《线性代数》课件4.1.ppt

1、 矩阵的特征值、特征向量和相似标准型矩阵的特征值、特征向量和相似标准型的理论是矩阵理论的重要组成部分。用矩阵的理论是矩阵理论的重要组成部分。用矩阵来分析工程技术、数量经济等问题时，经常来分析工程技术、数量经济等问题时，经常要用到矩阵的特征值理论。要用到矩阵的特征值理论。本章主要介绍矩阵的特征值、特征向量本章主要介绍矩阵的特征值、特征向量和矩阵相似的概念和有关理论，讨论矩阵在和矩阵相似的概念和有关理论，讨论矩阵在相似意义下的对角化问题。相似意义下的对角化问题。第一节第一节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的概念一、矩阵的特征值与特征向量的概念二、矩阵的特征值

2、与特征向量的求法二、矩阵的特征值与特征向量的求法三、矩阵的特征值与特征向量的性质三、矩阵的特征值与特征向量的性质1 矩阵的特征值与特征向量的概念一、矩阵的特征值和特征向量的概念引例引例 污染与工业发展水平关系的定量分析污染与工业发展水平关系的定量分析.设设0 x是某地区的污染水平是某地区的污染水平，0y是目前的工业发是目前的工业发展水平展水平.以以 5 5 年为一个发展周期，一个周期后的污年为一个发展周期，一个周期后的污染水平和工业发展水平分别记为染水平和工业发展水平分别记为1x和和1y.它们之它们之间的关系是间的关系是 1003xxy，10022yxy 写成矩阵形式写成矩阵形式 010131

3、22xxyy或或 10 A其中其中 111xy，000 xy，3122A.如果当前的水平为如果当前的水平为 011 则则 1101311414422141xy 即即004A.由此可以预测由此可以预测n个周期后个周期后的污染水平的污染水平和工业发展水平：和工业发展水平：2120444nnnn 在上述讨论中，表达式在上述讨论中，表达式004A反映了矩阵反映了矩阵A作用在向作用在向量量0 上只改变了常数倍，我们把具有上只改变了常数倍，我们把具有这这种性质的非零向量种性质的非零向量0 称为矩阵称为矩阵A的特征向量，数的特征向量，数 4 4称为对应于称为对应于0 的特征向量的特征向量.定义定义 1 1

4、设设A是是n阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数和非零和非零列向量列向量，使得，使得A.则称则称为为A的一个的一个特征值特征值，称为矩阵称为矩阵A的属于特征值的属于特征值的一个的一个特征向量特征向量.式式A的几何意义是：用的几何意义是：用A左乘左乘，所得向，所得向量量A与原向量与原向量 共线共线.当当0时，向量时，向量A与与 同同向；当向；当0时，向量时，向量A与与 反向，并且将反向，并且将 放大放大或缩小了或缩小了倍倍.例例 对于对于n阶单位方阵阶单位方阵E及任一非零的及任一非零的n维向维向量量，有，有E,所以所以1是是E的一个特征值，任一的一个特征值，任一非零的非零的n维向量维向量 都是都

5、是E的属于特征值的属于特征值1的特征的特征向量向量.例例 已知向量已知向量 111 是是 2135212baA的一个特的一个特征向量，试确定征向量，试确定ba,及特征向量及特征向量 所对应的特征值所对应的特征值.解解 由特征值和特征向量的定义由特征值和特征向量的定义A，有，有 1111112135212ba即即 121ab于是于是 1,2,1ab 所以所以 3,0,1ab 例例 设设是是A的的一个特征值，证明：一个特征值，证明：(1)(1)2是是2A的的一个特征值；一个特征值；(2)(2)当当A可逆时，可逆时，1是是1A的的一个一个特征值特征值.证证 设设 是是A的属于特征值的属于特征值的的特

6、征向量，即特征向量，即A（0）(1)(1)在在A两边左乘两边左乘A，得，得22A A 所以，所以，2是是2A的的一个特征值，且一个特征值，且 是是2A的属于特的属于特征值征值2的的特征向量特征向量.(2)(2)当当A可逆时，由可逆时，由A有有1A,因为因为0，知知0，故，故11A，则则1是是1A的的一个特征值一个特征值.将此例推广为一般情况，有将此例推广为一般情况，有 结论结论：若若是是A的的一个特征值，则一个特征值，则m（Nm）是是mA的的一个特征值；一个特征值；()是是()A的特征值，的特征值，其中其中01()mmaaa L，01()mmaaaAEAAL.矩阵矩阵的特征向量的特征向量性质：

