2011江苏高考数学试卷含答案（校正精确版）.doc

1、Read a，b If ab Then ma Else mb End If Print m 20112011 江苏江苏 一、填空题 1、已知集合 1,1,2,4, 1,0,2,AB 则_, BA 答案：1，2 2、函数 f (x)log5(2x1)的单调增区间是_ 解析 函数 f (x)的定义域为(1 2，)，令 t2x1(t0)因为 ylog5t 在 t(0，)上为增函数，t2x1 在(1 2，)上为增函数，故函数 y log5(2x1)的单调增区间为(1 2，) 3、设复数 i 满足izi23) 1(i 是虚数单位)，则z的实部是_ 答案：1 4、根据如图所示的伪代码，当输入ba,分别为

2、2，3 时，最后输出的 m 的值是_ 答案：3 5、从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_ 答案：1 3 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10，6，8，5，6，则该组数据的方差_ 2 s 解析：可以先把这组数都减去 6 再求方差，16 5 7、已知tan()2 4 x ，则 x x 2tan tan 的值为_ 解析： 2 2 tan() 1 1tantan1tan4 4 tantan(), 2tan 443 tan229 tan() 1 41tan x xxx xx x x x x （） 8、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直

3、线与函数 x xf 2 )(的图象交于 P、Q 两点，则 线段 PQ 长的最小值是_ 解析：4，设交点为 2 ( , )x x ， 2 (,)x x ，则 22 4 (2 )( )4PQx x 9、 函数 f (x)Asin(x)(A， ， 是常数， A0， 0)的部分图象如图所示， 则 f (0)_ 解析 因为由图象可知振幅 A 2， T 4 7 12 3 4， 故周期 T 2 ， 解得 2， 将 7 12， 2 代 入 f (x) 2sin(2x)，解得一个符合的 3，从而 y 2sin 2x 3 ，f (0) 6 2 10、已知 21,e e是夹角为 3 2 的两个单位向量，,2 212

4、1 eekbeea 若0 ba，则 k 的值 为 解析：由0 ba得：k=2 11、已知实数0a，函数 1,2 1,2 )( xax xax xf，若)1 ()1 (afaf，则 a 的值为_ 解析： 3 0,2212 , 2 aaaaa a ， 3 0, 1222, 4 aaaaa a 12、在平面直角坐标系xOy中，已知点 P 是函数)0()(xexf x 的图象上的动点，该图象在 P 处的切线l交 y 轴于点 M，过点 P 作l的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_ 解析：设 0 0 (,), x P x e则 000 00 :(),(0,(1

5、) xxx l yeexxMx e，过点 P 作l的垂线 0000 00 (),(0,) xxxx yeexxNex e ， 000000 000 11 (1)() 22 xxxxxx tx eex eex ee 00 0 1 ()(1) 2 xx teex ，故，t 在(0,1)上单调增，在(1,)单调减， max 11 () 2 te e 13、设 721 1aaa，其中 7531 ,aaaa成公比为q的等比数列， 642 ,aaa成公差为 1 的 等差数列，则q的最小值是_ 解析：由题意： 23 1212121 112aaa qaa qaa q ， 2 2222 1,12aqaaqa ，

6、 3 2 23qa，而 21222 1,1,1,2aaa aa 的最 小值分别为 1，2，3；故 3 min 3q 14、设集合,)2( 2 | ),( 222 Ryxmyx m yxA， , 122| ),(RyxmyxmyxB， 若AB， 则实数 m 的取值范围是_ 解析：当0m时，集合 A 是以(2，0)为圆心，以|m为半径的圆，集合 B 是在两条平行线之间， 2212 (12)0 22 m mm ，因, BA此时无解；当0m时，集合 A 是以(2， 0)为圆心，以 2 m 和|m为半径的圆环，集合 B 是在两条平行线之间，必有 |221| , 2 |22| 2 m m m m ， xx

7、 EF AB DC 故 21 21 2 m 又因为 2 1 ,21 22 m mm 二、解答题： 15、在 ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba, 若,cos2) 6 sin(AA 求 A 的值； 若cbA3, 3 1 cos，求Csin的值 解析：sin()2cos ,sin3cos , 63 AAAAA 2222 1 cos,3 ,2cos8,2 2 3 AbcabcbcAcac， 由 正 弦 定 理 得 ： 2 2 sinsin cc AC ，而 2 2 2 sin1 cos, 3 AA 1 sin 3 C(也可以先推出直角三角形) 16、 如图， 在四棱锥ABCDP中， 平面

