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1、高等数学下册试题库一、填空题1. 平面与直线平行的直线方程是_2. 过点且与向量平行的直线方程是_3. 设，且，则_4. 设，则_5. 设平面通过原点，且与平面平行，则6. 设直线与平面垂直，则7. 直线，绕轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_8. 过点且平行于向量及的平面方程是_9. 曲面与平面的交线在面上的投影方程为_10. 幂级数的收敛半径是_11. 过直线且平行于直线的平面方程是_12. 设则13. 设则14. 设则_15. 设则_16. 设则_17. 曲线，在对应的处的切线与平面平行，则_18. 曲面在点处的法线与平面垂直，则_19. 设，则=_， =_20. 求通过点和轴的平面方程

2、为_21. 求过点且垂直于平面的直线方程为_22. 向量垂直于向量和，且与的数量积为，则向量=_23. 向量分别与垂直于向量与，则向量与的夹角为_24. 球面与平面的交线在面上投影的方程为_25. 点到直线：的距离是_26. 一直线过点且平行于平面：，又与直线： 相交，则直线的方程是_27. 设28. 设知量满足，则29. 已知两直线方程，则过且平行的平面方程是_30. 若，则 ， _31. _. =_32. 设 33. 设 则 34. 由方程确定在点全微分_35. ，其中可微，则 36. 曲线在平面上的投影曲线方程为 _37. 过原点且垂直于平面的直线为_38. 过点和且平行于轴的平面方程为

3、 _39. 与平面垂直的单位向量为_40. ,可微，则41. 已知，则在点处的全微分42. 曲面在点处的切平面方程为43. 设 由方程，求=_44. 设，其中二阶可导，具有二阶连续偏导数 有=_45. 已知方程定义了，求=_46. 设，其中，都具有一阶连续偏导数，且，求=_47. 交换积分次序 _48. 交换积分次序=_49. 其中50. ，其中D是由两坐标轴及直线所围51. ，其中D是由所确定的圆域52. ，其中D：53. ，其中D是由所围成的区域54. 55.56. 设L为，则按L的逆时针方向运动一周所作的功为57. 曲线点处切线方程为_58. 曲面在（2，1，3）处的法线方程为_59.

4、，当p满足条件 时收敛60. 级数的敛散性是_61. 在x=-3时收敛，则在时 62. 若收敛，则的取值范围是_63. 级数的和为 64. 求出级数的和=_65. 级数的和为 _66. 已知级数的前项和，则该级数为_67. 幂级数的收敛区间为 68. 的收敛区间为 ，和函数为 69. 幂级数的收敛区间为 70. 级数当a满足条件 时收敛71. 级数的收敛域为 _72. 设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为 _73. 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 74. 设函数关于的幂级数展开式为 _，该幂级数的收敛区间为 _ 75. 已知 ，则 _76. 设 y,那么_，_77. 设是由及所围成

5、的闭区域，则_78. 设是由及所围成的闭区域，则_79. _,其中为圆周80. _,其中是抛物线上从点到点的一段弧。二、选择题1. 已知与都是非零向量，且满足，则必有（ ）(A)； (B) ； (C) (D)2. 当与满足（ ）时，有； (为常数)； ； 3. 下列平面方程中，方程( )过轴；(A) ； (B) ； (C) ； (D) 4. 在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面5. 直线与平面的位置关系是( )(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为6. 若直线(2+5)+( -2)

6、+4=0与直线(2-)+(+3) -1=0互相垂直，则（ ）：(A). =2 (B). =-2 (C). =2或=-2 (D). =2或=07. 空间曲线在面上的投影方程为( )(A)； (B)； (C) ；(D)8. 设，则关于在0点的6阶导数是（ ）(A)不存在 (B) (C) (D)9. 设由方程所确定，其中可微，为常数，则必有（ ）(A) (B) (C) (D) 10. 设函数，则函在处（ ）(A)不连续 (B)连续但不可微 (C)可微 (D)偏导数不存在11. 设函数在点处偏导数存在，则在点处 ( )(A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 12. 设 ，则

