《复变函数与积分变换》习题册.pdf

1、.第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。一、填空题1、若等式i(57i)(x i)(y i)成立，则x _,y _.2、设(12i)x(35i)y 13i，则x，y 3、若z4、若z1i23i，则z1i(3i)(25i)，则Rez2i45、若z i 2i，则z 1i6、设z (2i)(2i)，则argz 7 复 数z 1i的 三 角 表 示 式 为，指 数 表 示 式为。8、复数z 12 2i的三角表示 式为

2、 _，指 数表示 式为_.9、设z1 2i,z21i，则Arg(z1z2)=_.10、设z 2e,则 Rez=_.Im(z)。z11、.方程z3 27 0的根为_.12、一 曲 线 的 复 数 方 程 是zi 2，则 此 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程为。13、方程Im(i z)3表示的曲线是_.14、复变函数w z 2的实部u(x,y)_,虚部v(x,y)_.z 1i4.15、不等式z1 z1 4所表示的区域是曲线的内部。316、1二、判断题（正确打，错误打）1、复数76i 13i.()2、若z为纯虚数，则z z.()3、若a为实常数，则a a（）4、复数 0 的辐角为 0.5、f(z)

3、u iv在z0 x0iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在(x0,y0)点连续。（6、设z1,z2为复数，则z1z2 z1 z2。（7、z1 z2 z1 z2（8、参数方程z t2ti（t为实参数）所表示的曲线是抛物线y x2.(三、单项选择题1、下列等式中，对任意复数 z 都成立的等式是（）A.zz=Re(zz)B.zz=Im(zz)C.zz=arg(zz)D.zz=|z|2、方程z38 的复根的个数为（）A.3 个B.1 个C.2 个D.0 个3、当z 1i1i时，z100 z75 z50的值等于（）AiBiC1D14、方程z23i 2所代表的曲线是（）A 中心为23i，

4、半径为2的圆周B 中心为23i，半径为2的圆周C 中心为23i，半径为2的圆周D 中心为23i，半径为2的圆周.）)）.四、计算题1求出复数z (1 i 3)4的模和辐角。22设z x iy满足Re(z 3)4,求x与y的关系式3、将复数z 12 6i化为三角表示式和指数表示式。4、求复数1cos.isin,(0)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。.5将直线方程2x 3y 1化为复数形式。6、求以下根式的值：（1）22i.(2)3i(3)41.第二章解析函数本章知识点和基本要求理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的 C-R 条件，并能利用 C-R 条件判断复变函数的可导性

5、和解析性；掌握解析函数的基本性质；了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。一、填空题1、Ln(1i)的主值为2、Ln(i)=，主值为3、设ez 3 4i,则Re(iz)_4、3i_.5、(1 i)i_.6、i1i7、指数函数ez的周期是8、设f(z)(1 z)ez，则f(z)9、设f(z)x3 y3ix2y2，则f(1i)10、已知函数f(z)(2x1)yv(x,y)i解析，则f(i)11、.函数f(z)u iv在z0 x0iy0点连续是f(z)在该点解析的_条件。二、判断题（正确打，错误打）1、.若f(z)在区域 D 内处处为零，则f(z)在 D 内必恒为常数。（）2、.若f

6、(z)在z0点不解析，则f(z)在z0点必不可导。（）3、函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在点z0 x0iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)可微。（）.4、sinz 1.（）5、函数ez是周期函数。（）6、设函数f(z)在点z0处可导，则f(z)在点z0处解析。（）7、对于任意的复数z1,z2，等式Ln(z1.z2)Lnz1 Lnz2恒成立。（）8、不等式Re(z)2表示的是有界闭区域。（）9、对于任意的复数z，整数n，等式Lnzn nLnz恒成立（）三、单项选择题1、下列点集是单连域的是（）ARe(z)2B.1z3argZ2C.z1 D.22、下列所示区域中是多