8、 PAD平面 ABCD， AB=AD， BAD=60 ，E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证：(1)直线 EF平面 PCD； (2)平面 BEF平面 PAD 解析：(1)因为 E、F 分别是 AP、AD 的中点，,EFPD又 ,P DPCD EPCD面面 直线 EF平面 PCD (2)AB=AD, BAD=60 , F 是 AD 的中点，,BFAD又平面 PAD平面 ABCD，PADABCDAD,面面,BFPAD面 故，平面 BEF平面 PAD 17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示 的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得

9、ABCD四个点重合于图中的点 P，正好形成 一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形 斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm 2 )最大，试问 x 应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm 3 )最大，试问 x 应取何值？并求出此时 包装盒的高与底面边长的比值 P 解析：(1) 2222 604(602 )2408Sxxxx(0x30)，故 x=15cm 时侧面积最大， (2) 22 2 (2 )(602 )4 2(30)(030) 2 Vxxxxx，故， 12 2 (20),Vxx (16)第 题图 当020,

10、x时，2030VxV递增，当时， 递减，故，当 x=20 时，V 最大 此时，包装盒的高与底面边长的比值为 2 x 1 2 2x （602 ） 2 18、如图，在平面直角坐标系xOy中，,M N分别是椭圆 22 1 42 xy 的顶点，过坐标原点的直线 交椭圆于,P A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭 圆于点B，设直线PA的斜率为k 当直线PA平分线段MN时，求k的值； 当2k 时，求点P到直线AB的距离d； 对任意0k ，求证：PAPB 答 案 ： 由 题 意 知( 2, 0),(0,2 ),MNMN的 中 点 坐 标 为 2 ( 1,) 2 ，直线P

11、A平分线段MN时，即直线PA经过MN的中点， 又直线PA经过原点，故 2 2 k 直线PA的方程为2yx，由 22 2 , 24. yx xy 得， 2 4242 ( , ),(,),( ,0), 3 3333 PNCAC的方程为： 2 0 3 xy，故点P到直线AB的距离 242 | 2 2 333 32 d 法一：由题意设 000011 (,), (,), ( ,)P xyAxyB x y，则 0 (,0)C x，因,A C B三点共线，故 ACAB kk，即 010 010 2 yyy xxx ，又点,P B在椭圆上，则 2222 0011 1,1 4242 xyxy ，两式相减得： 0

12、101 0101 2() PB yyxx k xxyy ，故 0010101 0010101 ()() 1 2()()() PAPB yxxxxyy k k xyyxxyy ，故 PAPB 法二：将直线PA的方程ykx代入 22 1 42 xy ，解得 2 2 12 x k ，记 2 2 12k ，则 M P A x y B C ( ,), (,)PkAk ， 于是( ,0)C， 故直线AB的斜率为 0 2 kk ， 其方程为() 2 k yx， 代入椭圆方程得， 22222 (2)2(32)0kxk xk，解得 2 2 (32) 2 k x k 或x ，因此 23 22 (32) (,) 2

13、2 kk B kk 于是直线PB的斜率 1 1 k k ，因此 1 1k k ，故PAPB 法三：设 1122 ( ,), ( ,)P x yB x y，则 1212 0,0,xxxx，又 111 (,), ( ,0)AxyC x设直线,PB AB 的斜率分别为 12 ,k k，因C在直线AB上，故 2 2 k k ，从而 21 112 21 12112 yy k kk k xx 2222 212122 222222 21212121 ()22(2)44 10 () yyyyxy xxxxxxxx ，因此 1 1k k ，故PAPB 法四： 设 1122 ( , ) , ( ,)Ax yB x

14、 y，AB的中点 00 (,)N xy， 则 121 (,) , (,0 ) , , ,P xyCxAC B三点共线， 故 2211 21211 2 PB yyyy k xxxxx ，又点,A B在椭圆上，则 2222 2211 1,1 4242 xyxy ，两式相减得： 0 0 1 2 AB y xk ，故 01 01 1 21 2 ONPAAB AB yy kkk xxk ，因/ONPB，故PAPB 法五： 由 22 , 24. ykx xy 得， 22222 22222 (,), (,),(,0) 1212121212 kk PAC kkkkk ， 故 2 AC k k，故直线AC的方程