7、( )(A).-x4y2 (B).-x4y2 2xy (C).-x4y2 (-2t) (D).-x4y2 (-2x2y)13. 已知在处偏导数存在，则 (A).0 (B). (C). (D).14. 设，则在点关于叙述正确的是（ ）(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在15. 函数极限( )(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立16. 设，则(A) (B) (C) (D) 17. 关于的方程有两个相异实根的充要条件是( )(A).- (B). -k (C).1 (D). 118. 函数，则函在处（ ）(

8、A).不连续 (B)连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在19. 设= ，则 = ( )(A).+ (B) (C). (D).20. 函数 在点处 ( )(A).不连续 (B)连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值21. 设 ,则 = ( )(A).0 (B)1 (C). (D).22. 设 则 + = ( )(A). (B) (C). (D).23. 若函数在点处取极大值，则 ( )(A)., (B)若是内唯一极值点，则必为最大值点(C).D、以上结论都不正确24. 判断极限(A).0 (B)1 (C).不存在 (D).无法确定25. 判断极限(A).0 (B)1 (C

9、).不存在 (D).无法确定26. 设可微，则(A).1 (B)-1 (C).2 (D).-227. 设，其中是由方程确定的隐函数，则(A).0 (B)-1 (C).1 (D).-228. 设是次齐次函数，即，其中为某常数，则下列结论正确的是（ ）(A) (B)(C). (D).29. 已知，其中是正方形域：，则( )(A). B (C). (D).30. 设，其中是由以及围成在，则(A). (B) (C). (D).31. 设，则下列命题不对的是：（ ）(A). (B) (C). (D).32. 设是连续函数，当时，则(A).2 (B)1 (C).0 (D).33. 累次积分可写成（ ）(A

10、). (B) (C). (D).34. 函数的极值为（ ）(A).极大值为8 (B)极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为035. 函数在附加条件下的极大值为（ ）(A). (B) (C). D136. ，其中由所确定的闭区域。(A). (B) (C). (D).037. ，其中的大小关系为:（ ）。(A). (B). (C). (D). 无法判断38. 设连续,且,其中D由所围成,则(A). (B). (C). (D). 39. 的值是( )(A) (B) (C) (D) 40. 设是 所围成区域, 是由直线和轴, 轴所围成的区域，则 (A) (B) 0 (C) (D) 241.

11、半径为均匀球壳对于球心的转动惯量为（ ）(A) 0 (B) (C) (D) 42. 设椭圆：的周长为，则（ ） (A) (B) (C) (D) 43. 下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） （C） (D)44. 下列级数中不收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）45. 下列级数中收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）46. 为正项级数，下列命题中错误的是（ ）(A)如果，则收敛。 (B) ，则发散(C) 如果，则收敛。 (D)如果，则发散47. 下列级数中条件收敛的是（ ）（A） （B） (C） （D）48. 下列级数中绝对收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）49. 当收

12、敛时，与（ ）（A）必同时收敛 （B）必同时发散 （C）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛50. 级数收敛是级数收敛的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件51. 为任意项级数，若且，则该级数（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定52. 下列结论中，正确的为（ ） （A）若发散，则发散； （B）若收敛，则发散 （C）若收敛，则收敛；（D）若与发散，则发散53. 函数的麦克劳林展开式前三项的和为（ ） （A）； （B）； （C）； （D）54. 设，则下列命题正确的是（ ）（A）若条件收敛，则与都收敛；（B）

13、若绝对收敛，则与都收敛；（C）若条件收敛，则与的敛散性都不定；（D）若绝对收敛，则与的敛散性都不定.55. 设 , 则（ ）(A) 与 都收敛. (B) 与 都发散.(C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛56. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处（ ） (A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定57. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ）(A) (2, 4) (B) 2, 4 (C) (3, 3) (D) (4, 2)58. 若幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛开区间为（ ）（A） （B） （C） （D）59. 级数

14、的收敛区间（ ）（A）（4，6） （B） （C） （D）4，660. 若级数的收敛域为，则常数=（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）以上都不对61. 若幂级数在处收敛，则该级数在处（ ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定62. 函数展开成的幂级数为（ ）（A） （B） （C） （D）63. 函数展开成的幂级数是（ ）（A） （B） （C） （D）64下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）（A）， （B），（C）， （D），65向量与轴垂直，则（ ）（A） （B） （C） （D） 66设，则有（ ）（A） （B） （C） （D）67直线与直线关系是( )

