1.2 数值计算的误差.ppt

1、第一章第一章 绪论绪论1.2 数值计算的误差数值计算的误差总结总结1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差计算机中数的表示和舍入误差1.2.3 函数求值的误差估计函数求值的误差估计1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字 1.2.1 误差的来源误差的来源第一章第一章 绪论绪论1.2 数值计算的误差数值计算的误差 /*Error*/学习目标学习目标 掌握误差和有效数字、以及掌握误差和有效数字、以及算法的数值稳定性等概念；重点算法的数值稳定性等概念；重点是有效数字与相对误差的关系。是有效数字与相对误差的关系。第一章第一章 绪论绪论1.2.1 误差的来源误差的来源/*Source&Classifica

2、tion*/误差在我们的日常生活中无处误差在我们的日常生活中无处不在，无处不有，如在做热力学实不在，无处不有，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是验中，从温度计上读出的温度是23.423.4度，就不是一个精确的值，而度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似值。又如量体裁是含有误差的近似值。又如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。的，都含有误差。第一章第一章 绪论绪论从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 /*Modeling Error*/通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差

3、 /*Measurement Error*/求近似解求近似解 方法误差方法误差(截断误差截断误差 Truncation Error）机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差 /*Roundoff Error*/第一章第一章 绪论绪论(1).(1).模型误差模型误差 用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差身总含有误差，这种误差叫做模型误差.数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有数学模型是指

4、那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述关量的描述 数学模型的准确解与实际问题的真解不同数学模型的准确解与实际问题的真解不同.实际问题的实际问题的真解真解数学模型的数学模型的真解真解为简化模型忽略次要因素为简化模型忽略次要因素定理在特定条件下建立定理在特定条件下建立与实际条件有别与实际条件有别第一章第一章 绪论绪论 在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差带来了误差，这种误差叫观测误差.数学模型中的参数和原

5、始数据，是由观测和试验得到的数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的.由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使使数据含有测量误差数据含有测量误差,这类误差叫做这类误差叫做观测误差或数据误差观测误差或数据误差.根据实际情况可以得到误差上下界根据实际情况可以得到误差上下界.数值方法中需要了解观测误差数值方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方以便选择合理的数值方法与之适应法与之适应.(2).(2).观测误差观测误差第一章第一章 绪论绪论数值运算的一个特点是：数值运算的一个特点是：所谓所谓“截断截断”规则规则就是：将超过规定位就是：将超

6、过规定位数的部分无条件地去掉。这样数的部分无条件地去掉。这样 取取4 4 位位小数，就为小数，就为3.14153.1415。参与运算的数必须是有限位的，参与运算的数必须是有限位的，而且位数往往是预先规定的（如在计算而且位数往往是预先规定的（如在计算机高级语言中，单精度实数为机高级语言中，单精度实数为6 67 7位有位有效数字）。如果运算的数是无限位的或效数字）。如果运算的数是无限位的或超过规定，那么要用超过规定，那么要用“四舍五入四舍五入”规则规则或或“截断截断”规则，将它们处理成规定的规则，将它们处理成规定的位数。位数。第一章第一章 绪论绪论(3).(3).截断误差截断误差 精确公式用近似公

7、式代替时精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫所产生的误差叫截断误差截断误差.例如例如,函数函数f(x)用泰勒用泰勒(Taylor)(Taylor)多项式多项式nnnxnfxfxffxp!)0(!2)0(!1)0()0()()(2 1)1()!1()()()()(nnnnxnfxpxfxR（介于介于0 0与与x之间）之间）近似代替，则数值方法的截断误差是近似代替，则数值方法的截断误差是p 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.第一章第一章 绪论绪论例如，对函数例如，对

8、函数.,)!12()1(.!7!5!3sin12753nxxxxxxnn当当|x|较小时，我们若用前三项作为较小时，我们若用前三项作为sinx的近似值，则截断误差的绝对值不超的近似值，则截断误差的绝对值不超过过 .7|7!x 有的计算机是采用有的计算机是采用“截断截断”规则的规则的,但大多数计算机是采用但大多数计算机是采用“四舍五入四舍五入”规则规则处理舍弃位数的。处理舍弃位数的。第一章第一章 绪论绪论 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算.需要对参数、中间结果、最终结果需要对参数、中间结果、最终结果作作有限位字长有限位字长的处理工作，这种处理工