15、为： 2 2 () 2 12 k yx k ，代入 22 1 42 xy 得到： 2 2 (1) 2 k x 22 2 2 246 0 12 12 kk x k k ，解得 2 22 46 (2) 1 2 B k x kk ，故 1 BP PB BP yy k xxk ，故 PAPB k k 1 ()1k k ，即PAPB 19 已知, a b是实数， 函数 32 ( ), ( )f xxax g xxbx， ( ) fx和 ( ) g x是( ), ( )f x g x的导函数， 若 ( )( )0fx g x 在区间I上恒成立，则称( )f x和( )g x在区间I上单调性一致 设0a，若

16、函数( )f x和( )g x在区间 1,) 上单调性一致，求实数b的取值范围； 设0a且ab， 若函数( )f x和( )g x在以, a b为端点的开区间上单调性一致， 求|ab 的最大值 解解：因 32 ( ), ( )f xxax g xxbx， 2 ( )3,( )2fxxa g xxb又( )f x和( )g x在 区间 1,) 上单调性一致，故 1,),( )( )0xfx g x ，即 2 1,),(3)(2xxax )0b ， 因 2 0 ,30axa ， 故 1,),20xxb ， 即 1,),2xbx ， 即2b； 实数b的取值范围是2,) 解法解法一一：由 ( ) 0f

17、x 可得， 3 a x 若 0b， 则由 0,0( , ),(0)(0)aa bfgab 0，( )f x和( )g x在区间( , )a b上不是单调性一致，故0b因为 (,0),( )0xg x ；又 (,),( )0,(,0),( )0 33 aa xfxxfx 故要使 ( )( )0fx g x ，只有a 111 ,0,0,| 33333 aa babab ，取 22 1 ,0,( )( )6( 3 abfx g xxx 1) 9 ，当 1 (,0) 3 x 时， ( )( )0fx g x ，因此 max 1 | 3 ab 解法二解法二：(i)当 ba时，因( )f x和( )g x

18、在区间( , )b a上单调性一致，故( , )xb a ， ( )( )0fx g x ， 即 2 ( , ),(3)(2)0xb axaxb ， 因为0ba， 故( , ) ,2xbax b 0， 故 2 ( , ),3xb a ax ，故 2 3bab ，设zab，考虑点( , )b a的可行域，函数y 2 3x 的斜率为 1 的切线的切点设为 00 (,)xy，则 000 11 61, 612 xxy ，故 max 1 ( 12 z 11 ) 612 ； (ii)当0ab时，因( )f x和( )g x在区间( , )a b上单调性一致，故 ( , ),( )( )0xa bfx g

19、x ，即 2 ( , ),(3)(2)0xa bxaxb ，因为0b，故( , ),20xa bxb ，故 2 ( , ),3xa b ax ，故 2 3aa ，故 1 0 3 a，故 max 1 () 3 ba；当0ab时，因函数 ( )f x和( )g x在区间( , )a b上单调性一致，故( , )xa b ， ( )( )0fx g x ，即( , )xa b ， 2 (3)(2)0xaxb，又0b，而0x时， 2 (3)(2)0xaxbab，不符合题意， (iii)当0ab时，由题意： 2 ( ,0),2 (3)0xaxxa ，故 2 ( ,0),30xaxa ，故 2 30aa，

20、故 1 0 3 a，则 1 3 ba，综上可知， max 1 | 3 ab 20设 M 为部分正整数组成的集合，数列an的首项 a11，前 n 项的和为 Sn，已知对任意的整数 kM，当整数 nk 时，SnkSnk2(SnSk)都成立 设 M1，a22，求 a5的值； 设 M3，4，求数列an的通项公式 【解】由题设知，当 n2 时，Sn1Sn12(SnS1)，即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1，从而 an 1an2a12又 a22，故当 n2 时，ana22(n2)2n2故 a5的值为 8 由题设知，当 kM3，4且 nk 时，SnkSnk2Sn2Sk且 Sn1kSn1k2Sn12Sk，

