数值计算方法复习课件(DOC 14页).doc
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1、2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容:1. 会高斯消去法;会矩阵三角分解法;会Cholesky分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数;会求Lagrange, 会计算差商和Newton插值多项式和余项3. 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式,迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度;(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分;高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误
2、差的来源类型;绝对误差和绝对误差限,相对误差和相对误差限,有效数字;误差的传播。(二) 复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。(三)例题例1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值,则x有2位有效数字。例2. 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为 。例3. 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性;收敛速度; 迭代收敛的加速方法;埃特金加速收敛方法;Steffensen斯特芬森迭代法;牛顿法;弦截法
3、。(二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。5.了解弦截法。(三)例题1.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根,把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是( )(A) (B)(C) (D)迭代公式解:在(A)中,=1.076故迭代发散。应选择(A)。可以验证在(B),(C), (D)中,j(x)满足,迭代收敛。2.用Newton法求方程在区间内的根, 要求。解 此方程在区间内只有一个根,而且在区间
4、(2,4)内。设则 , Newton法迭代公式为, 取,得。 3设可微,求方程根的Newton迭代格式为4. 牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解;而弦截法是用曲线f(x)上的;两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解.5. 试确定常数使迭代公式 .产生的序列收敛到,并使收敛阶尽量高.解 因为迭代函数为,而.根据定理知,要使收敛阶尽量高,应有,由此三式即可得到所满足的三个方程为: ,.解之得,且,故迭代公式是三阶收敛的.P25.例2-4P30.例2-6P33.例2-8P35例2-10P35.例2-11P38.例2-13P39.例2-14P
5、41.例2-16P45.例2-18P48.例2-20第3章、线性代数方程组的数值解法(一)考核知识点高斯消去法,列主元消去法;矩阵三角分解法;平方根法;追赶法;迭代法的基本概念,雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法,超松弛迭代法SOR,迭代解数列收敛的条件。(二) 复习要求1.了解矩阵基础知识,了解向量和矩阵的几种范数。2.掌握高斯消去法,掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法,平方根法,了解追赶法,了解有关结论。5.了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。6.了解迭代法及其收敛性的概念。7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭
6、代法。(三)例题1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组解:1) Gauss消去法,回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脱尔分解):=LU解Ly=b得y=(14,-10,-72)T解,Ux=y得x=(1,2,3)T2. 用平方根法(Cholesky分解)求解方程组:解:由系数矩阵的对称正定性,可令,其中L为下三角阵。求解可得,求解可得3.讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中,解:Jacobi迭代法的迭代矩阵则Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Gauss-Seidel迭代发散.4.已知方
7、程组,其中,(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解:(1)Jacobi迭代法: Jacobi迭代矩阵: 收敛性不能确定 (2)Gauss-Seidel迭代法: Gauss-Seidel迭代矩阵: 该迭代法收敛 5. 给定方程组,用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛?解:由系数矩阵可知,(1)雅可比迭代矩阵为,由可知,因而雅可比迭代法发散。(2)高斯-塞德尔迭代矩阵为,由可知,因而高斯-塞德尔迭代法收敛。P68.例3-3P68.例3-4P72.例3-5P76.例3-7P77.例3-8P78.例3-9P79.例3-10P8
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