高考专题-极坐标与参数方程、不等式选讲（理科专用）（解析版）.doc

1、专题专题 14  极坐标与参数方程、不等式选讲极坐标与参数方程、不等式选讲 1【2019 年高考全国卷理数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数）以 坐 标 原 点O为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线l的 极 坐 标 方 程 为 2 cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 【答案】（1） 2 2 1(1) 4 y xx ；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7 【解析】（1）因为 2 2

2、 1 11 1 t t ，且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t ， 所以C的直角坐标方程为 2 2 1(1) 4 y xx l的直角坐标方程为23110xy （2）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数， ） C上的点到l的距离为 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 当 2 3 时， 4cos11 3 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值 问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数

3、的最值问题 2【2019年高考江苏卷数学】 在极坐标系中， 已知两点 3,2, 42 AB ， 直线l的方程为 sin3 4 （1） 求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离 【答案】（1）5；（2）2 【解析】（1）设极点为O在OAB中，A（3， 4 ），B（ 2， 2 ）， 由余弦定理，得AB= 22 3( 2)2 32cos()5 24 （2）因为直线l的方程为sin()3 4 ，则直线l过点(3 2,) 2 ，倾斜角为 3 4 又( 2,) 2 B ，所以点B到直线l的距离为 3 (3 22) sin()2 42 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解

4、能力 3【2019 年高考全国卷】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1） 222 111 abc abc ；（2） 333 ()()()24abbcca 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）因为 222222 2,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有 222 111abbcca abcabbcca abcabc 所以 222 111 abc abc （2）因为, , a b c为正数且1abc，故有 333333 3 ()()()3 () () ()abbccaabbcac=3( + )( + )( + )a b b c a c 3 (2) (

5、2) (2)abbcac =24所以 333 ()()()24abbcca 【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能 力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立 4 【2019 年高考全国卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC上， 直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为 P （1）当 0= 3 时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 【答案】（1） 0 2 3，l 的极坐标方程为 cos2 3 ；（2

6、） 4cos , 4 2 【解析】 （1） 因为 00 ,M 在C上， 当 0 3 时， 0 4sin2 3 3 由已知得| |cos2 3 OPOA  设( , )Q 为l上除P的任意一点在RtOPQ中， cos|2 3 OP ，经检验，点(2,) 3 P 在曲线 cos2 3 上所以，l的极坐标方程为 cos2 3 （2）设( , )P ，在RtOAP中，| |cos4cos ,OPOA 即 4cos因为P在线段OM上，且 APOM，故的取值范围是 , 4 2 所以，P点轨迹的极坐标方程为 4cos , 4 2 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可

7、，属于常考题型 5. 【2018 年理数全国卷 II】设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求 的取值范围 【答案】 （1）,(2) 【解析】 （1）当时，可得的解集为 （2）等价于而，且当时等号成立 故等价于由可得或， 所以 的取值范围是 一、考向分析：一、考向分析：  二、考向讲解二、考向讲解 考查内容       解  题  技 巧   (1)在将直角坐标化为极坐标求极角 时，易忽视判断点所在的象限(即角 的终边的位置) 坐标系与参数方程 坐标系 参数方程 直角坐标系 圆的参数方程 椭圆的参 数方程 极坐标系

8、 直线的参 数方程 不等式选讲 绝对值不等式 不等式证明的基本方法 绝对值不等 式的解法 比较法 综合法 分析法 绝对值三 角不等式 柯西不 等式 极坐标与 参数方程 (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视 注意极坐标(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标 (3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方 向，四者缺一不可 (4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化当条件涉及“角度”和“到定 点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便 （5）已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 ，点 M(x，y)

9、为 l 上任意一点，则直线 l 的参 数方程为 xx0tcos， yy0tsin (t 为参数)。 a.若 M1，M2是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M0M1 |M0M2 |t1t2|，|M1M2 | |t2t1|t2t1 24t 1t2。 b若线段 M1M2的中点为 M3，点 M1，M2，M3对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3t1t2 2 。 c若直线 l 上的线段 M1M2的中点为 M0(x0，y0)，则 t1t20，t1t20)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc, |ax+b|cax+bc 或 ax+b-c,然后根据 a,b 的取值求解即可.

10、 (2)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想; 利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.  a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法: (1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决; (2)借助于绝对值的几

11、何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要 求,求解参数的取值范围. 由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与 x 对应的点到 a，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|c(c0)或|xa|xb|c(c 0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观 (3)应熟记以下转化:f(x)a 恒成立f(x) mina;f(x)a;f(x)0)， b a a b2(ab0)， b a a b2(ab2xx 【答案】 1 |1 3 x xx 或 【解析】当x2，解得x1 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx 或 【名师点睛】本题主要考查解不等式等

12、基础知识，考查运算求解和推理论证能力 考查不等式恒成立问题：考查不等式恒成立问题： 【例】已知函数 f(x)|x1|x2|。 (1)求不等式 f(x)1 的解集。 (2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，求 m 的取值范围。 【解析】 (1)f(x) 3， x2。 当 x2 时，由 f(x)1 解得 x2。 所以 f(x)1 的解集为x|x1。 (2)法一：原不等式等价于存在 xR，使 f(x)x2xm 成立，即f(x)x2xmaxm， 设 g(x)f(x)x2x，由(1)知 g(x) x2x3，x2 当 x1。 所以 g(x)2 时，g(x)x2x3，开口向下，对称轴为 x 1 1 2

13、2，所以 g(x)1 2时，原不等式转化为 4x6 1 2x 3 2； 当1 2x 1 2时，原不等式转化为 26，恒成立； 当 x1 2时，原不等式转化为4x6 3 2x 1 2。 综上知，原不等式的解集为 x|3 2x 3 2 。 法二：原不等式可化为|x1 2|x 1 23，其几何意义为数轴上到 1 2， 1 2两点的距离之和不超过 3 的点的集合， 数形结合知，当 x3 2或 x 3 2时，到 1 2， 1 2两点的距离之和恰好为 3，故当 3 2x 3 2时，满足题意， 则原不等式的解集为 x|3 2x 3 2 。 【例】已知函数 25f xxax，其中实数0a （1）当3a 时，求

14、不等式 51f xx的解集； （2）若不等式 0f x 的解集为 |1x x ，求a的值 【答案】（1）不等式 51f xx的解集为 |12x xx或；（2）3a 【解析】（1）当3a 时， 51f xx可化为231x，由此可得1x或2x， 故不等式 51f xx的解集为 |12x xx或； （2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由 0f x ，得 25xax ， 此不等式化等价于2 250 a x xax 或 2 250 a x xax ，解得 2 7 a x a x 或 2 3 a x a x ， 因为0a，所以不等式组的解集为 | 3 a x x ，由题设可得1 3 a ，故3a 法二：（

15、从等价转化角度考虑） 由 0f x ，得25xax，此不等式化等价于525xxax， 即为不等式组 52 25 xxa xax ，解得 3 7 a x a x ，因为0a， 所以不等式组的解集为 | 3 a x x ，由题设可得1 3 a ，故3a 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为 |1x x 是不等式 0f x 的解集， 所以1x是方程 0f x 的根，把1x代入250xax得37aa 或， 因为0a，所以3a 点评：解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中 x 的系数为 1(或可化为 1)，可选用几何法或图象法求解较 为简洁。若 x 的系数不全为 1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。