工程数学(本)07春模拟试题(DOC 35页).doc

1、工程数学（本）07春模拟试题 2007年5月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 都是阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) (A) (B) (C) (D) 若，则或2. 已知2维向量组，则至多是（）(A) (B) (C) (D) 3. 设是元线性方程组，其中是阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解(A) (B) 的行向量线性相关(C) (D) 是行满秩矩阵4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（）(A) (B) (C) (D) 5. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计 (A) (B) (C) (D) 二、填空题（

2、每小题3分，共15分）1. 设均为3阶矩阵，且，2. 设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得，则称为的3. 已知，则4. 设随机变量，则5. 若参数的估计量满足，则称为的工程数学（本）07春模拟试题答案及评分标准（供参考）2007年5月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1. A 2. B 3. D 4.B 5. C二、填空题（每小题3分，本题共15分）1. 2. 特征值3.4.5. 无偏估计三、计算题（每小题16分，本题共64分）1. 解：由矩阵减法运算得 5分利用初等行变换得即由矩阵乘法运算得16分2. 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为令，得齐次方程组的一个基础解

3、系 12分令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 16分 3. 解： 8分 16分4. 解：零假设由于未知，故选取样本函数5分已知，经计算得，11分由已知条件，故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的。16分四、证明题（本题6分）证明：设有一组数，使得 成立，即，由已知线性无关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的证毕 6工程数学07秋综合练习（一）一、单项选择题1. 设，则（）A. B. 2 C. 6 D. 2. 设是矩阵，是矩阵，则下列运算中有意义的是（）A. B. C. D. 3. 已知，若，则（ ）A. 1 B. C. 0 D. 24.都是阶矩

4、阵（，则下列命题正确的是 ( ) A B若，则或 C D5. 若是对称矩阵，则等式（）成立A. B. C. D. 6. 若，则（ ）A. B. C. D. 7. 若，则秩（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 48. 向量组的秩是（）A. 4 B. 3 C. 1 D. 29. 向量组的一个极大无关组可取为（）A. B. C. D. 10. 向量组，则（ ）A. B. C. D. 11. 线性方程组解的情况是（）A. 无解 B. 只有零解 C. 有唯一非零解 D. 有无穷多解12. 若线性方程组只有零解，则线性方程组（）A. 有唯一解 B. 有无穷多解 C. 可能无解 D. 无解13. 若元线

5、性方程组有非零解，则（）成立A. B. C. D. 不是行满秩矩阵14. 下列事件运算关系正确的是（）A. B. C. D. 15. 对于随机事件，下列运算公式（）成立A. B. C. D. 16. 袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（）A. B. C. D. 17. 若随机事件,满足，则结论（ ）成立A. 与是对立事件 B. 与互不相容C. 与相互独立 D. 与互不相容18. 若满足（），则与是相互独立A. B. C. D. 19. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布A. B. C. D. 20. 设，则（ ）A0.1

6、 B0.4 C0.3 D0.221. 随机变量，则（）A. 0 B. C. D. 22. 已知，若，那么（）A. B. C. D. 23. 若，（），则A. B. C. D. 24. 设是来自正态总体均未知）的样本，则（ ）是统计量A. B. C. D. 25. 设是来自正态总体的样本，则（ ）是无偏估计A. B. C. D. 参考答案：1A 2D 3B 4D 5C 6D 7B 8A 9B 10B 11D 12C 13A 14A 15A 16D 17B 18C 19C 20B 21D 22C 23C 24A 25D工程数学07秋综合练习（二）二、填空题 1. 是关于的一个多项式，该式中一次项系