15、(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直68柱面的母线平行于（ ）（A）轴 （B）轴 （C） 轴 （D）面69设均为非零向量，则（ ）（A） （B） （C） （D）70函数的定义域为（ ）（A） （B） （C） （D）或71，则（A） （B） （C） （D）72下列各点中，是二元函数的极值点的是（ ）（A） （B） （C） （D）73（ ）（A） （B） （C） （D）74设是由，所围成的闭区域，则（ ）（A） （B） （C） （D）0 75设是由所确定的闭区域，则（ ）（A） 2 （B） （C） （D）0 三、计算题1、下列函数的偏导数（1）； （2）；（3）

16、； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）(13)； （14）；（15）（为常数）；（16）且为常数。（17） ；求2设，求及。3设，验证。4求下列函数在指定点的全微分： （1），在点； （2），在点； （3），在点和。5求下列函数的全微分： （1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）。6验证函数 在原点连续且可偏导，但它在该点不可微。7验证函数 的偏导函数在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。8计算下列函数的高阶导数：（1），求；（2），求；（3），求；（4），求；（5），求；（6），求。（7），求；9. 计算下列重积分:（1） ,其中是矩

17、形闭区域: , （2） ,其中是矩形闭区域:, （3） ,其中是顶点分别为 (0,0), 和 的三角形闭区域.（4） ,其中是由两条抛物线 ,所围成的闭区域.（5）,其中是由 所确定的闭区域.（6） 改换下列二次积分的积分次序 （7） （8） （9） ,其中是由圆周 所围成的区域.（10）,其中是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.（11）,其中 是由直线 , 及曲线 所围成的闭区域（12）,其中 是由圆周 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.（13）,其中 是由直线, , , 所围成的闭区域.（14）,其中 是圆环形闭区域:（15）,其中 是平行四边形闭区域,它的四个顶点是 , ,

18、 和 .（16）,其中 是由两条双曲线 和 ,直线 和 所围成的在第一象限内的闭区域.（17）,其中 是由 轴, 轴和直线 所围成的闭区域（18）,其中 为椭圆形闭区域 （19） 化三重积分 为三次积分,其中积分区域分别是(1) 由曲面 及平面 所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。(2) 由曲面 (c0), , 所围成的在第一卦限内的闭区域.（20）计算 ,其中 为平面 , , , 所围成的四面体.（21）计算 ,其中 是由平面 , , ,以及抛物柱面 所围成的闭区域.（22）计算 ,其中 是由锥面 与平面所围成的闭区域.（23）利用柱面坐标计算下列三重积分 (1) ,其中 是由曲面 及 所围成

19、的闭区域 (2) ,其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域（24）利用球面坐标计算下列三重积分 (1) ,其中 是由球面所围成的闭区域. (2) ,其中闭区域 由不等式 , 所 确定.25.选用适当的坐标计算下列三重积分 (1) ,其中 为柱面 及平面 , , 所围成的在第一卦限内的闭区域 (2) ,其中 是由球面 所围成的闭区域 (3) ,其中 是由曲面 及平面 所围成的闭区域. (4) ,其中闭区域 由不等式 , 所确定.26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积 (1) 及 (含有 轴的部分). (2) 及 二. 曲线积分1计算下列对弧长的曲线积分(1) ,其中 为圆周 , (2

20、) ,其中 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段(3) ,其中 为由直线 及抛物线 所围成的区域的整个边界.(4) ,其中 为圆周 ,直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.(5) ,其中 为曲线 , 上相应于 从0变到2的这段弧.(6) ,其中 为折线 ,这里 , , ,依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2).(7) ,其中 为摆线的一拱 , (8) ,其中 为曲线 , 2计算下列对坐标的曲线积分(1) ,其中 是抛物线 上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧(2) ,其中 为圆周 及 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行).(

