主成分分析、因子分析应用.ppt

1、主成分分析和因子分主成分分析和因子分析析 2012-10XXX汇报什么？汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？当然不能。你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。主成分分析主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变

2、量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。本文就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principal component analysis）和因子分析（factor analysis）。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。成绩数据（成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。从本例可能提出的问题从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利

3、用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。主成分分析主成分分析例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。主成分分

4、析主成分分析当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。寻找主成分的正交旋转 旋转公式：旋转公式：112212cossinsincosyxxyxx 主成分分析主成分分析对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表

5、大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principal component)。主成分分析主成分分析正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。主成分分析主成分分析(或称主分量分析，或称主分量

6、分析，principal component analysis)由皮尔逊由皮尔逊(Pearson,1901)首先引入，后来首先引入，后来被霍特林被霍特林(Hotelling,1933)发展了。发展了。主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几主成分分析是一种通过降维技术把多个变量化为少数几个主成分个主成分(即综合变量即综合变量)的统计分析方法。这些主成分能的统计分析方法。这些主成分能够反映原始变量的绝大部分信息，它们通常表示为原始够反映原始变量的绝大部分信息，它们通常表示为原始变量的某种线性组合。变量的某种线性组合。主成分分析的一般目的是：主成分分析的一般目的是：(1)变量的降维；变量的

7、降维；(2)主成分主成分的解释。的解释。主成分分析主成分分析需要与可能：在各个领域的科学研究中，往往需要对反映事物的需要与可能：在各个领域的科学研究中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息，但也在一定程多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性而增加了问题分析的复杂性，同时对多变量之间可能存在相关性而增加了

8、问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别分析每个指标，分析又可能是孤立的，分析带来不便。如果分别分析每个指标，分析又可能是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。因此需要找到一个合理的方法，减少分析指标的同时，尽结论。因此需要找到一个合理的方法，减少分析指标的同时，尽量减少原指标包含信息的损失，对所收集的资料作全面的分析。量减少原指标包含信息的损失，对所收集的资料作全面的分析。由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于

9、各变量中的各类信息。标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因子分析就是这样一种降维的方法。主成分分析与因子分析就是这样一种降维的方法。主成分分析与因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关主成分分析与因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关的综合指标的多元统计分析方法的综合指标的多元统计分析方法直线综合指标往往是不能直接观测到的，但它更能反映事物的本直线综合指标往往是不能直接观测到的，但它更能反映事物的本质。因此在医学、心理学、经济学等科学领域以及社会化生产中质。因此在医学、心理学、经济学等科学领域以及社会化生产中得到广泛的应用。得到广泛的应用。主成分分析主成分分析 对于我们的

10、数据，对于我们的数据，SPSSSPSS输出为输出为 这里的这里的Initial Eigenvalues就是这里的六个主轴长度，就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。又称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特头两个成分特征值累积占了总方差的征值累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡。后面的特征值的贡献越来越少。献越来越少。Total Variance ExplainedTotal Variance Explained3.73562.25462.2543.73562.25462.2541.13318.88781.1421.13318.88781.142.4577.

11、61988.761.3235.37694.137.1993.32097.457.1532.543100.000Component123456Total%of Variance Cumulative%Total%of Variance Cumulative%Initial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsExtraction Method:Principal Component Analysis.特征值的贡献还可以从特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出的所谓碎石图看出Scree PlotComponent Number65432

12、1Eigenvalue43210 怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSSSPSS可以可以输出下面的表。输出下面的表。Component MatrixComponent Matrixa a-.806.353-.040.468.021.068-.674.531-.454-.240-.001-.006-.675.513.499-.181.002.003.893.306-.004-.037.077.320.825.435.002.079-.342-.083.836.425.

