2017上海高考数学试卷含答案.doc

1、 第 1 页（共 7 页） 20172017 上海上海 一、填空题一、填空题(本大题共本大题共 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分) 1(2017 年上海)已知集合 A1，2，3，4，集合 B3，4，5，则 AB 【解析】因集合 A1，2，3，4，集合 B3，4，5，故 AB3，4 2(2017 年上海)若排列数 Am 6654，则 m_ 【解析】【解析】因排列数 Am 665(6m1)，故 6m14，解得m3 3(2017 年上海)不等式x1 x 1 的解集为 【解析】由x1 x 1，得 11 x1，则 1 x0，

2、解得 x0，即原不等式的解集为(，0) 4(2017 年上海)已知球的体积为 36，则该球主视图的面积等于 【解析】设球的半径为 R，则由球的体积为 36，可得4 3R 336，解得 R3该球的主视图是半 径为 3 的圆，其面积为 R29 5(2017 年上海)已知复数 z 满足 z3 z0，则|z| 【解析】【解析】由 z3 z0 得 z 230，即 z23，故 z 3i，|z| 3 6(2017 年上海)设双曲线x 2 9 y2 b21(b0)的焦点为 F1，F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|5， 则|PF2| 【解析】【解析】 双曲线x 2 9 y2 b21 中， a 93 由双

3、曲线的定义得|PF1|PF2|6 又|PF1|5， 解得|PF2| 11 或1(舍去)，所以|PF2|11 7(2017 年上海)如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直 线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量 DB1的坐标为(4，3，2)，则向量 AC1的坐标是 【解析】【解析】由 DB1的坐标为(4，3，2)，可得 A(4，0，0)，C(0，3，2)，D1(0，0，2)，则 C1(0，3，2)， 故 AC1(4，3，2) 8(2017 年上海)定义在(0，)上的函数 yf(x)的反函数为 yf 1(x)，若 g(x) 3x-1，x0， f(x

4、)，x0 为奇 函数，则 f 1(x)2 的解为 【解析】g(x) 3x-1，x0， f(x)，x0 为奇函数，可得当 x0 时，x0，即有 g(x)g(x)(3 x1) 第 2 页（共 7 页） 13 x，则 f(x)13x由 f1(x)2，可得 xf(2)1328 9，即 f 1(x)2 的解为8 9 9(2017 年上海)已知四个函数：yx，y1 x，yx 3，yx1 2从中任选 2 个，则事件 “所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】【解析】从四个函数中任选 2 个，基本事件总数 nC246， “所选 2 个函数的图象有且只有一个公 共点”包含的基本事件有，共 2

5、 个故事件“所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点” 的概率为 p2 6 1 3 10(2017 年上海)已知数列an和bn，其中 ann2，nN*，bn的项是互不相等的正整数，若对 于任意 nN*，bn的第 an项等于an的第 bn项，则lg(b1b4b9b16) lg(b1b2b3b4) 【解析】因 ann2，nN*，若对于一切 nN*，bn中的第 an项恒等于an中的第 bn项，故 ban abnb2n故 b1b12，b4b22，b9b32，b16b42故 b1b4b9b16(b1b2b3b4)2，lg(b1b4b9b16) lg(b1b2b3b4) 2 11(2017 年上海)设 1

6、，2R 且 1 2+sin 1 1 2+sin 222，则|1012|的最小值等于 【解析】由1sin 11，可得 12sin 13，则1 3 1 2+sin 11同理可得 1 3 1 2+sin 221要 使 1 2+sin 1 1 2+sin 222， 则 1 2+sin 1 1 2+sin 221， 即 sin 1sin 221 所以 12k1 2， 22 2k2 2，k1，k2Z所以|1012|10(2k1 2)(k2 4)|10 3 4 (2k1k2)|，当 2k1k211 时，|1012|取得最小值 4 12 (2017 年上海)如图， 用 35 个单位正方形拼成一个矩形， 点 P

7、1， P2， P3， P4以及四个标记为 “” 的点在正方形的顶点处，设集合 P1，P2，P3，P4，点 P，过 P 作直线 lP，使得不在 lP上 的“”的点分布在 lP的两侧用 D1(lP)和 D2(lP)分别表示 lP一侧和另一侧的“”的点到 lP的距 离之和若过 P 的直线 lP中有且只有一条满足 D1(lP)D2(lP)，则 中所有这样的 P 为 【解析】设记为“”的四个点为 A，B，C，D，线段 AB，BC，CD，DA 的中点分别为 E，F，G， H，易知 EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于点 P2，则经过 点 P2的所有直线都是符合条件的直

8、线 lP 因此经过点 P2的符合条件的直线 lP有无数条； 经过点 P1， P3，P4的符合条件的直线 lP各有 1 条，即直线 P2P1，P2P3，P2P4故 中所有这样的 P 为 P1，P3， P4 第 3 页（共 7 页） 二、选择题二、选择题(本大题共本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分分) 13(2017 年上海)关于 x，y 的二元一次方程组 x+5y=0， 2x+3y=4 的系数行列式 D 为( ) A 0 5 4 3 B 1 0 2 4 C 1 5 2 3 D 6 0 5 4 【解析】关于 x，y 的二元一次方程组 x+5y=0， 2x+3y=4 的系数行