9、作称作舍入处理的处理工作，这种处理工作称作舍入处理.用有限位数字代替精确数，这种误差叫做用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误舍入误差差，是数值计算中必须考虑的一类误差，是数值计算中必须考虑的一类误差.(4).(4).舍入误差舍入误差 上述种种误差都会影响计算结果的准确性，上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析累作出分析.第一章第一章 绪论绪论定义定义 1.1 设设x是某实数的精确值，是某实数的精确值，xA是它的一

10、个是它的一个近似值，则称近似值，则称x xA为近似值为近似值xA的的绝对误差绝对误差.（xA有时也有时也可记作可记作x*）绝对误差绝对误差 /*absolute error*/绝对误差界（限）绝对误差界（限）由于精确值一般是未知的由于精确值一般是未知的,因而因而绝对误差绝对误差不能求不能求出来出来,但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字(Error and Significant Digits)第一章第一章 绪论绪论 定义

11、定义1.2 设设x是某实值的精确值，是某实值的精确值，xA是它的一个是它的一个近似值，并可对近似值，并可对xA的绝对误差作估计的绝对误差作估计|x xA|A,则称则称 A是是 xA的的绝对误差界绝对误差界(限限)。例例1 设设=3.1415926 近似值近似值 A=3.14,它的绝对误差是它的绝对误差是0.0015926，有，有 -A =0.0015926 0.002=0.2 10-2 第一章第一章 绪论绪论可见，可见，绝对误差限绝对误差限 A A不是唯一的，但不是唯一的，但 A A越小越好越小越好,例例1 1、2 2的绝对误差限都不超过末尾数字的半个单位。的绝对误差限都不超过末尾数字的半个单

12、位。例例2 又近似值又近似值 A =3.1416=3.1416，它的绝对误差是，它的绝对误差是0.00000740.0000074，有有|-A|=0.0000074 0.000008=0.8 10-5例例3 而近似值而近似值 A=3.1415=3.1415，它的绝对误差是，它的绝对误差是0.00009260.0000926，有有|-A A|=0.0000926|=0.0000926 0.0001=0.10.0001=0.1 1010-3-3第一章第一章 绪论绪论(2)相对误差相对误差 /*relative error*/相对误差界（限）相对误差界（限）只用绝对误差还不能说明数的近似程度只用绝对

13、误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每例如甲打字每100100个错一个个错一个,乙打字每乙打字每10001000个错一个个错一个,他们的误差都是错一他们的误差都是错一个个,但显然乙要准确些但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。还必须顾及量的本身。Axxx称为称为xA A的的相对误差相对误差。定义定义1.31.3 绝对误差与精确值绝对误差与精确值x的比值的比值(1)0,;x 说明：当时 相对误差没有意义第一章第一章 绪论绪论例例4 412121.2340.0021.2330.001AAxxxx设，解解3310100.81%50%.1

14、.2340.002相对误差分别为，121323:1010,AAxxxx绝对误差分别为，结论结论?俗称俗称“好坏好坏”、“多少多少”是相对的是相对的12xx估计近似数、的绝对误差与相对误差。1122 AAxxxx但是 的一个好的近似,不是 的一个好的近似:第一章第一章 绪论绪论 近似数的相对误差是近似数精确度的基近似数的相对误差是近似数精确度的基本度量本度量,一个近似数一个近似数xA的相对误差越小，则近似数的相对误差越小，则近似数越精确。越精确。结论结论(2);(3),AAAAxxxxxxxxxx说明：相对误差是一个无量纲的数一般是未知的 故难求 考察与的差 第一章第一章 绪论绪论定义定义1.4

15、 将相对误差的绝对值的上界叫做相对误差限将相对误差的绝对值的上界叫做相对误差限,记作记作|ARAx2222()()()()1AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 当较小时,上式是的高阶无穷小,则通常可取 作为 的相对误差.第一章第一章 绪论绪论解解 因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不超过最小刻度的半个单位不超过最小刻度的半个单位，所以当，所以当 时，时，有有 ，其相对误差界为，其相对误差界为954AxcmcmA5.0 0.50.0 0 0 5 2 4 10.5

