2017天津高考理科数学试卷含答案.doc

1、第 1 页 （共 8 页） 2 2017017 天津理天津理 【试卷点评】【试卷点评】 2017 年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与 2016 年相同，从知识结构角度看，试卷 考查内容覆盖面广，与往年基本一致与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意 的命题思路与稳中求变的命题特点整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比 稍有降低 纵观整篇试卷，命题严格按照考试说明与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现 了命题人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查对于此部分题目，只要考 生熟练掌握基本概念和定理，就可以轻松得分试卷在知识点选择上与去年相比略

2、有改变，考验学 生基础知识掌握的全面性试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有 较好的信度和效度 在注重基础和应用的同时， 今年天津高考试卷也加强了综合性与创新性的考查， 以提高试卷区分度， 如第 8 题，主要考查基本初等函数的图象和性质，设问综合了分段函数单调性、函数零点以及图象 变换等典型考点，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生的知识理解深度与分 析问题解决问题的能力第 19 题总的来说需要考生熟练掌握解析几何中常见几何图形性质的代数 表达并合理选择参数简化运算，对考生的运算和解题技巧要求较高第 20 题设问较为新颖，命题 具有一定的抽象性与综合性，

3、 需要学生基于三次函数单调性与极值最值的关系进行探索分析， 考查函数与方程、分类讨论、转化等数学思想，问题思路环环相扣，逻辑严密，难度较大，充分考 验学生的心理素质，具有较好的区分度，体现了高考的选拔性，另外也给优秀学生提供了展示自身 能力的平台，也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识的培养2016 年天津理科数学 试卷继续稳字当头，平凡问题考查真功夫，没有出现任何偏题怪题，有利于学生考出好成绩，也对 中学数学教学回归教材、扎实基础有很好的导向作用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A

4、1，2，6，B2，4，CxR|1x5，则(AB)C( ) A2 B1，2，4 C1，2，4，5 DxR|1x5 【解析】因 A1，2，6，B2，4，故 AB1，2，4，6，又 CxR|1x5，故(A B)C1，2，4 2设变量 x，y 满足约束条件 2xy0， x2y20， x0， y3， 则目标函数 zxy 的最大值为( ) A2 3 B1 C 3 2 D3 【解】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由 zxy 得 yxz，作出直线 y x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在 B(0，3)处取得，故 zmax033，选项 D 符 合 3阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入

5、 N 的值为 24，则输出 N 的值为( ) 第 2 页 （共 8 页） A0 B1 C2 D3 【解析】依次为 N8，N7，N6，N2，输出 N2，选 C 4设 R，则“| 12| 12”是“sin 1 2”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】法一：由| 12| 12，得 0 6，故 sin 1 2由 sin 1 2，得 7 6 2k 62k， kZ，推不出“ | 12| 12” 故选 A 法二：| 12| 120 6sin 1 2，而当 sin 1 2时，取 6，| 6 12| 4 12故选 A 5已知双曲线x 2 a2 y2 b2

6、1(a0，b0)的左焦点为 F，离心率为 2若经过 F 和 P(0，4)两点的 直线平行于双曲线的一渐近线，则双曲线的方程为( ) Ax 2 4 y2 41 B x2 8 y2 81 C x2 4 y2 81 D x2 8 y2 41 【解析】由 e 2知 ab，且 c 2a故双曲线渐近线方程为 y x又 kPF40 0c 4 c1，故 c 4，则 a2b2c 2 28故双曲线方程为 x2 8 y2 81 6已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x)若 ag(log251)，bg(20 8)，cg(3)， 则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bcba Cbac Dbc

7、a 【解一】易知 g(x)xf(x)在 R 上为偶函数，因奇函数 f(x)在 R 上是增函数，且 f(0)0故 g(x)在(0， )上是增函数又 3log251220 8，且 ag(log 251)g(log251)，故 g(3)g(log251) g(20 8)，则 cab 法二 (特殊化)取 f(x)x，则 g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又 3log25120 8， 从而可得 cab 7设函数 f(x)2sin(x)，xR，其中 0，|若 f 5 8 2，f 11 8 0，且 f(x) 的最小正周期大于 2，则( ) 第 3 页 （共 8 页） A2 3， 12 B 2 3，