7、数是 2. 设是3阶矩阵，其中，则 3. 设均为n阶矩阵，其中可逆，则矩阵方程的解 4. 若方阵满足 ，则是对称矩阵 5设矩阵，则 6. 7. 向量组线性相关，则. 8含有零向量的向量组一定是线性的 9. 若元线性方程组满足，则该线性方程组 10. 线性方程组中的一般解的自由元的个数是2，其中A是矩阵，则方程组增广矩阵= 11. 齐次线性方程组的系数矩阵经初等行变换化为则方程组的一般解为 12. 当= 时，方程组有无穷多解 13. 若，则 14. 设，为两个事件，若，则称与 15. 设随机变量，则 16. 设随机变量的概率密度函数为，则常数k = 17. 设随机变量，则 18. 设随机变量的概

8、率密度函数为，则 19. 已知随机变量，那么 20. 设随机变量，则 21. 设随机变量的期望存在，则 22. 设随机变量，若，则 23. 不含未知参数的样本函数称为 24. 设是来自正态总体的一个样本，则 25. 若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更参考答案：12 212 3 4 51 6 7 8相关 9有非零解 103 11是自由未知量） 121 13 14相互独立 15 16 17 18 193 2015 210 22 23统计量 24 25有效工程数学07秋综合练习（三）三、计算题1. 已知，证明可逆，并求2. 设矩阵，求（1），（2）3. 设矩阵，求及4. 已知，其中，求5. 设矩

9、阵，求矩阵的秩6. 求向量组，的秩，并求该向量组的一个极大无关组7. 分别说明当取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解在有无穷多解的情况下求出一般解8. 求线性方程组的全部解9. 设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解10当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解11. 假设为两事件，已知，求12. 一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂家，其中50%来自甲厂、30%来自乙厂、20%来自丙厂，已知这三个厂家的次品率分别为0.01，0.02和0.04。现从这批产品中任取一件，求取出的产品是合格品的概率.13. 一袋中有10个球，其中3

10、个黑球7个白球今从中依次无放回地抽取两个，求第2次抽取出的是黑球的概率.14. 已知某批零件的加工由两道工序完成，第一道工序的次品率为0.03，第二道工序的次品率为0.01，两道工序的次品率彼此无关，求这批零件的合格率.15. 设，求；（2）；（3）.16. 设，试求；（已知）17. 设，求；18. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间19. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kgcm2）的平均值为31

11、.12，问这批砖的抗断强度是否合格（）20. 对一种产品的某项技术指标进行测量，该指标服从正态分布，今从这种产品中随机地抽取了16件，测得该项技术指标的平均值为31.06，样本标准差为0.35，求该项技术指标置信度为0.95的置信区间（）参考解答：1解： ， 因为 ，所以 可逆 且 2解： （1） （2）利用初等行变换得即 3解： 利用初等行变换得即由矩阵乘法得 4解：由方程，得，且 利用初等行变换得即由矩阵乘法得 5解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 由此可知矩阵的秩为2 6解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 由此可知该向量组的秩为3，且是一个极大无关组 7解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形当时

12、，方程组无解。当时，方程组有唯一解。当时，方程组有无穷多解。在方程组有无穷多解的情况下，一般解为（其中为自由未知量） 8解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形此时齐次方程组化为分别令，和，得齐次方程组的一组基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数） 9解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 方程组的通解为：，其中是任意常数 10解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系令，得非齐次方程组的一个特解由此得原方程组的全部解为（其中为任

13、意常数） 11解： 12解：设如下事件：“产品来自甲厂”：“产品来自乙厂”：“产品来自丙厂”：“产品是合格品”由全概公式有由对立事件的关系可知 13解：设如下事件：“第1次抽取出的是黑球”：“第2次抽取出的是黑球”显然有，由全概公式得 14解： 设如下事件：“第一道工序加工的零件是次品”：“第二道工序加工的零件是次品”：“零件是合格品”由事件的关系有已知相互独立，由加法公式得由对立事件的关系可知 15解： （1） （2） （3） 16解： 17 解：由期望的定义得 18解：由于已知，故选取样本函数已知，经计算得滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为 19解：