7、性质：(1)(1)如果向量如果向量 为矩阵为矩阵A的属于特征值的属于特征值的的特特征向量，则对任意常数征向量，则对任意常数0k，向量，向量k 也是也是矩阵矩阵A的的属于特征值属于特征值的的特征向量特征向量.(2)(2)如果向量如果向量21,均为矩阵均为矩阵A的属于特征值的属于特征值的的特征向量，且特征向量，且021 ，则则21 也是也是矩阵矩阵A的的属于特征值属于特征值的的特征向量特征向量.证证 (1)(1)若若A，则，则 ()()()()kkkkAA，即即向量向量k也是也是矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的的特征向量特征向量.(2)(2)若若1122,A A，则，则 12121212()(

8、)A AA 即即21 也是也是矩阵矩阵A的属于特征值的属于特征值的的特征向量特征向量.一般地，一般地，如果向量如果向量12,s L都是矩阵都是矩阵A的属的属于特征值于特征值的的特征向量，特征向量，12,sk kkL是一组数，且是一组数，且1122sskkkL0，则则1122sskkkL也是也是矩矩阵阵A的属于特征值的属于特征值的的特征向量特征向量.二、矩阵的特征值和特征向量的求法二、矩阵的特征值和特征向量的求法问题：问题：如何确定矩阵的特征值与特征向量？如何确定矩阵的特征值与特征向量？分析：分析：为了求得为了求得n阶方阵阶方阵()ijaA的特征值和特的特征值和特征向量，将征向量，将A改写为改写

9、为A0，即，即 ()()()AE 001 上式说明上式说明 是齐次线性方程组是齐次线性方程组()(2)AE x0 的非零解的非零解。而而齐次线性方程组齐次线性方程组()AE x 0有非零解的有非零解的充分必要条件是充分必要条件是0 AE.即即 1112121222120 (3)nnnnnnaaaaaaaaaLLMMML(3)(3)式是一个以式是一个以为未知量的一元为未知量的一元n次代数方程，这次代数方程，这说明说明A的的特征值是方程特征值是方程0 AE的根，因此，的根，因此，A的的特征值也称为特征根特征值也称为特征根.反之，如果可以求出方程反之，如果可以求出方程0 AE的根的根，则齐次线性方程

10、组则齐次线性方程组()AE x 0的任一为零解的任一为零解，都是都是A的属于的属于特征值特征值的特征向量的特征向量.定义定义 2 2 设设A是一个是一个n阶方阵，阶方阵，是一个未知量，是一个未知量，矩阵矩阵AE称为矩阵称为矩阵A的特征矩阵，其行列式的特征矩阵，其行列式AE称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式；而；而0 AE称称为矩阵为矩阵A的的特征方程特征方程.定理定理 1 1 设设A是一个是一个n阶方阵，则阶方阵，则是是A的特征的特征值，值，是是A的属于特征值的属于特征值的特征向量的充分必要的特征向量的充分必要条件是：条件是：为特征方程为特征方程0 AE的根，的根，是齐次线是齐次线性方

11、程组性方程组()AE x 0的非零解的非零解.根据上述分析，给出下面定义和定理根据上述分析，给出下面定义和定理.求求n方阵方阵A的特征值和特征向量的方法：的特征值和特征向量的方法：(1)(1)求出求出n阶方阵阶方阵A的特征多项式的特征多项式AE；(2)(2)求出求出特征方程特征方程0 AE的全部的全部特征根特征根12,n L（可能有重根可能有重根），也即），也即A的的全部全部特征值；特征值；(3)(3)对每个特征值对每个特征值i（1,2,inL），求出对应），求出对应的 齐 次 线 性 方 程 组的 齐 次 线 性 方 程 组()iAE x0的 基 础 解 系的 基 础 解 系12,n r L

12、（其中（其中()irRAE）,则则A的属于特征的属于特征值值i的全部特征向量为的全部特征向量为 1122n rn rcccL 其中其中12,n rc ccL是不全为零的常数是不全为零的常数.例例 求矩阵求矩阵1513A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 1513EA2(3)(1)528(2)(4)令令0 AE，得得A的的特征值为特征值为12,42 当当21时，解时，解(2)0AE x，即即00151521xx，由由 001515152EA得得基础解系基础解系T)5,1(1，所以，所以，A属属于特征值于特征值21的全部特征向量的全部特征向量为为Tcc)

