2.2.1椭圆的标准方程.ppt

1、天体的运行天体的运行如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一椭圆的画法椭圆的画法?P?F?2?F?1注意注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内必须在平面内;（2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定;(常记作常记作2c)（3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定.(常记作常记作2a,且且2a2c)1.椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点平面内与两个定点的距离和等于常数的距离和等于常数（大于）的点的轨迹

2、叫作的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 12,F F1 2|FF二二思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）椭圆较扁（线段）;两定点间距离较短，则所画出的两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）椭圆较圆（圆）.由此可知，椭圆的形状与由此可知，椭圆的形状与两定点间距两定点间距离、绳长离、绳长有关有关若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a0)，M与与F1和和F2的距离的的距离的和等于正和等于正常数常数2a(2a2c)，则，则F

3、1、F2的坐标分别是的坐标分别是(c,0)、(c,0).（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aMFMF2|21222221)(|,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标代入坐标F1F2M0 xy222222bayaxb 两边除以两边除以 得得22ba).0(12222babyax设设所所以以即即,0,2222 cacaca),0(222 bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 两边再平方，得两边再平方，得222

4、2222222422yacacxaxaxccxaa )()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方叫做叫做椭圆的标准方程椭圆的标准方程.它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上，轴上，焦点是焦点是 ，中心在坐标原点，中心在坐标原点的椭圆方程的椭圆方程,其中其中12(,0)(,0)FcF c222cba1F2FxyO),(yxM.p01F2Fxy（，c）(0,-c)如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上轴上,那么椭圆那么椭圆的标准方程又是的标准方程又是怎样的呢怎样的呢?如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，轴上（选取方式不同，调换调换x,y轴）如图所示

5、轴）如图所示,焦点则变成焦点则变成 只要将方程中只要将方程中 的的 调换，即可得调换，即可得12222byaxyx,12(0,),(0,)Fc Fc)0(12222babxay它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆它也是椭圆的标准方程，它所表示的椭圆焦点是焦点是,01cF.,02cF的焦点在的焦点在y轴上。轴上。)0(12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：3.3.椭圆的标准方程椭圆的标准方程:1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()

6、(22221 12 2yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y

7、轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx22(6)12416xy练习练习.下列方程哪些表示椭圆？下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.例例1.1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a=,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；6(3)两个焦点分别是两个焦点分别是

8、F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点；2211 61 2xy小结：求椭圆标准方程的步骤：小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a,b的值的值.（1）a=4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴（2）a=4，c=，焦点在，焦点在 y 轴上轴上（3）如果椭圆）如果椭圆 上一点上一点P到焦点到焦点F1的距的距离等于离等于6，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距离是的距离是22110036xy求一个椭圆的标准方程需求几个量？求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个。答：两个。a、b或或a、c或或b、c注意：注意：“

9、椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是个专用名词，就是指上述的是个专用名词，就是指上述的两个方程，形式是固定的。两个方程，形式是固定的。练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程练习：写出适合下列条件的椭圆的标准方程11622 yx11622 xy1415(4)10,2 5.abc2213616xy2211636或xy例例2.2.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是_22xy+=14m(0,4)变变1 1：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值的取值范围是范围是 .2222xyxy+=1+=1m-13

10、-mm-13-m(1,2)变变2：方程：方程 ，分别求方程，分别求方程满足下列条件的满足下列条件的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。1162522mymx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，椭圆的标准方程表示的一定

11、是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.22221.1_622.1_610 xyxy椭圆的焦点坐标是椭圆的焦点坐标是练习：练习：223.55(0)xkyk椭圆有一个焦点坐标是(0,2),则k=_4.(1)求适合下列条件的椭圆的标准方程两个焦点坐标为(-4,0),(4,0),且椭圆过点(5,0)(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2),(1,0)(2,0),(2,0)(0,2),(0,2

12、)1221259xy2214yx ABC且且例例3 3：已知：已知B,CB,C是两个定点，是两个定点，6BCABC的周长等于的周长等于1616求顶点求顶点A A的轨迹方程的轨迹方程分析分析?在解析几何中，求符合某种条件的点的轨迹方程在解析几何中，求符合某种条件的点的轨迹方程要建立适当的坐标系。要建立适当的坐标系。ABC中中，ABC的周长的周长为为1616，6BC可知，可知，点点A A到到B,CB,C两点的距离为两点的距离为常数。即常数。即10616 ACAB因此，点因此，点A A的轨迹是以的轨迹是以B,CB,C为焦点的椭圆为焦点的椭圆在解解?建立坐标系，使建立坐标系，使x x轴经过轴经过B,C

13、B,C，原点，原点0 0与与B,CB,C的中点重合的中点重合由已知由已知616BCBCACAB,有10 ACAB即即点点A A的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆且且?2c=6?,?2a=16-6=102c=6?,?2a=16-6=104163553222bbac但当点但当点A A在直线在直线BCBC上，上，即即y=0y=0时，时，A,B,CA,B,C三点不能构成三角形三点不能构成三角形01162522yyxA的轨迹为点注意注意?求出曲线的方程后，要注意检查一下求出曲线的方程后，要注意检查一下 方程的曲线方程的曲线上的点是否都是符合题意。上的点是否都是符合题意。ABCOxy变式训练变式训练1、三角形三角形

14、ABC的三边的三边a、b、c成等差数列，成等差数列，A、C的的坐标分别为（坐标分别为（-1，0），（），（1，0），求顶点），求顶点B的轨迹。的轨迹。)0(13422yyx2.直角坐标系中两定点直角坐标系中两定点A（-1,0）,B（1，0），另），另一动点一动点M与两定点与两定点A,B连线的斜率的乘积为连线的斜率的乘积为 ，求动，求动点点M的轨迹方程。的轨迹方程。4922494(1)xyx 求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识，求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 12222byax0 12222babxay求一个椭圆的标准方程需求几个量？求一个椭圆的标准方程需求几个量？答：两个答：两个:a、b或或a、c或或b、c 两种问题：由曲线求方程，由方程研究曲线两种问题：由曲线求方程，由方程研究曲线