14、零假设由于已知，故选取样本函数已知，经计算得， 由已知条件，故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格。 20解： 由于未知，故选取样本函数已知，经计算得该项技术指标置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为工程数学07秋综合练习（四）一、证明题 1. 设是阶矩阵，可逆，且，试证：2. 设,是同阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵3. 可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵4. 设是线性无关的，证明, 也线性无关. 5. 设,是两个随机事件，试证： 6. 已知随机事件,满足，试证：7. 设随机事件,满足，试证：8. 设随机变量的均值、方差都存在,且，试证：随机变量的均值为0参考解答：1证明：

15、在的两端右乘，得上式左端为 右端为 故有 证毕。 2证明：因 故可知是对称矩阵证毕 3证明：设可逆，且则，所以也是对称矩阵证毕 4证明： 设有一组数，使得 成立，即，由已知线性无关，故有该方程组只有零解，得，故是线性无关的证毕 5证明：由事件的关系可知而，故由加法公式和乘法公式可知证毕 6证明：已知，由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即证毕 7证明： 由可知，因此得，故由因为，故有证毕。 8证明： 结论得证 工程数学（本）07秋模拟试题一、单项选择题（每小题3分，共15分）1设为三阶可逆矩阵，且，则下式( )成立 A B C D 2下列命题正确的是（ ） A个维向量组成的向量组一定线性相关

16、； B向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组 有解 C向量组,O的秩至多是 D设是矩阵，且，则的行向量线性相关 3设，那么A的特征值是( ) A1，1 B5，5 C1，5 D-4，6 4. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ） A B C D 5若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）A BC D 二、填空题（每小题3分，共15分） 1已知矩阵满足，则与分别是 阶矩阵 2线性方程组 一般解的自由未知量的个数为 3设A，B为两个事件，若P（AB）= P（A）P（B），则称A与B 4设随机变量，则 5矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为，（百分数），设铜含量服从N（

17、，），未知，在下，检验，则取统计量 三、（每小题16分，共64分）1设矩阵，求（1）；（2） 2设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解 3设是两个随机事件，已知，求：（1） ；（2） 4设随机变量X的密度函数为，求：(1) k； (2) E(X )，D(X) 四、证明题（本题6分）设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵工程数学（本）07秋模拟试题参考解答 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1B 2C 3D 4B 5A 二、填空题（每小题3分，共15分） 1 22 3相互独立 40.9 5 三、计算题（每小题16分，共64分）1解：（1） = 8分（2

18、）因为 =所以 = 16分 2解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 7分令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 14分方程组的通解为：，其中是任意常数 16分 3解：（1）= 7分 （2） 16分 4解：（1）因为 1= 3 k所以 k = 6分 (2) E(X) = 10分 E() = D(X) = E() - = 16分 四、证明题（本题6分） 证明： 因为 ，即 所以，A为可逆矩阵 6分工程数学（本）07秋模拟试题（二）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1矩阵A适合条件（ ）时，它的秩为rAA中任何r+1列线性相关 BA中任何r列线性相关CA中有r列线性无关 DA中线性无关的

19、列有且最多达r列 2下列命题中不正确的是（ ） AA与有相同的特征多项式 B若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量 C若=0是A的一个特征值，则必有非零解 DA的特征向量的线性组合仍为A的特征向量 3. 若事件A，B满足，则A与B一定（ ） A不互斥 B相互独立 C互不相容 D不相互独立 4设,是两个相互独立的事件，已知则（ ） A B C D 5设是来自正态总体的样本，则（ ）是统计量A B C D 二、填空题（每小题3分，共15分）1行列式的元素的代数余子式的值为= 2设均为二阶可逆矩阵，则AS 3设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础

20、解系含有 个解向量4设随机变量的概率分布为0 1 2a 0.2 0.5则a = 5设为随机变量，已知，那么 三、（每小题16分，共64分）1设矩阵，解矩阵方程2设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解3某射手射击一次命中靶心的概率是，该射手连续射击5次，求：（1）命中靶心的概率；（2）至少4次命中靶心的概率 4设随机变量X N（8，4）求 和 (，) 四、证明题（本题6分） 设向量组，如果线性相关，证明必线性相关工程数学（本）07秋模拟试题（二）参考解答 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1D 2D 3A 4B 5B 二、填空题（每小题3分，共15分） 1-56

