《线性代数》课件2.3.ppt

1、第三节第三节 向量间的线性关系向量间的线性关系一、向量组的线性组合一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性三、向量组的线性关系定理三、向量组的线性关系定理3 向量间的线性关系一、向量组的线性组合 本节讨论向量组的线性组合和向量组的线性相关性，它们在向量中具有重要的作用，与线性方程组密切相关，是研究线性方程组的基础.设二维向量1(1,0),2(0,1),由 平面解析几何知道平面上任意一个向 量12(,)a a 可表示为1 122aa.该关系称为 是1 与2 的线性组合.将向量间的线性组合关系推广到一般情况，有12(,)a axyO1a2a1 2 定义 1 对向量组12,s

2、 L和向量，如果存在s个数12,sk kkL使得 1122sskkkL 则称向量 是向量组12,s L的线性组合，也称向量 可由向量组12,s L线性表示.例 n维零向量可以由任意的n维向量组12,s L线性表示.解 取120skkkL，则有 120000sL 故n维零向量可以由任意的n维向量组12,s L线性表示.例 n维向量组 1(1,0,0)T L,2(0,1,0)T L,(0,0,1)Tn L 称为n维基本向量组.试证：任意一个n维向量12(,)Tna aa L都可由n维基本向量组线性表示，且表达式唯一.证 显然由向量的线性运算可知1 122nnaaaL再说明唯一性，若存在12,nb

3、bbL使得 1 122nnbbbL则 111222()()()0nnnabababL 所以1122,nnab ababL，即表达式唯一.例 试证：向量 组12,s L中任意向量i(1,2,)isL都可以由这个向量组线性表示.证 因为 11100100iiiis LL 所以向量i(1,2,)isL可以由向量组12,s L线性表示.由线性方程组的向量方程表达式 1122ssxxxL 可以看到，如果线性方程组有解 1122,ssxk xkxkL 则有 1122sskkkL 即 可以由向量组12,s L的线性表示.反之亦然.由此可得下面定理.线性方程组与线性表示之间的关系 定理 1 向量12(,)Tn

4、b bb L可以由向量组 111211(,),Tnaaa L212222(,),Tnaaa L12,(,)Tsssnsaaa LL 线性表示的充分必要条件是线性方程组 11 11221121 1222221 122 ssssnnnssna xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL L L L L L L L L L L LL 有解.且该方程组的解为1122,ssxk xkxkL时，可由向量组12,s L线性表示为 1122sskkkL.由线性方程组有解的判定定理可得定理 2 向量 可由向量组12,s L线性表示的充分必要条件是矩阵12(,)sA L的秩等于矩阵12(,)s

5、B L的秩.定理 1 和定理 2 给出了判断向量 可否由向量组12,s L线性表示的方法.例 已知向量组 1(1,3,2)T，2(3,2,1)T，3(2,5,1)T ，(4,11,3)T 试将 用向量组123,线性表示.解 由定理 1，考虑以123,为系数列向量，以 为常数列向量的线性方程组 123123123 324325112 3xxxxxxxxx对此方程组的增广矩阵实施初等行变换1324132432511071121130555 A132405550711 132401110711 132401110066 100201000011 可得方程组的解为1232,0,1xxx，所以，可以由1

6、23,线性表示，且132.213132rrrr23rr2(5)r 327rr例 已知向量组 11,1,2,2T,21,2,1,3T,31,1,4,0T,1,0,3,1T 证明：向量 能用向量组123,线性表示，并求出表达式.证 由定理 2 需证123(,)A与123(,)B的秩相等.为此，将矩阵B化为行最简形.11111111121001212143012123010121B1111012100000000213141,2,2rr rr rr3141,rr rr12rr1032012100000000可见，()()RRAB.因此，向量 能用向量组123,线性表示.由上述行最简式，可得方程112

7、233xxx的通解为12332,21,xcxcxc 故123(32)(21)ccc （c为任意常数）例 已知向量组 1(1,4,0,2)T,2(2,7,1,3)T,3(0,1,1,)Ta,(3,10,4)Tb (1),a b为何值时，不能由123,线性表示？(2),a b为何值时，可由123,线性表示？并求出表示式.解 考虑以123,为系数列向量，以 为常数列向量的线性方程组 12123231232 347 10 234xxxxxxxbxxax对此方程组的增广矩阵实施初等行变换12031203471 100112011011234012bbaa A1021011200100002ab 1203

8、011200020010ba 214142rrrr3242rrrr12342rrrr(1)当2b，a为任意实数时，线性方程组无解，此时 不能 由向量组123,线性表示.(2)当2,1ba时，线性方程组有唯一解，其解为1231,2,0 xxx，且有122.(3)当2,1ba时，线性方程组有无穷多解，求得一般解为12312,2,xc xc xc ，且有一般表达式123(12)(2)ccc（c为任意常数）二、向量组的线性相关性引例：考察向量组 1(1,0),2(0,2),3(2,2)中向量间的关系.显然有3122，即1232 0 也即存在三个不全为零数1232,1,1kkk，使得 112233kkk

9、 0 把向量组的这种关系称之为线性相关.定义 2 对向量组12,s L，如果存在一组不全为零的数12,sk kkL，使得 11220sskkkL 则称向量组12,s L线性相关.否则称向量组12,s L线性无关.也即向量组12,s L线性无关当且仅当120skkkL时，上式成立.对于二维向量组，两个向量线性相关的充分必要条件是它们共线.对于三维向量组，三个向量线性相关的充分必要条件是它们共面.例 一个零向量线性相关；而一个非零向量线性无关.证 因为当 0时，对任意0k，都有k 0成立，于是零向量线性相关.而当 0时，当且仅当0k 时，才有k 0成立，所以非零向量线性无关.例 证明：n维基本向量

