《线性代数》课件2.4.ppt
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- 关 键 词:
- 线性代数 课件 2.4
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1、第四节第四节 向量组的秩向量组的秩一、向量组的等价一、向量组的等价二、极大线性无关组和向量组的秩二、极大线性无关组和向量组的秩三、向量组的秩与矩阵的秩的关系三、向量组的秩与矩阵的秩的关系4 向量组的秩一、向量组的等价定义 1 设有两个向量组()12,s L与()12,t L.如果向量组的每一个向量(1,2,)iis L都可以由向量组线性表示,则称向量组可由向量组线性表示;如果向量组和可以相互线性表示,则称向量组和等价.记作 1212,st LL 例 设向量组()1(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;()1(1,1,1)T,2(1,1,0)T,3(1,0,0)T;判别向量组
2、与是否等价.解 显然有1123,212,31,即向量组可由向量组线性表示;由此可以解出13,223,312,即向量组可由向量组线性表示,所以向量组和等价.例 设向量组()1(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;()1(0,0,0)T,2(1,1,0)T,3(1,0,0)T;判别向量组与间是否等价.解 显然1123000,212,31,即向量组可由向量组线性表示,但向量3 不能由123,线性表示,于是向量组不能由向量组线性表示,所以向量组和不等价.(1)反身性:任一向量组和它自身等价,即 1212,ss LL (3)传递性:如果1212,st LL,而1212,tp LL则1
3、212,sp LL(2)对称性:如果1212,st LL,则 1212,ts LL 向量组的等价满足下述性质:推论 如果向量组12,s L线性无关,并且可由向量组12,t L线性表示,则st.定理 1 如果向量组12,s L可由向量组12,t L线性表示,且st,则向量组12,s L线性相关.此结论与定理1互为逆否命题.定理 1 如果向量组12,s L可由向量组12,t L线性表示,且st,则向量组12,s L线性相关.*证 因为12,s L可由12,t L线性表示,设 11112121212122221122ttttssststaaaaaaaaaLLL L L L L L L L LL则 1
4、122sskkkL11112121()ttk aaaL 21212222()ttk aaaLL1122()ssststk aaaL 11 112211()ssa ka ka k L21 122222()ssa ka ka k L 1 122()tttssta ka ka k LL 此时只要12,sk kkL满足齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000sssstttssa ka ka ka ka ka ka ka ka kLLL L L L L L L L LL就有1122sskkk 0L成立.由于st,即此方程组方程的个数t少于未知量的个数s,于是齐次线性方程组一定有非
5、零解,因此,只须取一组非零解12,sk kkL,就有 1122sskkk 0L 成立,所以向量组12,s L线性相关.二、极大线性无关组和向量组的秩引例:对于三维线性无关向量组 1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1),由向量的线性运算可知,任意一个三维向量123(,)a a a 都可表示为1 12233aaa.它表明三维向量整体可以有部分线性无关向量组123,表示.为了用向量组的局部表示整体,我们介绍向量组的极大无关组的概念.定义 2 若一个向量组A的部分组12,r L满足下述条件:(1)12,r L线性无关;(2)向量组A中的任意一个向量都可以由12,r L线性表示.那么则称部
6、分组12,r L为向量组A的一个极大线性无关组(简称极大无关组).如果一个向量组12,s L线性无关,则其极大无关组就是自身.如果一个向量组仅含零向量,则该向量组不存在极大无关组.例 设向量组1(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(1,1,0)T 不难看出,部分组12,线性无关,且123,中任一向量都可以由部分组12,线性表示:1120,2120,312 所以12,为向量组123,的一个极大无关组.容易验证:部分组13,与23,也为向量组123,的一个极大无关组.这说明向量组的极大无关组不是唯一的但所含向量的个数是相同的.由定义 2 可以直接得到 定理 2 任一向量组和它的极大无关组等价.
7、利用向量组等价的传递性,可得 推论 1 向量组12,s L中任意两个极大无关组等价.推论 2 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同.证 设12,s L和12,t L是两个等价的线性无关的向量组,则由定理 1 推论,可得st和ts,于是st,即所含向量的个数相同.推论 3 向量组12,s L的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.由此可以看到,向量组的极大无关组所含向量的个数唯一确定.为此引入向量组秩的概念.定义 3 向量组12,s L的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩,记作12(,)sR L 如果一个向量组仅含零向量,则规定其秩为零.例 n维基本向量组 12(1,0,0),(
8、0,1,0),(0,0,1)TTTnLLLL 的秩为12(,)nRn L 例 设向量12(,)na aa 0L,则仅含 的向量组必线性无关,其极大无关组就是其自身,所以()1R.定理 3 向量组12,s L线性无关的充分必要条件是12(,)sRs L.证 必要性 若向量组12,s L线性无关,则其极大线性无关组为其自身,故12(,)sRs L.充分性 若12(,)sRs L,则12,s L的极大无关组应含有个s向量,而这就是向量组本身,所以该向量组线性无关.定理 4 若向量组12,s L可由12,t L线性表示,则1212(,)(,)stRR LL.推论 若向量组12,s L与向量组12,t
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