13、000.074.276-.197MATHPHYSCHEMLITERATHISTORYENGLISH123456ComponentExtraction Method:Principal Component Analysis.6 components extracted.a.这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分作为数学、物理、化学、语文、（比例）。比如第一主成分作为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个原先变量的线性组合，系数（比例）为历史、英语这六个原先变量的线性组合，系数（比例）为-0.806,-0.67

14、4,-0.675,0.893,0.825,0.836。如用如用x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5,x x6 6分别表示原先的六个变量，而用分别表示原先的六个变量，而用y y1 1,y y2 2,y y3 3,y y4 4,y y5 5,y y6 6表示新的主成分，那么，原先六个变量表示新的主成分，那么，原先六个变量x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5,x x6 6与第一和第二主成分与第一和第二主成分y y1 1,y y2 2的关系为的关系为：X X1 1=-0.806=-0.806y y1 1+0.353y+0.353y2 2X

15、 X2 2=-0.674=-0.674y y1 1+0.531y+0.531y2 2X X3 3=-0.675=-0.675y y1 1+0.513y+0.513y2 2X X4 4=0.893=0.893y y1 1+0.306y+0.306y2 2x x5 5=0.825=0.825y y1 1+0.435y+0.435y2 2x x6 6=0.836=0.836y y1 1+0.425y0.425y2 2这些系数称为主成分载荷（这些系数称为主成分载荷（loading），它表示主成分和相应的原先变量），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。的相关系数。比如比如x1表示式中表示式中y1的系

16、数为的系数为-0.806，这就是说第一主成分和数学变量的相，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为关系数为-0.806。相关系数相关系数(绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原先的变量就不那么相关了。先的变量就不那么相关了。可以把第一和第二主成分的载荷点可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它们如出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做何解释原来的变量的。这个图叫做载荷

17、图。载荷图。Component PlotComponent 11.0.50.0-.5-1.0Component 21.0.50.0-.5-1.0englishhistoryliteratchemphysmath该图该图左面三个点是数学、物理、化学三科左面三个点是数学、物理、化学三科，右边三个点是语文、历史、外语三右边三个点是语文、历史、外语三科。科。图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是可以识别的。的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，

18、还是可以识别的。主成分分析的应用在主成分分析中，我们首先应保证所提取的前几个在主成分分析中，我们首先应保证所提取的前几个主成分的累计贡献率达到一个较高的水平（即变量主成分的累计贡献率达到一个较高的水平（即变量降维后的信息量须保持在一个较高水平上），其次降维后的信息量须保持在一个较高水平上），其次对这些被提取的主成分必须都能够给出符合实际背对这些被提取的主成分必须都能够给出符合实际背景和意义的解释（否则主成分将空有信息量而无实景和意义的解释（否则主成分将空有信息量而无实际含义）。际含义）。主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清

19、楚、确切，这是变量降维过原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。因此，提取的主成分个数程中不得不付出的代价。因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数通常应明显小于原始变量个数p（除非（除非p本身较小本身较小），否则维数降低的），否则维数降低的“利利”可能抵不过主成分含义可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的不如原始变量清楚的“弊弊”。如果原始变量之间具有较高的相关性，则前面少数如果原始变量之间具有较高的相关性，则前面少数几个主成分的累计贡献率通常就能达到一个较高水几个主成分的累计贡献率通常就能达到一个较高水平，也就是说，此时的累计贡献率通常较易得到满平，也就

20、是说，此时的累计贡献率通常较易得到满足。足。主成分分析的困难之处主要在于要能够给出主成分主成分分析的困难之处主要在于要能够给出主成分的较好解释，所提取的主成分中如有一个主成分解的较好解释，所提取的主成分中如有一个主成分解释不了，整个主成分分析也就失败了。释不了，整个主成分分析也就失败了。主成分分析是变量降维的一种重要、常用的方法，主成分分析是变量降维的一种重要、常用的方法，简单的说，该方法要应用得成功，一是靠原始变量简单的说，该方法要应用得成功，一是靠原始变量的合理选取，二是靠的合理选取，二是靠“运气运气”。例：服装标准在制定服装标准的过程中，对在制定服装标准的过程中，对128名成年男子的身名