10、组 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTTnLLLL 线性无关.证 设有数12,nk kkL使得 1 1220nnkkkL 即 12(,)(0,0,0)TTnk kkLL 由此可知，只有当120nkkkL时，才有 1 1220nnkkkL.所以，向量组12,n L线性无关.例 证明：如果向量组,线性无关，则向量组,线性无关.证 设有一组数123,k k k，使得 123()()()kkk 0 即 131223()()()kkkkkk0 因为,线性无关，所以有 131223 0 0 0kkkkkk 且 10111020011 因此，该齐次线性方程组仅有零解1230kkk，所以，

11、向量组,线性无关.设齐次线性方程组的向量方程表达式为 11220ssxxxL 若齐次线性方程组有非零解1122,ssxk xkxkL 即存在不全为零的数12,sk kkL，使得 11220sskkkL 则向量组12,s L的线性相关.若齐次线性方程组只有零解120sxxxL 即只有当120nkkkL使得 11220sskkkL 则向量组12,s L的线性无关.反之亦然，由此可得下面定理 3.定理 3 若向量组 11121121222212(,),(,),(,)TTTnnsssnsaaaaaaaaaLLLL构成的齐次线性方程组为 11 1122121 122221 1220 00ssssnnns

12、sa xa xa xa xa xa xa xa xa xLLL L L L L L L L L LL (1)向量组12,s L的线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解.(2)向量组12,s L的线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组仅有零解.由齐次线性方程组解的判定定理可得 定理 4 若向量组12,s L构成的矩阵为12(,)sA L，则(1)向量组12,s L线性相关的充分必要条件是()RsA；(2)向量组12,s L线性无关的充分必要条件是()RsA.推论 1 n个n维向量组12,n L构成的矩阵为12(,)sA L，则向量组12,n L线性相关的充分必要条件是0A；线性无关的充分

13、必要条件是0A.推论 2 m个n维向量组成的向量组12,m L 当向量组中所含向量的个数m大于向量的维数n时，即mn，则此向量组线性相关.定理 3 和其推论给出了判断向量组12,s L线性相关性的方法.例 证明：n维向量组1(1,1,1,1)T L,2(0,1,1,1),T L3(0,0,1,1),T L,L(0,0,0,1)Tn L 线性无关.证 由n个n维向量组构成的矩阵为 12100110(,)111nA LLLMMML因为10 A，所以向量组线性无关.例 已知向量组1(1,1,0,0),T 2(0,1,1,1),T 3(1,3,2,1),T 4(2,6,4,1)T 讨论向量组1234,

14、及向量组123,的线性相关性.解 将矩阵1234(,)化成行阶梯形矩阵 12341012101211360124(,)0124012401110111 1012012400350000 1012012400000035 21rr3242rrrr34rr因为1234(,)34R ，所以向量组1234,线性相关，而123(,)3R ，所以123,线性无关.例 设向量组1(6,1,3)Ta，2(,2,2)Ta，3(,1,0)Ta ，试问：(1)a为何值时，12,线性相关？线性无关？(2)a为何值时，123,线性相关？线性无关？解(1)对矩阵12(,)A实施初等行变换 63212336326aaaa

15、A320400a 320404aa 当4a 时()2RA，12,线性无关.当4a 时()12R A，12,线性相关.1323rrr3202804aa 2131(1)2rarrr22r 32rr(2)考虑矩阵123(,)A 的行列式 6121(4)(23)320aaaaa A当4a 或32a 时，因为0A，故123,线性相关.当4a 且32a 时，因为0A，故123,线性无关.例 两个命题：(1)如果向量组中有一部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；(2)设r维向量组线性无关，则在每个向量上在添加nr个分量所得到的n维向量组也线性无关.这两个命题可以作为定理直接应用.证明略.三、向量组的线性

16、组合与线性相关关系定理定理 4 向量组12,s L(2)s 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余1s个向量的线性组合.证 必要性 如果向量组12,s L线性相关，则存在不全为零的数12,sk kkL，使得 11220sskkkL 不妨设0sk，则由上式可得 112121sssssskkkkkk L 即向量s 可以由其余1s个向量的线性表示.充分性 不妨设向量s 是其余1s个向量的线性组合，即存在121,sl llL使得 112211ssslllL 移项得 1122110ssslllL 其中向量s 的系数不为零，所以向量组12,s L线性相关.推论 向量组12,s L线性无关的充分必

17、要条件是向量组中每个向量都不能由其余向量线性表示.定理 5 如果向量组12,s L线性相关，而向量组12,s L线性无关，则向量 可由向量组12,s L线性表示且表示法唯一.证 先证 可以有向量组12,s L线性表示.由于向量组12,s L线性相关，所以存在不全为零的数12,sk kkL及k，使得 11220sskkkkL 其中必有0k，否则，上式成为 11220sskkkL 且12,sk kkL不全为零，这与12,s L线性无关矛盾，因此0k.所以 1212sskkkkkk L即向量 可由向量组12,s L线性表示.再证明表示法唯一.设1122sshhhL 且1122sslllL 两式相减得 111222()()()0ssshlhlhlL由于12,s L线性无关，所以 11220sshlhlhlL 即1122,sshl hlhlL，所以表示式是唯一的.