8、 11 12 C1 3， 11 24 D1 3， 7 24 【解析】因 f 5 8 2，f 11 8 0，且 f(x)的最小正周期大于 2，故 f(x)的最小正周期为 4 11 8 5 8 3，故 2 3 2 3，故 f(x)2sin 2 3x 故 2sin 2 3 5 8 2，得 2k 12，kZ，又|， 故取 k0，得 12 8 已知函数 f(x) x 2x3，x1， x2 x，x1. 设 aR， 若关于 x 的不等式 f(x)|x 2a|在 R 上恒成立， 则 a 的取值范围是( ) A47 16，2 B 47 16， 39 16 C2 3，2 D 2 3，39 16 【解析】根据题意，

9、作出 f(x)的大致图象，如图所示 当 x1 时， 若要 f(x)|x 2a|恒成立， 结合图象， 只需 x 2x3(x 2a)， 即 x 2x 23a0， 故对于方程 x2x 23a0，( 1 2) 24(3a)0，解得 a47 16；当 x1 时，若要 f(x)| x 2 a|恒成立，结合图象，只需 x2 x x 2a，即 x 2 2 xa又 x 2 2 x2，当且仅当 x 2 2 x，即 x2 时等号 成立，故 a2综上，a 的取值范围是47 16，2 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 30 分分 9已知 aR，i 为虚数单位，若ai

10、 2i为实数，则 a 的值为 【解析】ai 2i （ai）（2i） （2i）（2i） （2a1）（a2）i 5 2a1 5 a2 5 i 为实数，则a2 5 0，a 2 10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体 积为 【解析】设正方形的边长为 a，则 6a218，即 a23，故外接球直径 2R 3a3，故 V4 3R 34 3 (3 2) 39 2 11在极坐标系中，直线 4cos( 6)10 与圆 2sin 的公共点的个数为_ 【解析】直线为 2 3x2y10，圆为 x2(y1)21，因 d3 41，故有两个交点 12若 a，bR，ab0，则a 4

11、4b41 ab 的最小值为_ 第 4 页 （共 8 页） 【解】 因 a， bR， ab0， 故a 44b41 ab 4a 2b21 ab 4ab 1 ab2 4ab 1 ab4， 当且仅当 a 22b2， 4ab 1 ab， 即 a2 2 2 ， b2 2 4 时取得等号 13在ABC 中，A60，AB3，AC2，若BD 2DC ，AE ACAB(R)，且AD AE 4，则 的值为_ 【解析】 AB AC3 2 cos 60 3， AD 1 3AB 2 3AC ， 则AD AE (1 3AB 2 3AC ) (ACAB)2 3 AB AC 1 3AB 22 3 AC 22 3 31 3 3

12、22 3 2211 3 54，解得 3 11 14用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位 数，这样的四位数一共有_个(用数字作答) 【解析】当不含偶数时，有 A45120 个，当含有一个偶数时，有 C14C35A44960 个，故这样的四位数 共有 1 080 个 三三 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15(本小题满分 13 分)在在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 ab，a 5，c6，sin B3 5

13、(1)求 b 和 sin A 的值； (2)求 sin(2A 4)的值 【解析】(1)在ABC 中，因为 ab，故由 sin B3 5，可得 cos B 4 5由已知及余弦定理，有 b 2a2 c22accos B13，故 b 13由正弦定理 a sin A b sin B，得 sin A asin B b 3 13 13 故，b 的值为 13，sin A 的值为3 13 13 (2)由(1)及 ac，得 cos A2 13 13 ，故 sin 2A2sin Acos A12 13，cos 2A12sin 2A5 13故 sin(2A 4)sin 2Acos 4cos 2Asin 4 7 2

14、26 16(本小题满分 13 分)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立， 且在各路口遇到红灯的概率分别为1 2， 1 3， 1 4 (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 【解析】(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P(X0) 11 2 11 3 11 4 1 4， P(X1)1 2 11 3 11 4 11 2 1 3 11 4 11 2 11 3 1 4 11 24， 第 5 页 （共 8 页） P(X2) 11 2