21、3) ,其中 为圆周(按逆时针方向绕行).(4) ,其中 为曲线 , 上对应 从0到 的一段弧.(5) ,其中 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线(6) ,其中 是抛物线 上从点 到点(1,1)的一段弧.3. 计算 ,其中 是(1) 抛物线 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.(2) 从点(1,1)到点(4,2)的直线段(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线.(4) 曲线 , 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.4.把对坐标的曲线积分 划成对弧长的曲线积分,其中 为(1) 在 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)(2) 沿抛物线

22、从点(0,0)到点(1,1)(3) 沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)5.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性. (1) ,其中 是由抛物面 和 所围成的区域的正向边界曲线. (2) ,其中 是四 个顶点分别为(0,0),(2,0),(0,2)和(2,2)的正方形区域的正向 边界.6.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积(1) 星形线 , (2) 椭圆 7.证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关,并计算积分值 (1) (2) 8.利用格林公式,计算下列曲线积分 (1) ,其中 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界 (2) ,其中 为正向星形线 (3)

23、 ,其中 为在抛物面 上由点(0,0)到 的一段弧 (4) ,其中 是在圆周 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧9.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分,并求这样的一个 (1) (2) (3) 第三部分 级数1. 判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 2. 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 3. 用比值审敛法判别下列级数的收敛性（1） （2） （3） 4用根值审敛法判别下列级数的收敛性 (1) (2) (3) ,其中 , , , 均为 正数.5.判别下列级数的收敛性(1) (2) (3) (4) 6.判别下列级数是否收敛?如果

24、是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? (1) (2) (3) (4) 7.求下列幂级数的收敛区间 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数. (1) (2) (3) 9.将下列函数展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间. (1) (2) (3) (4) 10.将 展开成 的幂级数,并求展开式成立的区间.11.将函数 展开成 的幂级数.12.将函数 展开成 的幂级数.13.将函数 展开成 的幂级数.14.利用函数的幂级数展开式求下列各数的近似值. (1) (误差不超过0.0001); (2) (误差不超过0.00001) (3) (误差不超过0

25、.0001)15.利用被积函数的幂级数展开式求下列定积分的近似值. (1) (误差不超过0.0001)16.将函数 展开成 的幂级数17.下列周期函数 的周期为 ,试将 展开成傅里叶级数,如果 在 上的表达式为 (1) (2) (3) ( 为常数,且 )18.将下列函数展开成傅里叶级数 (1) (2) 19.将函数 展开成傅里叶级数.20.设 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数.21.将函数 展开成正弦函数22.将函数 分别展开成正弦技术和余弦级数23.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式) (1) (2) (3) 24.将下列函数分别

26、展开成正弦级数和余弦级数 (1) (2) 25.设 是周期为2的周期函数,它在 上的表达式为 ,试将 展开成复数形式的傅里叶级数.26设 是周期为 的周期函数,已知它的傅里叶级数的复数形式为试写出的傅里叶级数的实数形式(即三角形式)四、 证明题1三角形的三条垂线交于一点。（提示：用向量方法）2设其中是导数存在的一元函数，证明函数满足方程。3证明不存在。4设证明5证明：曲面的任一切平面与坐标面形成的四面体体积为常数。6设， 证明：但不连续。7证明不等式。8证明曲线积分与路径无关，其中是由点（0，0） 到（1，1）的曲线，并计算的值。9若级数收敛，证明收敛。10. 已知级数和都收敛，证明级数绝对收

27、敛。五、 应用题1 求曲线与平面平行的切线。2 用对称式方程及参数方程表示直线3 曲面在点（1，2，0）处的切平面方程和法线方程。4 求曲面及所围成的立体的体积。5 求由曲面及所围成图形的体积。6求位于两圆和之间的均匀薄片的重心位置。7试分解已知正数为三个正数之和，而使它们的倒数之积最小。8在第一卦限内作椭球的切平面，使得切平面与三坐标面围成的体积最小，求切点的坐标。9设生产某种产品必须投放入两种要素， 和分别为两要素的投入量，Q为产出量，若生产函数，其中为正常数，且假设两种要素的价格分别为试问，当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。10某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为，销售量分别为需求函数及总成本函数分别为，试问厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少？11求级数的和。12计算积分的近似值。13将函数展开的幂级数。14设有一个无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm,内高为20cm，内半径为4cm,求容器外壳体积的近似值。15设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。26 / 26