21、成年男子的身材进行了测量，每人测得的指标中含有这样六项：材进行了测量，每人测得的指标中含有这样六项：身高身高()、坐高、坐高()、胸围、胸围()、手臂长、手臂长()、肋围、肋围()和腰围和腰围()。所得样本相关矩阵列于下表。所得样本相关矩阵列于下表。2x1x3x4x5x6x 经计算，相关阵经计算，相关阵 的前三个特征值、相应的特征向的前三个特征值、相应的特征向量以及贡献率列于下表。量以及贡献率列于下表。R前三个主成分分别为前三个主成分分别为从上述表中可以看到，前两个主成分的累计贡献率从上述表中可以看到，前两个主成分的累计贡献率已达已达78.2，前三个主成分的累计贡献率达，前三个主成分的累计贡献

22、率达85.9，因此可以考虑只取前面两个或三个主成分，它，因此可以考虑只取前面两个或三个主成分，它们能够很好地概括原始变量。们能够很好地概括原始变量。第一主成分第一主成分 对所有对所有(标准化标准化)原始变量都有近似相原始变量都有近似相等的正载荷，故称第一主成分为等的正载荷，故称第一主成分为(身材身材)大小成分。大小成分。*11234560.4690.4040.3940.4080.3370.427yxxxxxx*21234560.3650.3970.3970.3650.5690.308yxxxxxx*31234560.0920.6130.2790.7050.1640.119yxxxxxx1 y第

23、二主成分第二主成分 在在 上有中等程度的正载荷，而上有中等程度的正载荷，而在在 上有中等程度的负载荷，称第二主成分上有中等程度的负载荷，称第二主成分为形状成分为形状成分(或胖瘦成分或胖瘦成分)。第三主成分第三主成分 在在 上有大的正载荷，在上有大的正载荷，在 上有大的上有大的负载荷，而在其余变量上的载荷都较小，可称第三负载荷，而在其余变量上的载荷都较小，可称第三主成分为臂长成分。主成分为臂长成分。由于第三主成分的贡献率不高由于第三主成分的贡献率不高(7.65)且实际意义且实际意义也不太重要，因此我们一般可考虑取前两个主成分也不太重要，因此我们一般可考虑取前两个主成分。由于由于 非常小，所以存在

24、共线性关系：非常小，所以存在共线性关系：2 y*356,x x x*124,x x x3 y*2x*4x660.126,(0.786,0.433,0.125,0.371,0.034,0.179)t6*1234560.7860.4430.1250.3710.0340.1790 xxxxxx例：满意度调查权重现代营销理论的核心是创造顾客价值和顾客满意。研究显示:鼓励满意顾客重复购买的成本鼓励满意顾客重复购买的成本获得一个新顾客的成本获得一个新顾客的成本挽留一个不满意顾客的成本。挽留一个不满意顾客的成本。顾客是企业生命所在,为顾客提供优质服务的直接目的是吸引新用户,产生业务收入,而更深层次的目的则是

25、留住老顾客并提高他们的忠诚度。由此,企业得以实现成本最小化、收入最大化和利润最大化。指标选取原则本文所选取的数据由某咨询公司提供的某省公用电话用户对其运营商提供公用电话相关服务的满意度测评数据,样本量共计 550 个样本。满意度测评指标选择时主要考虑到以下 4 个原则:(1)建立的顾客满意度测评指标体系,必须是顾客认为重要的。“由顾客来确定测评指标体系”是设定测评指标体系最基本的要求。要准确把握顾客的需求,选择顾客认为最关键的测评指标。(2)测评指标必须能够控制。顾客满意度测评会使顾客产生新的期望,促使企业采取改进措施。但如果企业在某一领域还无条件或无能力采取行动加以改进,则应暂不采用这方面的

26、测评指标。(3)测评指标必须是可测量的。顾客满意度测评的结果是一个量化的值,因此设定的测评指标必须是可以进行统计、计算和分析的。(4)建立顾客满意度测评指标体系还需要考虑到与竞争者的比较,设定测评指标时要考虑到竞争者的特性。指标基于上述原则,该咨询公司经过深度访谈与座定性研究中得出 11 个主要指标:X1 广告宣传X2 优惠措施与利润分成X3 信誉X4 业务办理及购买X5 公用电话的产品质量X6 资费标准及结算X7 费用查询及清单X8 缴费X9 安装维修人员的服务质量X10 故障处理X11 业务人员表现该咨询公司采用 5 分制,由随机抽取的公用电这 11 个指标分别进行打分:5 非常满意 4