15、 1 3 1 4 1 2 11 3 1 4 1 2 1 3 11 4 1 4， P(X3)1 2 1 3 1 4 1 24 故，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量 X 的数学期望 E(X)01 41 11 242 1 43 1 24 13 12 (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)1 4 11 24 11 24 1 4 11 48故，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 11 48 17(本

16、小题满分 13 分)如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90点 D，E， N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PAAC4，AB2 (1)求证：MN平面 BDE； (2)求二面角 CEMN 的正弦值； (3)已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 7 21，求线段 AH 的长 解 如图，以 A 为原点，分别以AB ，AC，AP方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方 向建立空间直角坐标系依题意，可得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4， 0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0

17、，1)，N(1，2，0) (1)证明 DE (0，2，0)，DB (2，0，2)设 n(x，y，z)为平面 BDE 的一个法向量， 则 n DE 0， n DB 0， 即 2y0， 2x2z0.不妨设 z1， 可得 n(1， 0， 1)又MN (1，2，1)，可得MN n0因为 MN平面 BDE，故 MN平面 BDE (2)易知 n1(1，0，0)为平面 CEM 的一个法向量设 n2(x1，y1，z1)为平面 EMN 的一个法向量， 则 n2 EM 0， n2 MN 0， 因为EM (0，2，1)，MN (1，2，1)，故 2y1z10， x12y1z10.不妨设 y 11， 第 6 页 （共

18、 8 页） 可得 n2(4，1，2)因此 cosn1，n2n1n2 |n1|n2| 4 21，于是 sinn1，n2 105 21 故二 面角 CEMN 的正弦值为 105 21 (3)依题意，设 AHh(0h4)，则 H(0，0，h)，进而可得NH (1，2，h)， BE (2，2， 2)由已知，得|cosNH ，BE |NH，BE | |NH |BE | |2h2| h252 3 7 21，整理得 10h 221h80， 解得 h8 5，或 h 1 2故，线段 AH 的长为 8 5或 1 2 18(本小题满分 13 分)已知an为等差数列，前 n 项和为 Sn(nN*)，bn是首项为 2

19、的等比数列， 且公比大于 0，b2b312，b3a42a1，S1111b4 (1)求an和bn的通项公式； (2)求数列a2nb2n1的前 n 项和(nN*) 【解析】(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q由已知 b2b312，得 b1(qq2) 12，而 b12，故 q2q60又 q0，解得 q2故，bn2n由 b3a42a1，可得 3da1 8由 S1111b4，可得 a15d16，联立，解得 a11，d3，由此可得 an3n2故， 数列an的通项公式为 an3n2，数列bn的通项公式为 bn2n (2)设数列a2nb2n1的前 n 项和为 Tn，由 a2n6n2，b2

20、n124n 1，有 a 2nb2n1(3n1)4 n，故 Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n 1)4n 1，上述两式相减，得3T n2434 234334n(3n1)4n1 12（14n） 14 4(3n1)4n 1(3n2)4n18得 T n3n2 3 4n 18 3故，数列a2nb2n 1的前 n 项和为3n2 3 4n 18 3 (19)(本小题满分 14 分)设椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 1 2已 知 A 是抛物线 y22px(p0)的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为1 2 (1)求

21、椭圆的方程和抛物线的方程； (2)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B(B 异于点 A)，直线 BQ 与 x 轴 相交于点 D若APD 的面积为 6 2 ，求直线 AP 的方程 【解析】(1)设 F 的坐标为(c，0)依题意，c a 1 2， p 2a，ac 1 2，解得 a1，c 1 2，p2，于 是 b2a2c23 4故，椭圆的方程为 x 24y 2 3 1，抛物线的方程为 y24x (2)设直线 AP 的方程为 xmy1(m0)，与直线 l 的方程 x1 联立得，点 P 1，2 m ，故 第 7 页 （共 8 页） Q 1，2 m 将 xmy1 与 x