16、3%9 5 4AAx例例5 5 测量一木板长是测量一木板长是954cm954cm，问测量的相对误差界是，问测量的相对误差界是是多大？是多大？第一章第一章 绪论绪论33553.1415926535897932,3,3.14,|0.00159265358979325,3.1416,|0.0000074AAAAxxxxxxx取 位取 位它们的绝对误差界都它们的绝对误差界都不超过末位数字的单位的半个单位不超过末位数字的单位的半个单位,即即3524|0.0015920.0020.5 10|0.00000740.0000080.5 10AAxxxx则给出以下关于有效数字的定义则给出以下关于有效数字的定义:

17、在在x的准确值已知的情况下，的准确值已知的情况下，当准确值当准确值x有多位数时有多位数时,若要若要取有限位数的数字作为近似值，就采用取有限位数的数字作为近似值，就采用四舍五入四舍五入得到近似值得到近似值xA,其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的半个单位。例如其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的半个单位。例如第一章第一章 绪论绪论(3)有效数字有效数字（significant digits）定义定义1.5,|0.5 10,AnAAAxxxxnx 如果近似数的误差限是某一位的半个单位即 则称近似数准确到了 位小数,该数位到的第一位非零数字的所有数位叫做该近似数的有效数位,有效数位上的数字叫做有

18、效数字.第一章第一章 绪论绪论问：问：A 有几位有效数字？请证明你的结论有几位有效数字？请证明你的结论。3.1415926535897932;3.14A例例6 622:0.0015926.0.2100 510A|.证明 知知 A精确到小数点后第精确到小数点后第 2 2 位位,且该数位到且该数位到第一个非零数字的所有数位都是有效数位第一个非零数字的所有数位都是有效数位,各有各有效数位上的数字效数位上的数字3,1,43,1,4都是准确数位都是准确数位,即有即有3 3位有位有效数字效数字.第一章第一章 绪论绪论问：问：xA有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。187.932

19、5187.93Axx例例7 72:0.00250 510A|xx|.证明知知xA精确到小数点后第精确到小数点后第 2 位位,有有5位有效数字位有效数字.330.1879325 100.18793 10Axxx证明2:也可以将 改写成33 50.0000025100 510A|xx|.知知xA精确到小数点后第精确到小数点后第 2 位位,有有5位有效数字位有效数字.则有以下关于有效数字则有以下关于有效数字的等价定义的等价定义第一章第一章 绪论绪论 有效数字的等价定义有效数字的等价定义111(0.)10(0,)knnxaa aak 是整数，1Anxxa是 的1102k nAxx。四舍五入得到的近似数

20、，如果用十进制科学计数法，记用十进制科学计数法，记则称则称 xA为为x的具有的具有n位位有效数字有效数字的近似值。的近似值。（1.2.1）第一章第一章 绪论绪论例例8 8 42.195,0.0375551,8.00033,2.71828,42.195,0.0375551,8.00033,2.71828,按四舍按四舍五入写出上述各数具有四位有效数字的近似数五入写出上述各数具有四位有效数字的近似数.解：解：按四舍五入上述各数具有四位有效数字按四舍五入上述各数具有四位有效数字的近似数的近似数为为 42.20,0.03756,8.000,2.718,.42.20,0.03756,8.000,2.718

21、,.第一章第一章 绪论绪论3.14A23.1416Ak-n=-2,即即 n=3,3位有效数字，位有效数字，k-n=-4,即即 n=5,5位有效数字位有效数字练习练习,10314.01 1k ，1,k,103416.01 1415926.3 设设有效数字的位数不能仅考虑有效数字的位数不能仅考虑1102k nAAxxx，还要看本身第一章第一章 绪论绪论128.0000338.00008AAxxx设，考虑，124410.0000330.33 10102AAxxx x尽管，1位有效数字，即位有效数字，即n=15位有效数字，即位有效数字，即n=521 11 110.0000330.000033 1010