27、比较满意3 一般 2 不太满意1 非常不满意指标的相关系数两个主成分综合得分模型指标重要性比较指标平均分象限图这种既有说服力又简单的方法最早是由约翰约翰玛蒂玛蒂拉拉和约翰约翰詹姆斯詹姆斯推荐的确定满意度调查后活动的极好工具。象限图因子分析因子分析主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，就有几个主成分。而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因子（factor）（比如两个），那就找两个。这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因子旋转（factor rotation）；这个步骤可以使结果更好。

28、当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。从输出的结果来看，因子分析也有因子载荷（factor loading）的概念，代表了因子和原先变量的相关系数。但是在输出中的因子和原来变量相关系数的公式中的系数不是因子载荷，也给出了二维图；该图虽然不是载荷图，但解释和主成分分析的载荷图类似。主成分分析与因子分析的公式上的区别主成分分析与因子分析的公式上的区别111 11221221 122221 122ppppppppppya xa xa xya xa xaxya xaxa x111 112211221 1222221 122mmmmppppmmpxa fa fafxa fafafx

29、afafaf111 11221221 122221 122ppppmmmmppfxxxfxxxfxxx主成分分析主成分分析因子分析因子分析(mp)因子得分因子得分 对于我们的数据，对于我们的数据，SPSSSPSS因子分析输出为因子分析输出为R R o o t t a a t t e e d d C C o o m m p p o o n n e e n n t t M M a a t t r r i i x xa a-.387.790-.172.841-.184.827.879-.343.911-.201.913-.216MATHPHYSCHEMLITERATHISTORYENGLISH12C

30、omponentExtraction Method:Principal Component Analysis.Rotation Method:Varimax with Kaiser Normalization.Rotation converged in 3 iterations.a.这里，这里，第一个因子主要和语文、历史、英语三科有很强的第一个因子主要和语文、历史、英语三科有很强的正相关；正相关；而第二个因子主要和数学、物理、化学三科有很而第二个因子主要和数学、物理、化学三科有很强的正相关强的正相关。因此可以给第一个因子起名为。因此可以给第一个因子起名为“文科因子文科因子”，而给第二个因子起名

31、为而给第二个因子起名为“理科因子理科因子”。从这个例子可以看。从这个例子可以看出，因子分析的结果比主成分分析解释性更强。出，因子分析的结果比主成分分析解释性更强。Component Plot in Rotated SpaceComponent 11.0.50.0-.5-1.0Component 21.0.50.0-.5-1.0englishhistoryliteratchemphysmath 这两个因子的系数所形成的散点图（虽然不这两个因子的系数所形成的散点图（虽然不是载荷，在是载荷，在SPSS中也称载荷图，中也称载荷图，可以直观看出每个因子代表了一类学科可以直观看出每个因子代表了一类学科 计

32、算因子得分计算因子得分可以根据前面的因子得分公式（因子得分系数和原始变量的标准化值的乘积之和），算出每个学生的第一个因子和第二个因子的大小，即算出每个学生的因子得分f1和f2。人们可以根据这两套因子得分对学生分别按照文科和理科排序。当然得到因子得分只是SPSS软件的一个选项（可将因子得分存为新变量、显示因子得分系数矩阵）因子分析和主成分分析的一些注意事项因子分析和主成分分析的一些注意事项 可以看出，因子分析和主成分分析都依赖于原始变量，也只能反映原始变量的信息。所以原始变量的选择很重要。另外，如果原始变量都本质上独立，那么降维就可能失败，这是因为很难把很多独立变量用少数综合的变量概括。数据越相关，降维效果就越好。在得到分析的结果时，并不一定会都得到如我们例子那样清楚的结果。这与问题的性质，选取的原始变量以及数据的质量等都有关系在用因子得分进行排序时要特别小心，特别是对于敏感问题。由于原始变量不同，因子的选取不同，排序可以很不一样。