大学定积分期末复习经典题库课件.ppt
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- 大学 积分 期末 复习 经典 题库 课件
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1、一、求积分的基本方法一、求积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法微积分II总复习三、二重积分的计算三、二重积分的计算四、级数的敛散性与求和四、级数的敛散性与求和五、求解微分方程五、求解微分方程2010级20110607一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法 第六六章 一、一、求不定积分的基本方法求不定积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法xxfd)(第一类换元
2、法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)(tx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的多次分部积分的 规规 律律机动 目录 上页 下页 返回 结束)2()1()(nnnvuvuvux
3、vund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别特别:当 u 为 n 次多项式时,0)1(nu计算大为简便.例例1.求.d4932xxxxx解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1(212221dxx325)1ln(2xxC23机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束 分析分析:5)1ln(d2xx例例3.求.dcos1sinxxxx解解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分抵消机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设,)(2xyxy解解:令,tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d2222 1原式ttttd)1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexee
5、xxd12xxeearctanxeeexxxd1)1(222xxeearctanxCex)1(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求.d)2(23xexxx解解:取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx)13(241xx681Cxxxex)7264(232816161CxxaxaexPxkndcossin)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例7.设,dsecxxInn证证:证明递推公式:)2(12tansec1122nIn
6、nxxnInnnxInn2secxn 2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd)1(secsec)2(22xxntansec2nIn)2(2)2(nInxxdsec2xtan)2(12tansec1122nInnxxnInnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求.d1xx解解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续,)1()1()1(FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221C
7、x利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设 解解:)(xF为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F,0)(xF求.)(xf由题设,)()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F,1)0(2FC0)(xF,因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换
8、三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13xx,)10(dsin122kxxk例例10 求.1d632xxxeeex解解:令,6xet 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d621331362ttttt dtln61ln
9、3t)1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3)1ln()1ln(323机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 求.dsincossincos3xxxxx解解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA,故2,1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA机动 目录 上页 下页 返回 结束
10、例例12.解解:xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsincossincos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(1222机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解:)cos(xu 令令原式 uuud)1)(2(12)1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1l
11、n21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx)1ln(cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxdsin)cos2(sin2一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第七七章 一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 求.d1lim10 xeexxxnn解解:因为 1,0 x时,xxneex10所以x
12、eexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx例例2.d411032xxx估计下列积分值解解:因为 1,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 证明.2d222042exeexx证证:令,)(2xxexf则xxexxf2)12()(令,0)(xf得,21x,1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设)(xf
13、在1,0上是单调递减的连续函数,试证1,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明证明:显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1(1d)(qxxfq)1(q)(1fqq)()1(2fq,01q1,2q10 q当时,)()()1(21ffqq0故所给不等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例例5 解:解:,3)1(,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数,求.)(xf方程两端对 x 求导,得)(yxfyttf1d)(yyfx)(xttf
14、y1d)()(xfy)(yxy令 x=1,得)1(d)()(1fyttfyyfy再对 y 求导,得)1(1)(fyyfy3Cyyf ln3)(,3,1Cy得令3ln3)(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例6ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设 f(x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f(0)=0,得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxc
15、os23ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例7 求多项式 f(x)使它满足方程解解:令,t xu 10302d)1(d)(xxttfttxfx则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d)1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d)1()1(xfxxx443)(xf)1(2xf)1(xfx4122x可见 f(x)应为二次多项式,设cbxaxxf2)(代入 式比较同次幂系数,得.1,4,3cba故143)(2xxxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关
16、定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 求.d12ln02xex解解:令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例
17、例9 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42)12(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2yox4xsinxcostttcbcadcos99例例10 选择一个常数 c,使0d)(cos)(99xcxcxba解解:令,cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数,故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11 设,d)(022yexfxyy解解:.d)()1(102xxfx求x
18、xfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(31102322101)1(2)1d()1(612xexx)1(2 xu令10d6ueueu01)1(6ueue)2(61e机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12 若,1,0)(Cxf解解:令试证:xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20,xt则xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为xxfd)(sin0 xxfd)(sin2
19、0 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13 证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证:令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此,)0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1
20、4,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析:要证0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明:令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(,)(xgxf因在,ba上连续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba,0)()(bFaF且至少,),(ba使,0)(F即0d)()(
21、d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点思考思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要证:xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示:设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例例15 设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且.0)(xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使)(2d
22、)(22fxxfabba(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使 baxxfaabfd)(2)(22(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:(1),)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.,又0)(xf所以f(x)在(a,b)内单调增,因此),(,0)()(baxafxf(2)设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa,0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件,于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2机动 目录
23、上页 下页 返回 结束 即)(2d)(22fttfabba(3)因 0)()(ff)()(aff在a,上用拉格朗日中值定理),(),()(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22机动 目录 上页 下页 返回 结束)(xf例例16 设,)(baCxf证证:设且试证:,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x)单调不减,0)()(aFbF即(*)成立.(*)(xf
24、)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定积分的几何应用定积分的几何应用平面图形面积、旋转体体积2.基本方法基本方法:微元分析法机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的应用 第七七章 例例1 求抛物线21xy在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为)1,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1(2xXxxY它与 x,y 轴的交点分别为,)0,(212xxA)1,0(2xB所指面积)(xSxx2)1(2122102d)1(xx324)1(22xx11MBAyx机动 目录 上页 下页 返回 结
25、束)(xS)13()1(22412xxx,33x0)(xS,33x0)(xS且为最小点.故所求切线为34332XY,0)(xS令得 0,1 上的唯一驻点33x11MBAyx,1,0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1)求函数;)(xf(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)时,当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2,体积最小?即xCxaxf223)(故得机动 目录 上页 下页 返回 结
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