21、2 33 40.3 58 三、（每小题16分，共64分）1解：因为 ，得 10分所以 16分 2解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 8分方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 16分 3解：射手连续射击5次，命中靶心的次数（1）设：“命中靶心”，则 8分（2）设：“至少4次命中靶心”，则 16分 4解：因为 X N（8，4），则 N（0，1） 所以 = = =0.383 8分 = = . 16分四、（本题6分） 证明：因为向量组线性相关，故存在一组不全为0的数，使成立于是存在不全为0的数，使成立，由相关性定义知必

22、线性相关 6分一、单项选择题1设为三阶可逆矩阵，且，则下式( )成立 A B C D 2下列命题正确的是（ ） A个维向量组成的向量组一定线性相关； B向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组 有解 C向量组,O的秩至多是 D设是矩阵，且，则的行向量线性相关 3设，那么A的特征值是( ) A1，1 B5，5 C1，5 D-4，6 4. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ） A B C D 5若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ ）A BC D 6矩阵A适合条件（ ）时，它的秩为rAA中任何r+1列线性相关 BA中任何r列线性相关CA中有r列线性无关 DA中线性无

23、关的列有且最多达r列 7下列命题中不正确的是（ ） AA与有相同的特征多项式 B若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量 C若=0是A的一个特征值，则必有非零解 DA的特征向量的线性组合仍为A的特征向量 8. 若事件A，B满足，则A与B一定（ ） A不互斥 B相互独立 C互不相容 D不相互独立 9设,是两个相互独立的事件，已知则（ ） A B C D 10设是来自正态总体的样本，则（ ）是统计量A B C D参考答案 1B 2C 3D 4B 5A 6D 7D 8A 9B 10B 二、填空题 1已知矩阵满足，则与分别是 阶矩阵 2线性方程组 一般解的自由未知量的个数为 3设A，B为两

24、个事件，若P（AB）= P（A）P（B），则称A与B 4设随机变量，则 5矿砂的5个样本中，经测得其铜含量为，（百分数），设铜含量服从N（，），未知，在下，检验，则取统计量 6行列式的元素的代数余子式的值为= 7设均为二阶可逆矩阵，则AS 8设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量9设随机变量的概率分布为0 1 2a 0.2 0.5则a = 10设为随机变量，已知，那么参考答案 1 22 3相互独立 40.9 5 6-56 7 83 90.3 108 三、计算题1设矩阵，求（1）； （2） 2设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得求

25、此齐次线性方程组的一个基础解系和通解3设是两个随机事件，已知，求：（1） ； （2）4设随机变量X的密度函数为，求：(1) k； (2) E(X )，D(X) 5设矩阵，解矩阵方程6设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解7某射手射击一次命中靶心的概率是，该射手连续射击5次，求：（1）命中靶心的概率；（2）至少4次命中靶心的概率 8设随机变量X N（8，4）求 和 (，)参考解答三、计算题（每小题16分，共64分）1解：（1） = （2）因为 =所以 = 2解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 令，得；令，得所以，是方程组的一个基础解系 方程组的通解为：，其中是任意

26、常数 3解：（1）= （2） 4解：（1）因为 1= 3 k所以 k = (2) E(X) = E() = D(X) = E() - = 5解：因为 ，得 所以 6解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 7解：射手连续射击5次，命中靶心的次数（1）设：“命中靶心”，则 （2）设：“至少4次命中靶心”，则 8解：因为 X N（8，4），则 N（0，1） 所以 = = =0.383 = = . 四、证明题 1设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵2设向量组，如果线性相关，证明必线性相关参考解答 1证明： 因为 ，即 所以，A为可逆矩阵 2证明：因为向量组线性相关，故存在一组不全为0的数，使成立于是存在不全为0的数，使成立，由相关性定义知必线性相关