22、2Axx因为，例例9最多有最多有5位位有效数字有效数字显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我们给出相对误差界与有效数字的关系。我们给出相对误差界与有效数字的关系。不超过末位数字的单位的半个单位不超过末位数字的单位的半个单位第一章第一章 绪论绪论 定理定理1 设设x的近似值的近似值xA有有（1.2.1）的表达式。的表达式。（1）如果）如果 xA有有 n位有效数字，则位有效数字，则11110;2nARAxa（1.2.2）12100.kAixa aa 用有效数字的位数用有效数字的位数估计相对误差限估计相对误差限有

23、效数字的位数越多，有效数字的位数越多，相对误差限就越小相对误差限就越小 有效数字与相对误差之间的关系有效数字与相对误差之间的关系第一章第一章 绪论绪论 定理定理1 设设x的近似值的近似值xA有（有（1.2.1）的表达式。）的表达式。（2）如果如果（1.2.3）12100.kAixa aa 相对误差限越小，相对误差限越小，有效数字的位数就越多有效数字的位数就越多相对误差限估计相对误差限估计有效数字的位数有效数字的位数则则 xA有有 n位有效数字位有效数字.1111021nARAxa，（）第一章第一章 绪论绪论证证(1)(1)由（由（1.2.11.2.1）可得到）可得到111110110kkAax

24、a（）(1.2.4)所以，当所以，当 xA有有 n位有效数字时，位有效数字时，11110.5 10110102k nnARkAxaa，即（即（1.2.2）得证。）得证。0.5 10k nA12100.kAixa aa 第一章第一章 绪论绪论1111|1110100.5 1021AAAAAAAknk nxxxxxxxxaa（），（）即说明即说明 xA 有有 n 位有效数字，（位有效数字，（2）得证。）得证。证证(2)(2)由（由（1.2.31.2.3）和（）和（1.2.41.2.4）有）有 1111021nARAxa，（）111110110kkAaxa（）(1.2.4)第一章第一章 绪论绪论例例

25、1010 取取3.143.14作为作为 的四舍五入的近似的四舍五入的近似值时，求其相对误差。值时，求其相对误差。解：解：3.14=0.314 101 a1=3 k=1 四舍五入的近似值四舍五入的近似值,其各位都是有其各位都是有效数字效数字 n=3由定理由定理1-(1.2.2),有有 R(1/2a1)10-(n-1)=(1/2 3)10-2=0.17%第一章第一章 绪论绪论例例1111 已知近似数已知近似数xA A有两位有效数字，试求其相有两位有效数字，试求其相 对误差限对误差限.解：解：xA A的第一位有效数字的第一位有效数字a1 1没有给出，可进行如没有给出，可进行如下讨论：下讨论：当当 a

26、1=1 R 1/2a1 10-1=1/2*1 10-1=5%a1=9 R 1/2a1 10-1=1/2*9 10-1=0.56%取取 a1=1 时相对误差为最大，即时相对误差为最大，即 5%第一章第一章 绪论绪论 例例12 已知近似数已知近似数xA的相对误差界为的相对误差界为0.3%，问问xA至少有几位有效数字？至少有几位有效数字？解解 设设xA 有有n位有效数字，由于位有效数字，由于xA的第一个有效的第一个有效数数a1没有具体给定，而我们知道没有具体给定，而我们知道a1一定是一定是1，2,，9中的一个，由中的一个，由123111010002102(91)ARAx故由（故由（1.2.3）式知）

27、式知 n=2，即，即 xA至少有至少有2位有效位有效数字。数字。第一章第一章 绪论绪论 1.对一元函数对一元函数 f(x),自变量自变量 x 的一个近似值为的一个近似值为xA，以，以 f(xA)近似近似 f(x),其误差界记作其误差界记作 (f(xA)。若若 f(x)具有具有2阶连续导数，由阶连续导数，由Taylor展开式展开式2()()()()()()2!(,AAAAAffxfxfxxxxxx x介 于之 间)2()()()|()|()()2!AAAAff xf xfxxx取绝对值得 1.2.3 函数求值的误差估计函数求值的误差估计第一章第一章 绪论绪论()(),()()()()AAAAAA

28、fxfxxf xfxx假定与的比值不太大 可忽略的高阶项,可得计算函数的误差限,f特别地 当 为四则运算时,由以上公式可得 第一章第一章 绪论绪论()()1212,AAx xxx2.四则运算设为准确值为近似值，则它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为：()()()()1212()()()()()()121221()()()()()()()1221122()22 ()()(),()|()|(),|()|()(/),(0).|AAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxxxxxxxxxxx第一章第一章 绪论绪论1212121212(,)(,(,(,),()AAAnnAAAnnAAAnnu