9、列式 D 1 5 2 3 故选 C 14(2017 年上海)在数列an中，an(1 2) n，nN*，则lim n an( ) A等于1 2 B等于 0 C等于1 2 D不存在 【解析】数列an中，an(1 2) n，nN*，则lim nanlimn( 1 2) n0故选 B 15(2017 年上海)已知 a，b，c 为实常数，数列xn的通项 xnan2bnc，nN*，则“存在 k N*，使得 x100k，x200k，x300k成等差数列”的一个必要条件是( ) Aa0 Bb0 Cc0 Da2bc0 【解析】【解析】由存在 kN*，使得 x100k，x200k，x300k成等差数列，可得 2a

10、(200k)2b(200k)c a(100k)2b(100k)ca(300k)2b(300k)c，化简，得 a0故使得 x100k，x200k，x300 k成等差数列的必要条件是 a0故选 A 16(2017 年上海)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：x 2 36 y2 41 和 C2：x 2y 2 91P 为 C1 上的动点， Q 为 C2上的动点， w 是 OP OQ的最大值 记 (P， Q)|P 在 C1上， Q 在 C2上且 OP OQ w，则 中的元素有( ) A2 个 B4 个 C8 个 D无穷个 【解析】【解析】P 为椭圆 C1：x 2 36 y2 41 上的动点，Q

11、 为 C2：x 2y 2 91 上的动点，可设 P(6cos ，2sin )， Q(cos ，3sin )，0，2，则 OP OQ6cos cos 6sin sin 6cos()当 2k， kZ 时， OP OQ取得最大值 w6，即使得 OP OQw 的点对(P，Q)有无穷多对， 中的元素 有无穷个 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 5 题，共题，共 141414161876 分分) 17(2017 年上海)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分 别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5 (1)求三棱柱 ABCA1B1C1的体积； 第 4

12、页（共 7 页） (2)设 M 是 BC 中点，求直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小 17 【解析】(1)因直三棱柱 ABCA1B1C1的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5故三棱柱 ABCA1B1C1的体积 VS ABC AA11 2ABACAA1 1 24 2520 (2)连接 AM因直三棱柱 ABCA1B1C1，故 AA1底面 ABC故AMA1是直线 A1M 与平面 ABC 所 成角因 ABC 是直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，点 M 是 BC 的中点，故 AM 1 2BC 1 2 4 2+22

13、5由 AA 1底面 ABC，可得 AA1AM，故 tanA1MAAA 1 AM 5 5 5故 直线 A1M 与平面 ABC 所成角的大小为 arctan 5 18(2017 年上海)已知函数 f(x)cos2xsin2x1 2，x(0，) (1)求 f(x)的单调递增区间； (2)设 ABC 为锐角三角形，角 A 所对边 a 19，角 B 所对边 b5，若 f(A)0，求 ABC 的面积 18 【解析】(1)函数 f(x)cos2xsin2x1 2cos 2x 1 2，x(0，)由 2k2x2k，解得 k 2xk，kZk1 时， 2x，可得 f(x)的增区间为 2，) (2)f(A)0，即有

14、cos2A1 20，解得 2A2k 2 3 又 A 为锐角，故 A 3又 a 19，b5，由 正弦定理得 sinBbsinA a 5 57 38 ，则 cosB 19 38 所以 sinCsin(AB) 3 2 19 38 1 2 5 57 38 3 57 38 所以 SABC1 2absinC 1 2 19 5 3 57 38 15 3 4 19 (2017 年上海)根据预测， 某地第 n(nN)个月共享单车的投放量和损失量分别为 an和 bn(单位： 辆)，其中 an 5n415，1n3， 10n470，n4，bnn5，第 n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个月的累计 投放量与累计损失

15、量的差 (1)求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量； (2)已知该地共享单车停放点第 n 个月底的单车容纳量 Sn4(n46)28 800(单位：辆)，设在某 月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】【解析】(1)前 4 个月共享单车的累计投放量为 a1a2a3a42095420430965，前 4 个 第 5 页（共 7 页） 月共享单车的累计损失量为 b1b2b3b4678930，故该地区第 4 个月底的共享单车的 保有量为 96530935 (2)令 anbn，显然 n3 时恒成立当 n4 时，有10n470n5，解得 n465 11 故第

16、 42 个月 底，保有量达到最大当 n4，an为公差为10 的等差数列，而bn为公差为 1 的等差数列，故 到第 42 个月底，共享单车保有量为a4a42 2 39535b1b42 2 4243050 2 39535647 2 428 782又 S424(4246)28 8008 736，因 8 7828 736，故第 42 个月底共享单车保有 量超过了停放点的单车容纳量 20(2017 年上海)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 ：x 2 4y 21，A 为 的上顶点，P 为 上 异于上、下顶点的动点，M 为 x 正半轴上的动点 (1)若 P 在第一象限且|OP| 2，求 P 的坐标；

