()3(yyfy 型型特点特点.x不不显显含含自自变变量量解法解法),(xPy 令令,dydpPy 代入原方程代入原方程,得得).,(P
6、yfdydpP 2 2、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构(1 1)二阶齐次方程解的结构)二阶齐次方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy形形如如也也是是解解则则是是解解若若221121,ycycyyy 是是通通解解则则是是两两无无关关解解若若221121,ycycyyy (2 2)二阶非齐次线性方程的解的结构)二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy 形形如如非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解非齐通解非齐通解=齐通解齐通解+非齐特解非齐特解2121)()()(yyyxfxfxf 则若的的特特解解分分别别是是则则的的特
7、特解解是是若若)(),(,)()()(21212121xfxfyyxjfxfxfy jyy 3 3、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.0 qyypy特征方程为特征方程为02 qprr 特征根的情况特征根的情况 通解的表达
8、式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2,1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 推广:推广:阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n01)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(111011104 4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)
9、(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.型型)()()1(xPexfmx ,)(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式,是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk()ln2;xAe2()ln2;xBe()ln2;xCe 2()ln2.xDe(一一)、选择题、
10、选择题20()()ln2.2xtf xfdt的解为B1.满足满足0()()yP x yQ x y1122yC yC y2.设函数设函数y1,y2 都是方程都是方程的解,的解,是此是此方程方程通解。则必有通解。则必有 .1212()0;Ay yy y1212()0;By yy y1212()0;Cy yy y1212()0;Dy yy yD()cos;AxBx()sin;CxDx cossin;AxBx()cos()sin.AxBxCxDx3.微分微分方程方程的特解形式的特解形式是是 .(A)(B)(C)(D)D 4 cosyyxxC20()2().xf xf t dtx的解为21();2xAC
11、ex211();22xBex211();22xCex21().2xDCex4.满足满足()()()yP x yQ x yf x321,CCC5.设线性无关的函数设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程都是方程的解,的解,为任意常数,则其通解为为任意常数,则其通解为 .11223();AC yC yy112233();BC yC yC y1122123()(1);C C yC yCCy1122123()(1);D C yC yCCyCxxxeyxeyey3,2,3216.以以为特解的三阶常系数为特解的三阶常系数的齐次线性微分方程是的齐次线性微分方程是 .0;yyyy0;yyyy0;yyyy0.y
12、yyy(A)(B)(C)(D)D00sin(),().xyyefxf x的的解解,则则在在8.若若 y=f(x)是是 (A)x0的某邻域内单调增加;的某邻域内单调增加;(B)x0的某邻域内单调减少;的某邻域内单调减少;(C)x0处取极小值;处取极小值;(D)x0处取极大值处取极大值.C;xaebxc;xaxebxc();xaxex bxc().xaex bxc 7.微分微分方程方程的一个特解的一个特解是是 .(A)(B)(C)(D)B 2 3xyyyex()lim()0;xAp x()lim();xBp x ()();aCp x dx 收收敛敛()();aDp x dx 发发散散0()dyp
13、x ydxlim()0,xy x 9.设函数设函数p(x)在在 a,+)连续非负,)连续非负,如果微分方程如果微分方程则必有则必有 .的每一个解的每一个解y(x)都满足都满足D(二二)、填空填空题题1.微分微分方程方程的通解是的通解是_(4)20yyy2.微分微分方程方程满足满足y(1)=1的一个特解的一个特解是是 _14dyydxx 3.微分微分方程方程的通解是的通解是_sinxdyydxxdx4.微分微分方程方程有两个解有两个解0yaybycyxex和和,_a ,则_b ,_c .5.以以为特解的最低阶常系数齐次线性为特解的最低阶常系数齐次线性12sin,cos,yxyx微分方程微分方程_
14、切于该点的积分曲线切于该点的积分曲线 2(1)20 xdyxydx的通解为12xy 21Cyx答案:答案:311162yxx答案:答案:6.方程方程7.y =x的经过点的经过点M(0,1),且与直线且与直线 8.通解为通解为 y=C1ex+C2e-2x 的最低阶的齐次线性方程的最低阶的齐次线性方程20yyy答案:答案:1012()(),()f xf ux duf x则则 9.已知已知2()f xCx答案:答案:是是例例 1 求微分方程求微分方程23dyxyxydx的通解.23dyxdxyyxdxyydy232111332(lnln)yyxC13,CCe 则通解为则通解为记记 两边积分得两边积分
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