13、5,1(111（01c任意任意常数）常数）当当42时，时，解解(4)AE x 0，即即00551121xx，由由 111145500AE得得基础基础解系解系T)1,1(2，所以，所以，A属于特征值属于特征值42的的全部特征向量为全部特征向量为 Tcc)1,1(222（02c为任意常数）为任意常数）例例 求矩阵求矩阵 242422221A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式 24222022124242222132rrEA322124020(2)(7)246cc 令令0 AE，得得A的的特征值为特征值为17,232 当当71时，解时，解方程组方程组(7)

14、AE x0，由，由 0001102/1014524522287EA得基础解系得基础解系T)2,2,1(1，所以，所以A属于特征值属于特征值71的全部特征向量为的全部特征向量为Tcc)2,2,1(111（01c常数）常数）当当232时，解时，解方程组方程组(2)AE x0，由，由 1221222244000244000AE 得基础解系得基础解系T)0,1,2(2，T)1,0,2(3.A属于属于特特征征值值232的的特征向量为特征向量为TTcccc)1,0,2()0,1,2(323322 例例 求求 101021010A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式

15、 令令0 AE，得矩阵得矩阵A的的特征值为特征值为1321 3)1(10102101EA当当1321时，解时，解方程组方程组()AE x 0，由，由 000010001001011011EA得基础解系得基础解系T)1,0,0(，所以，所以，A属于属于1321的全部特征向量为的全部特征向量为 Tcc)1,0,0(（0c为任意常数）为任意常数）三、矩阵的特征值和特征向量的性质三、矩阵的特征值和特征向量的性质定理定理 2 2 矩阵矩阵A与与TA有相同的特征值有相同的特征值.证证 由由TTAEAE)(，两边取行列式，得，两边取行列式，得 AEAEAETT)(即即A与与TA有相同的特征多项式，所以有相同

16、的特征多项式，所以A与与TA的特的特征值相同征值相同.应注意，虽然应注意，虽然A与与TA有相同有相同的特征值，但特的特征值，但特征向量却不一定相同征向量却不一定相同.定理定理 3 3 n阶矩阵阶矩阵A可逆的充分必要条件是其可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零任一特征值不等于零.证证 矩阵矩阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是0A.又又 0(1)n EAAA 即即0A的充分必要条件是数的充分必要条件是数 0 0 不是不是A的特征值，的特征值，所以矩阵所以矩阵A可逆的充分必要条件是其任一特征值可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零不等于零.定理定理 4 4 设设A为为n阶矩阵，阶矩阵

17、，12,m L是是A的的m个个互不相同的特征值，互不相同的特征值，12,m L分别是分别是A的属于的属于12,m L的特征向量，则的特征向量，则12,m L线性无关线性无关.推论推论 如果如果n阶矩阵阶矩阵A有有n个不同的特征值，则个不同的特征值，则A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.定理定理 5 5 设设A为为n阶矩阵，阶矩阵，12,m L是是A的的m个个互 不 相 同 的 特征 值，互 不 相 同 的 特征 值，12,iiiisL是是A的 属 于的 属 于(1,2,)iimL的线性无关的特征向量，则向量组的线性无关的特征向量，则向量组 111121,sL221222,sLL1

18、2,mmmmsL 线性无关线性无关.定理定理 6 6 设设n阶矩阵阶矩阵()ijaA的的n个特征值为个特征值为12,n L，则，则 (1)(1)112211nniiinniiaaaaL，且称，且称1niiia为矩为矩阵阵A的迹，记作的迹，记作tr()A；(2)(2)121nini AL.该定理反映了矩阵该定理反映了矩阵A的全部特征值的和与矩的全部特征值的和与矩阵阵A的主对角线上元素关系，及矩阵的主对角线上元素关系，及矩阵A的全部特征的全部特征值的积与矩阵值的积与矩阵A的行列式之间关系的行列式之间关系.定理定理 7 7 设设是是n阶矩阵阶矩阵A的的k重特征值，则重特征值，则A的属于的属于的线性无关的特征向量至多有的线性无关的特征向量至多有k个个.该定理说明，一个该定理说明，一个n阶矩阵阶矩阵A最多有最多有n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量.