7、连域的为（）A.Imz 0B.Rez 0C.0 z 1D.4 argz 33、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4、下列说法正确的是（）A、f(z)在z0可导的充要条件是f(z)在z0处解析。B、f(z)在z0可导的充要条件是u,v在z0处偏导数连续且满足C R条件。C、f(z)在z0可导的充要条件是f(z)在z0处连续。D、f(z)在z0可导的充要条件是u,v在z0处可微且满足C R条件5、在复平面上，下列关于正弦函数 sinz 的命题中，错误的是（）A.sinz 是周期函数B.sinz 是解析函数C.|

8、sinz|1D.(sin z)cosz6、以下说法中，错误的是（）A复指数函数ez具有周期B.幂函数za(a 为非零的复常数)是多值函数C对数函数Lnz为多值函数D.在复数域内sin z和cos z都是有界函数7、设f(z)sin z，则下列命题中错误的是（.）。.Af(z)在复平面内处处解析Bf(z)以2为周期eizeizCf(z)Df(z)是无界的2四、计算题判断下列函数在何处可导，在何处解析？(1)f(z)2x33y3i(2)f(z)(x y)22(x y)i(3)f(z)xy2ix2y.第三章复变函数的积分本章知识点和基本要求了解复变函数积分的定义及性质；会求复变函数的积分；理解柯西积

9、分定理，掌握柯西积分公式；0掌握解析函数的高阶导数公式；了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。一、填空题1、设曲线C是正向圆周z 2，则C11dz，dz，2(z 1)z 1C(z 1)Cez2dz。2、设 C 为从点z1 i到点z20的直线段，则zdz _.C3、若 C 为正向圆周z 2，则1dz _.Cz2z2 z 1dz，2，4、若f()则f(35i)_,f(1).z z 2f(1)ezdz(c:z 4)的值是_5、cz 3二、单项选择题1、若 f(z)在 D 内解析，(z)为 f(z)的一个原函数，则（）A.f(z)(z)C.(z)f(z)B.f(z)(z)D.(z

10、)f(z)2、下列积分中，积分值不为 0 的是（）A.(z32z)dz，z1 2B.ezdz，z 2Cc.C.csin zcos zdz，z 1D.dz，z 2zz 1c三、计算题1、沿下列路径计算积分zdzC(1)从原点到3i的直线段(2)从原点沿实轴到 3，再从 3 垂直向上到3i。2、沿下列路径计算积分z2dzC(1)从原点到1i的直线段(2)从原点沿实轴到 1，再从 1 垂直向上到1i。3、计算coszdz。4、计算积分0i3i0(2z 3)dz.5、(x yix2)dz，其中C是从点0到1i的直线段。C.6、设 C 为从-2 到 2 的上半圆周，计算积分7、8、计算积分9、计算.C2

11、z3dz的值。Cz1dz，C为正向圆周z 22z 1dz，其中C为圆周Z 3，且取正向。C(z i)(z 4)2z12idz，其中 C 为正向圆周z 3.C(z1)(z2i).10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）z 1dz，z 3（2）（1）cz(z 2)dzci(z)(z 2)，z 1（3）.coszcz3dz，z 12(4)eizc(z i)3dz，zi 1.第七章 傅里叶变换本章知识点和基本要求掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式；理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念；了解函数的概念、性质及其傅氏变换，了解傅氏变换的物理意义；掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。一、填空题1、设f(

12、t)0 ,te5t00,t，则F f(t)0,t 02、设f(t)t，则F f(t)_e,t 03、F1 _4、设F f(t)5、设f(t)1，则f(t)；isin2t，则F f(t)；5)f(t)6、设F f(t)F()，则F(t；7、设F f(t)F()，t0为实常数，则F f(t t0)；8、F(t t0)；9、设F f(t)F()，则f(1t)的傅氏变换F f(1t)；t10、F f(t)F()，则Ff()d _11、已知f(t)t，且F f(t)2 2，则F122(2)二、单项选择题1、下列变换中，正确的是()A.F(t)1B.F1()C.F1()1D.F11 u(t)2、设F f(