29、f x xxx xxxxxuufxxxuu 3.对于 元二次可微的函数，如果自变量)的近似值为,.,),各自变量的误差限分别为那么函数值 的近似值为,.,同样利用泰勒展开得函数的误差为 Axx()1()|AnAkkkfuxx x第一章第一章 绪论绪论解解 这里这里，）（，）（2.02.0 AAdl 。，210800mdlSldSdlSAAA 于是有误差界于是有误差界2422.0902.0120mSA ）（例例13 设有长为设有长为 l ,宽为宽为 d 的某场地。现测得的某场地。现测得l 的近似值的近似值lA 120m,d 的近似值的近似值dA 90m，并已知它，并已知它们的误差界为们的误差界为

30、 试估计该场地面积试估计该场地面积 S=ld 的误差界和相对误差界。的误差界和相对误差界。.2.0,2.0mddmllAA 并且有并且有第一章第一章 绪论绪论相对误差界相对误差界420.39%10800ARAAASSl d（）（）。第一章第一章 绪论绪论例例14 14 设有三个近似数设有三个近似数，24.293.131.2 cba它们都有三位有效数字。试计算它们都有三位有效数字。试计算 p=a+bc 的误差界，的误差界，并问并问 p 的计算结果能有几位有效数字？的计算结果能有几位有效数字？2.31 1.93 2.246.6332Ap,解解AAAApab c（）（）（）AAAAAabccb（）（

31、）（）02585.024.293.1005.0005.0 ）（相对误差界相对误差界0.025860.39%6.6332ARAAppp（）（）。所以所以,pA=6.6332 能有两位有效数字。能有两位有效数字。10.025850.5 10,Ap因为（）于是有误差界于是有误差界 第一章第一章 绪论绪论1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差计算机中数的表示和舍入误差 任意一个非零实数用（任意一个非零实数用（1.2.11.2.1）表示，是标准化）表示，是标准化的十进制科学记数方法。的十进制科学记数方法。在计算机中通常采用二进制的数系（或其变形在计算机中通常采用二进制的数系（或其变形的十六进制等），并且

32、表示成与十进制类似的规格的十六进制等），并且表示成与十进制类似的规格化形式，即浮点形式化形式，即浮点形式，tm 21.02 12100.kixa aa 这里整数这里整数m称为称为阶码阶码,小数小数0.1 2 t称为尾数称为尾数,1=1 j=0或或(j=2,3,t)第一章第一章 绪论绪论s和和t与具体的机器有关。与具体的机器有关。120 1(2,3,.,),.sjma aaajss 如果整数的二进制表示式为 ，其中或 那么称 为阶码的位数由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表示的数系是一个特殊的离散集合，此集合的能表示的数系是一个特殊的离散集合，

33、此集合的数称为数称为机器数机器数。第一章第一章 绪论绪论十进制输入计算机时转换成二进制，并对十进制输入计算机时转换成二进制，并对t位位后面的数做舍入处理，后面的数做舍入处理，使得尾数为使得尾数为t位，因此一位，因此一般都有舍入误差。两个二进制数作算术运算时，般都有舍入误差。两个二进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似的舍入处理，使得尾数为对计算结果也要作类似的舍入处理，使得尾数为t位，从而也有舍入误差。位，从而也有舍入误差。第一章第一章 绪论绪论在实现计算时，计算的最后结果与计算的精在实现计算时，计算的最后结果与计算的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍入误确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍入误差造成的，包括输入数据和算术运算的舍入误差。差造成的，包括输入数据和算术运算的舍入误差。因此有必要对计算机数的浮点表示方法和舍入误因此有必要对计算机数的浮点表示方法和舍入误差有一个初步的了解。有时为了分析某一个计算差有一个初步的了解。有时为了分析某一个计算方法可能出现的误差现象，为了适应人们的习惯，方法可能出现的误差现象，为了适应人们的习惯，我们会采用十进制实数系统进行误差分析。我们会采用十进制实数系统进行误差分析。