高数上期末试题及答案(DOC 17页).doc

1、高等数学期末及答案一、 填空题（每小题3分，本题共15分）1、。2、当k 时，在处连续3、设,则4、曲线在点（0，1）处的切线方程是 5、若，为常数，则 。二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、若函数，则（ ）A、0 B、 C、1 D、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）A. B. C. D. 3、满足方程的是函数的（ ） A极大值点 B极小值点 C驻点 D间断点4、下列无穷积分收敛的是（ ）A、 B、 C、 D、5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则= A、 B、 C、 D、三、 计算题（每小题7分，本题共56分）1、求极限 。2、

2、求极限 3、求极限 4、设，求5、设由已知，求6、求不定积分 7、求不定积分 8、设， 求 四、 应用题（本题7分）求曲线与所围成图形的面积A以及A饶轴旋转所产生的旋转体的体积。五、 证明题（本题7分） 若在0,1上连续，在(0,1)内可导，且，证明：在(0,1)内至少有一点，使。参考答案一。填空题（每小题3分，本题共15分）1、 2、k =1 3、 4、 5、二单项选择题（每小题3分，本题共15分）1、D 2、B 3、C 4、B 5、A三计算题（本题共56分，每小题7分）1.解： 7分2.解 ： 7分3、解： 4、解： .4分 .7分5、解： （4分） （7分）6、解： （7分）7、 解：

3、8、解： 四 应用题（本题7分）解：曲线与的交点为（1，1）， 于是曲线与所围成图形的面积A为 A绕轴旋转所产生的旋转体的体积为： 五、证明题（本题7分） 证明： 设， 2分显然在上连续，在内可导，且 ，.零点定理知存在，使. 4分由，在上应用罗尔定理知，至少存在一点使，即 7分2006-2007第一学期高数试题一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1）函数的定义域为。2）。3）设，则。4）设，。5）若。二、 选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1）极限（ D ） A、2 B、 C、 D、不存在2）下列函数在上适合罗尔中值定理条件的是（ B ） A、 B、 C、 D、3）下列函数中

4、，哪一个不是的原函数（ C ） A、 B、 C、 D、4）设，则下列不等式正确的是（ D ） A、 B、 C、 D、5）设在上连续，则（ A ） A、 B、 C、 D、三、 计算下列各题（共4题，每小题6分，共24分）1）计算极限 解：原式2）设参数方程，求解：，。3）计算不定积分解：原式 四、 解答下列各题（共2题，每小题7分，共14分）1）在曲线上求一点，使它到点的距离最小。解：设曲线上一点坐标为，它到点的距离的平方为 ，我们只须在求得最小值当时，此时，取最小值。所求点为2）设由在第一象限围成的图形为，其面积为。又曲线将分为左右两部分，其面积分别为，求的值使。解： 又因为， 所以 五、 （

5、本题8分）设有无穷间断点，有可去间断点，求之值。解：因为是无穷间断点，所以时，因此， 又因为是可去间断点，而时，所以，当时， 有，因此。六、 （本题9分）设，讨论在处的连续性。解：因为，所以在处的连续。 ，又因为，所以 在处连续。（本题10分）设在内连续，可导且单调增， 试证明：在内也单调增。证明：因为，所以在处 连续。 当时， 在以为端点的闭区间上对函数运用拉格朗日中值定理，至少存在 之间的一点使得 当时，当时，即 ；当时，即，又因为在 处连续。所以在内也单调增。一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1） =_.（2）曲线上与直线平行的切线方程为_.（3）已知，且, 则_ .（

6、4）曲线的斜渐近线方程为 _（5）微分方程的通解为_二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) (B) (C) (D) （2）函数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）.(A)都是极值点. (B) 都是拐点.(C) 是极值点.，是拐点. (D) 是拐点，是极值点.图1-1 （3）函数满足的一个微分方程是（ D ）.（A） （B）（C） （D）（4）设在处可导，则为（ A ）.(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . （5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.(A) (B) (C) (D) 三、计算题（本题共4小题，

7、每小题6分，共24分）.1求极限. 解 =-1分 =-2分 = -1分 = -2分2.方程确定为的函数，求与.解 -（3分）-（6分）3. 4. 计算不定积分 .4.计算定积分.解 - - （3分） - -（6分）（或令）四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1（本题6分）解微分方程.2（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力 解：建立坐标系如图xy 3. （本题8分）设在上有连续的导数，且，试求.4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D.(1) (3) 求D的面积A;(2) (4

8、) 求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是 -1分由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为 -1分 平面图形D的面积 -2分（2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 -2分曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为， -1分因此所求旋转体的体积为 -1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数，.解法一：解法二：设则-1分因为- 1分当时，单调增加，-2分当时，单调增加，-2分所以对于任意的实数，即。-1分解法三：由微分中值定理得，其中位于0到x之间。-2分当时，。-2分当时，。-2

9、分所以对于任意的实数，。-1分期末高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小

10、题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17.

11、 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6.7. . 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。 ，在处连续。13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕。17.证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即.