22、24y 2 3 1 联立，消去 x，整理得(3m24)y26my0，解得 y0，或 y 6m 3m24由点 B 异于点 A，可得点 B 3m24 3m24 ， 6m 3m24 由 Q 1，2 m 得，直线 BQ 的方程 为 6m 3m24 2 m (x1) 3m24 3m24 1 y2 m 0，令 y0 得，x23m 2 3m22，故 D 23m2 3m22，0 故 |AD|123m 2 3m22 6m2 3m22又APD 的面积为 6 2 ，故1 2 6m2 3m22 2 |m| 6 2 ，整理得 3m22 6|m| 20，解得|m| 6 3 ，故 m 6 3 故，直线 AP 的方程为 3x

23、 6y30，或 3x 6y30 (20)(本小题满分 14 分)设 aZ， 已知定义在 R 上的函数 f(x)2x43x33x26xa 在区间(1， 2)内有一个零点 x0，g(x)为 f(x)的导函数 求 g(x)的单调区间； 设 m1，x0)(x0，2，函数 h(x)g(x)(mx0)f(m)，求证：h(m) h(x0)0； 求证：存在大于 0 的常数 A，使得对于任意的正整数 p，q，且p q1，x0)(x0，2，满足 |p qx0| 1 Aq4 【解析】由 f(x)2x43x33x26xa，可得 g(x)f(x)8x39x26x6，进而可得 g(x) 24x218x6令 g(x)0，解

24、得 x1 或 x1 4当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表： x (，1) (1，1 4) (1 4，) g(x) g(x) 故 g(x)的单调递增区间是(，1)，(1 4，)，单调递减区间是(1， 1 4) 证明：由 h(x)g(x)(mx0)f(m)，得 h(m)g(m)(mx0)f(m)，h(x0)g(x0)(mx0)f(m)令 函数 H1(x)g(x)(xx0)f(x)， 则 H1(x)g(x)(xx0) 由(1)知， 当 x1， 2时， g(x)0， 故当 x1， x0)时， H1(x)0， H1(x)单调递减； 当 x(x0，2时， H1(x)0， H1(x)单调递增

25、 因此， 当 x1， x0)(x0， 2时，H1(x)H1(x0)f(x0)0，可得 H1(m)0，即 h(m)0令函数 H2(x)g(x0)(xx0)f(x)， 则 H2(x)g(x0)g(x)由(1)知 g(x)在1，2上单调递增，故当 x1，x0)时，H2(x)0，H2(x)单调 递增；当 x(x0，2时，H2(x)0，H2(x)单调递减因此当 x1，x0)(x0，2时，H2(x)H2(x0) 0，可得 H2(m)0，即 h(x0)0故 h(m)h(x0)0 证明： 对于任意的正整数 p， q， 且p q1， x0)(x0， 2， 令 m p q， 函数 h(x)g(x)(mx0)f(m

26、) 由 (2)知， 当 m1， x0)时， h(x)在区间(m， x0)内有零点； 当 m(x0，2时， h(x)在区间(x0， m)内有零点 故 h(x)在(1，2)内至少有一个零点，不妨设为 x1，则 h(x1)g(x1)(p qx0)f( p q)0由(1)知 g(x)在1， 2 上 单 调 递 增 ， 故0 g(1) g(x1) g(2) ， 于 是 | p q x0| f p q gx1 f p q g2 第 8 页 （共 8 页） |2p43p3q3p2q26pq3aq4| g2q4 因为当 x1，2时，g(x)0，故 f(x)在1，2上单调递增，故 f(x) 在区间1，2上除 x

27、0外没有其他的零点，而p qx0，故 f( p q)0又 p，q，a 均为整数，故|2p 43p3q 3p2q26pq3aq4|是正整数，从而|2p43p3q3p2q26pq3aq4|1故|p qx0| 1 g2q4故只要取 Ag(2)，就有|p qx0| 1 Aq4 在极坐标系中，已知直线 4cos 6 10 与圆 2sin ，试判定直线与圆的位置关系 解 由 4cos 6 10 得 2 3cos 2sin 10，故直线的直角坐标方程为 2 3x2y1 0由 2sin 得 22sin ，故圆的直角坐标方程为 x2y22y，则 x2(y1)21圆心为(0， 1)，半径为 r1圆心到直线 2 3x2y10 的距离 d |2 11| （2 3）222 3 41，直线与圆相 交，有两个公共点