21、两式相减得 an1kan1k2an1，即 an1kan1an1an1k，故当 n8 时，an6，an3，an， an3，an6成等差数列，且 an6，an2，an2，an6也成等差数列从而当 n8 时，2anan3an 3an6an6，(*)且 an6an6an2an2故当 n8 时，2anan2an2，即 an2ananan 2于是当 n9 时，an3，an1，an1，an3成等差数列，从而 an3an3an1an1，故由(*)式 知 2anan1an1，即 an1ananan1当 n9 时，设 danan1当 2m8 时，m68， 从而由(*)式知 2am6amam12，故 2am7am1

22、am13从而 2(am7am6)am1am(am13 am12)，于是 am1am2ddd因此，an1and 对任意 n2 都成立又由 SnkSnk2Sn 2Sk(k3，4)可知，(SnkSn)(SnSnk)2Sk，故 9d2S3且 16d2S4解得 a47 2d，从而 a2 3 2d，a3 5 2d，又由 S3 9 2da1a2a3，故 a1 d 2因此，数列an为等差数列，由 a11 知 d2， 故数列an的通项公式为 an2n1 B 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换(本小题满分本小题满分 10 分分) 已知矩阵 A 1 1 2 1 ，向量 1 2 .求向量 ，使得 A2 解 A2

23、 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 4 3 ， 设 x y ，由 A2 得， 3 2 4 3 x y 1 2 ， 从而 3x2y1， 4x3y2， 解 得 x1， y2. 所以 1 2 C选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程(本小题满分本小题满分 10 分分) 在平面直角坐标系 xOy 中，求过椭圆 x5cos ， y3sin ( 为参数)的右焦点，且与直线 x42t， y3t (t 为参数)平行的直线的普通方程 解 由题意知，椭圆的长半轴长为 a5，短半轴长 b3，从而 c4，所以右焦点为(4,0)，将已知 直线的参数方程化为普通方程得 x2y20， 故所求的直线的斜率

24、为1 2， 因此所求的方程为 y 1 2(x 4)，即 x2y40. 22 如图， 在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2,1AAAB， 点N是BC的中点， 点M在 1 CC上， 设二面角 1 ADNM的大小为 (1)当 0 90时，求AM的长； (2)当 6 cos 6 时，求CM的长 解析：以 D 为原点，DA 为 x 轴正半轴，DC 为 y 轴正半轴，DD1为 z 轴正 半轴，建立空间直角坐标系，则 A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N( 1 2 ，1，0)， 22第题图 C(0 ， 1 ， 0) ) ， 设M(0 ， 1 ， z) ， 面MDN的 法 向 量 1111

25、 ( ,)nx y z， 1 1 (1,0,2),( ,1,0),(0,1, ) 2 DADNDMz， 设 面 A1DN 的 法 向 量 为 000 (,)nx y z， 则 00 1 00 20 0,0, 1 0 2 xz DA nDNn xy ，取 000 2,1,1,xyz 则即(2, 1, 1)n ， (1)由题意： 11 11111 111 1 0 2 0,0,00 20 xy DNnDMnnnyzz xyz ，取 111 1 2,1,5,; 5 xyzz 则 222 151 (1 0)(0 1)(0) 55 AM (2)由题意： 1 0DN n， 1 0DM n， 1 1 |6 6

26、| n n n n ，即 11 11 2 1111 11 1 1 0 2 0 34420 xy yzz xx yx zy z 取 111 1 2,1,2,; 2 xyzz 则 1 . 2 CM 23设整数 n4，P(a，b)是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 a，b1，2，3，n，ab (1)记 An为满足 ab3 的点 P 的个数，求 An； (2)记 Bn为满足1 3(ab)是整数的点 P 的个数，求 Bn 解析：(1)点 P 的坐标满足条件 1ba3n3，故 Ann3 (2)设 k 为正整数，记 fn(k)为满足条件以及 ab3k 的点 P 的个数，只要讨论 fn(k)1 的情形 由 1ba3kn3k 知 fn(k)n3k，且 kn1 3 ，设 n13mr，其中 mN*，r0，1， 2，则 km，故 Bn m k1fn(k) m k1 (n3k)mn 3m（m1） 2 m（2n3m3） 2 ，将 mn1r 3 代入上式，化简得 Bn（n1）（n2） 6 r（r1） 6 ，故 Bn n（n3） 6 ，n 3是整数， （n1）（n2） 6 ，n 3不是整数.