13、t)F()，则F(t 1)f(t)为().A.iF()F()B.iF()F()C.iF()F()D.iF()F()3、t t0的傅里叶变换F(t t0)为（）A1B。t0C。eit0D。eit04、设F f(t)F()，则F(2t 3)f(t)（）A.2iF()3F()B.2iF()3F()C.2iF()3F()D.2iF()3F()5、设F f(t)F()，则F(t 2)f(t)（）A.F()2F()B.F()2F()C.iF()2F()D.iF()2F()6、设f(t)cos0t，则F f(t)（）A.(0)(0)B.(0)(0)C.i(0)(0)D.i(0)(0)7、设f(t)(2 t)

14、ei0t，则F f(t)（）Ae2i 2(0)Be2i 2(0)Ce2i 2(0)De2i 2(0)8、设f(t)sin0t，则其傅氏变换F f(t)（）A.(0)(0)B.i(0)(0)C.(0)(0)D.i(0)(0)三、计算题.0,t 12,1 t 01、已知函数f(t)，求它的傅里叶变换。1,0 t 20,2 t 2,1tt01的傅里叶变换；2、求函数f(t)2,0 0,其他 0,t 03、求函数f(t)t（其中 0）的傅氏变换及其积分表达式。et 0sint t 4、求函数f(t)的傅氏变换，0 t 并证明.0sinsintsint,t；d2210,t.5、利用定义或查表求下列函数的

15、傅里叶逆变换i（1）F()(0)0)555（2）F()5(50)(50)6、用傅里叶变换求解下面的微分方程x(t)x(t)(t),t 7、设F f(t)F()，列表给出下列函数的付里叶变换：f(t),f(t),tf(t),t f(t),f(t t0),f(t t0)，2tf()d,f(at)0,t 01,(t),(t t0),(t t0),f(t)te,t 0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。.第八章 拉普拉斯变换本章知识点和基本要求理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念；了解拉普拉斯变换存在定理；掌握拉普拉斯变换的性质；掌握用留数求拉氏逆变换的方法；了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；应用拉

16、氏变换求解常微分方程及常微分方程组。一、填空题1、设F(S)2、L(sin 3t)1，则L-1eSF(S)=2S3、Letsint4、设f(t)u(3 t 5)，Le3tf(t)5、Letcost6、设Lf(t)23tLef(t)则,2s47、设f(t)(t 1)2et，Lf(t)8、设F(s)1，则L1F(s)22(s1)9、设Lf1(t)F1(S),Ff2(t)F2(S)，则Lf1(t)*f2(t)10、设F(s)s2，则L1F(s)2s16二、单项选择题1、下列变换中，不正确的是()A.F(t)1B.L(t)1C.L1(t)D.F1 2()2、设Lf(t)F(s)，其中正确的是（）.AL

17、 f(t)sF(s)B。Leatf(t)F(s a)CL f(at)1F(s)D。Leatf(t)F(s a)a3、f(t)teat(a 0)的拉氏变换为（）A.1111B.C.D.22(sa)(sa)S asa4、若F(S)11SL F(S)（），则e2S 1A.sin(t 1)B.u(t 1)sintC.u(t)sin(t 1)D.u(t 1)sin(t 1)5、设f(t)e2tcos3t则L f(t)（）A.3S 2B.(S 2)29(S 2)293S3(S 2)D.22(S 2)9(S 2)9C.s26、函数F(s)2的拉氏逆变换为（）s 1A.(t)cos tB.(t)costC.(

18、t)(1sint)D.(t)sinteS7、设F(s)，则L1F(S)（）S(S 2)Ae2(t1)u(t 1)Bu(t 1)e2(t1)u(t 1)C111e2(t1)u(t 1)Du(t)e2(t1)u(t 1)22三、计算题1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。(1)f(t).eatsin2t（2）f(t)tcos25.(3)f(t)2sin attsinat(4)f(t)e2t3e5t(5)f(t)e2t5(t)(6)f(t)e2ttet(7)f(t)eatsint（9）f(t)tcosat（11）f(t)sintu(t 2).8）f(t)sin22t10）f(t)(t 2)2e

19、t12）f(t)sin(t 2)（.（13）f(t)tetsin2t（14）f(t)sin(t 2)u(t 2)2、已知f1(t)f1(t)f2(t).0 ,tsint ,t00，f2(t)0 ,tcost ,t00，求f1(t)与f2(t)的卷积3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。(1)F(S)(3)F(S)(Sba)(Sb)1(2)F(S)S(S1)eS25S1(4)F(S)1S(S 1).S2S 3(5)F(S)(6)F(S)2(S 2)(S 3)(7)F(s)2s3s29s)s2(9)F(2s1s(s1)24、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。(1)y3y2y6et,y(0)0,