17、(2)设 P(8 5， 3 5)，若以 A，P，M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标； (3)若|MA|MP|，直线 AQ 与 交于另一点 C 且AQ 2AC ，PQ 4PM ，求直线 AQ 的方程 20 【解析】(1)设 P(x，y)(x0，y0)，由点 P 在椭圆 ： x2 4y 21 上且|OP| 2，可得 x 2 4 +y2=1， x2+y2=2， 解得 x24 3，y 22 3，则 P( 2 3 3 ， 6 3 ) (2)设 M(x0，0)，A(0，1)，P(8 5， 3 5)若P90 ，则PA PM 0，即(8 5， 2 5)(x0 8 5， 3 5)0，故( 8 5)

18、x0 64 25 6 250，解得 x0 29 20若M90 ，则MA MP 0，即(x0，1)(8 5x0， 3 5)0，故 x0 2 8 5x0 3 50，解得 x01 或 x0 3 5若A90 ，则 M 点在 x 轴负半轴，不合题意故点 M 的横坐 标为29 20或 1 或 3 5 (3)设 C(2cos ，sin )，因AQ 2AC ，A(0，1)，故 Q(4cos ，2sin 1)又设 P(2cos ，sin )， M(x0，0)，因|MA|MP|，故 x021(2cos x0)2(sin )2，整理得 x03 4cos 因PQ (4cos 第 6 页（共 7 页） 2cos ，2s

19、in sin 1)，PM (5 4cos ，sin )，PQ 4PM ，故 4cos 2cos 5cos，2sin sin 14sin 故 cos 4 3cos ， sin 1 3(12sin ) 以上两式平方相加， 整理得 3(sin ) 2 sin 20，故 sin 2 3或 sin 1(舍去)此时，直线 AC 的斜率 kAC sin-1 2cos 5 10(负值已舍 去)，如图故直线 AQ 的方程为为 y 5 10x1 21(2017 年上海)设定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意的 x1，x2R，当 x1x2时，都有 f(x1) f(x2) (1)若 f(x)ax31，求 a

20、的取值范围； (2)若 f(x)是周期函数，证明：f(x)是常值函数； (3)设 f(x)恒大于零，g(x)是定义在 R 上的恒大于零的周期函数，M 是 g(x)的最大值函数 h(x) f(x)g(x)证明： “h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数” 21 【解析】(1)由 f(x1)f(x2)，得 f(x1)f(x2)a(x13x23)0，因 x1x2，故 x13x230，得 a0故 a 的取值范围是0，) (2)证明：若 f(x)是周期函数，记其周期为 Tk，任取 x0R，则有 f(x0)f(x0Tk)由题意，对任意 x x0，x0Tk，f(x0)f(x)f(x0Tk)，故

21、 f(x0)f(x)f(x0Tk)又因 f(x0)f(x0nTk)，nZ，并且 x03Tk，x02Tkx02Tk，x0Tkx0Tk，x0x0，x0Tkx0Tk，x02TkR， 故对任意 xR，f(x)f(x0)C，为常数 (3)证明：(充分性)若 f(x)是常值函数，记 f(x)c1，设 g(x)的一个周期为 Tg，则 h(x)c1g(x)，对任 意 x0R，h(x0Tg)c1g(x0Tg)c1g(x0)h(x0)，故 h(x)是周期函数 (必要性)若 h(x)是周期函数，记其一个周期为 Th若存在 x1，x2，使得 f(x1)0，且 f(x2)0，则由 题意可知，x1x2，那么必然存在正整数

22、 N1，使得 x2N1Tkx1，故 f(x2N1Tk)f(x1)0，且 h(x2 N1Tk)h(x2)又 h(x2)g(x2)f(x2)0，而 h(x2N1Tk)g(x2N1Tk)f(x2N1Tk)0h(x2)，矛盾 综上，f(x)0 恒成立 由 f(x)0 恒成立， 任取 x0A， 则必存在 N2N， 使得 x0N2Thx0Tg， 即x0Tg， x0x0N2Th， x0，因x03Tk，x02Tkx02Tk，x0Tkx0Tk，x0x0，x0Tkx0Tk，x02Tk R，故x02N2Th，x0N2Thx0N2Th，x0x0，x0N2Thx0N2Th，x02N2Th Rh(x0)g(x0)f(x0)h(x0N2Th)g(x0N2Th)f(x0N2Th)，因 g(x0)Mg(x0N2Th)0， f(x0)f(x0N2Th)0 因此若 h(x0)h(x0N2Th)， 必有 g(x0)Mg(x0N2Th)， 且 f(x0)f(x0N2Th) 第 7 页（共 7 页） c而由(2)证明可知，对任意 xR，f(x)f(x0)C，为常数 必要性得证 综上所述， “h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”