20、y(0)0（2）y y e2t1，y(0)0.S 1(8)F(s)4(s4)(s2).(3)yyet ,y(0)0(4)y(t)2y(t)2y 2etcost满足初始条件：y(0)0 y(0)0的特解。(5)y(t)3y(t)2y 2et满足初始条件：y(o)2,y(0)1的特解。5、用拉普拉斯变换求解微分方程组。(1).xyx4xy2yet11et ,x(0)y(0)1.(2)2xxyy0 x1,x(0)0,x(0)0,y(0)0tx x y e(3),x(0)y(0)1ty3x2y 2e2x y y 4(1et)(4)（x(0)0,y(0)0）2t2x y 2(13e).参考答案第一章 复

21、数与复变函数一、填空题1、x 1,y 62、x 451713,y 3、i4、11112225ii1i5547、2(cosisin)，2e8、4(cos5、6、isin)，4e62244669、2k33 333 322i,3,12、x(y 1)41,1,1i11、,k Z10、22224x2 y22 x2yx2y2,113、y 214、15、2222(x1)y(x1)y4316、1,1313i,i2222二、判断题（正确打，错误打）1、2、3、4、5、6、7、8、三、单项选择题1、A2、A3、B4、C四、计算题i222！、z 16;Argz 2k,kZ2、x y 13、4 3cosisin;4

22、3e33334、2sincos22isin2;2sine2i2；argz 25、z(t)3t 12ti6、（略）。3第二章解析函数一、填空题1、ln2.1i2、2ki,i3、Arg34i224.4、eiln32k5、eiln22k46、e2k1i27、2i8、e(z 2)z9、32i10、2i11、必要条件二、判断题（正确打，错误打）1、2、3、4 5、6、7、8、9、三、单项选择题A C B D C D C四、计算题1、仅在直线y 6x上可导。函数在复平面上处处不解析32、仅在直线y x1上的点处可导，函数在复平面上处处不解析。对于直线y x1上任意点z3、仅在(0,0)点处可导。函数在复平

23、面上处处不解析。第三章复变函数的积分一、填空题1、2i，0,2ei2、133、04、0,8i,10i5、2e i2二、单项选择题 1、C 2、D三、计算题1122(3i)2，43i2、(1i)3，i3、sini23331i4、13i5、6、3i87、032i416ii8、9、4i10、2i，i，4i17e1、第七章 傅里叶变换一、填空题1、.112、3、2()4、f(t)i5i0 ,te2t00,t.15、6、iF5F22217、eit0F8、eit09、eiF10、F11、e2itti二、单项选择题ABCACAAB三、计算题1、1i(eie2i4(1cos)2isin3、见课本P例。4、1)

24、2、F()731732i15、（1）f(t)sin50t（2）f(t)0,t 0cos50t6、x(t)t7、（略）e,t 0第八章 拉普拉斯变换一、填空题S3153S1S 13e1、(t 1)ut 12、23、4、5、22S 3S 9S 11S 116、2S 3247、2S 132S 12118、sint tcost2S 19、F1SF2S10、cos4t 1sin4t2二、单项选择题CDCDBDC三、计算题11S a1 125S2a2aS1、22222222S aS a42S25S 4S aS a131111522S 2S 5S 2S 2S 1S a1S2a21 1S2442322222SS 16S 1S 1S 1S a4S 1e2Scos2 Ssin22Scos2Ssin2e222S 1S21S21S 14.2、1tsint2t3、1esin(t 1)u(t 1)b1eatebtet1e2t6e3tab5tsint2cos3t sin3t2e2te4t4tetet2tt2tt2t4、e3e 2e12e eYS1tte e21t72ttt,y(t)te sinty t e4e e 2233S 2S 22S 15、xt 2ete3t,yt3et4e3txt1cost,ytsintxt ytext32eett2t,yt 24et2e2t.