研究生入学考试数学三模拟试题参考答案(DOC 21页).doc
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- 研究生入学考试数学三模拟试题参考答案DOC 21页 研究生 入学考试 数学 模拟 试题 参考答案 DOC 21
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1、 2005年研究生入学考试数学三模拟试题参考答案一、 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1) 设函数f(x)满足,f(0)=0. 则 =_.解 应填 2.由,于是 = =(2) 设连续,若在点(0,0)处关于x,y的偏导数均存在,则应满足_.解 应填 由题设 在x=0处关于x的导数存在,得(3) 已知,且f(1)=1,则f(x)=_.解 应填 -x+2.由 ,有 ,即 ,解此微分方程,得 f(x)=cx+2, 由f(1)=1, 知c=-1, 故 f(x)=-x+2. (4) 二次型的正负惯性指数都是1,则a= .解 应填 -2,由于r(A)=1+1=2若a
2、=1, 则r(A)=1,不合题意;若a=-2符合题意,故a=-2.(5) 设A,B独立,P(A)=0.5, P(B)=0.6,则= . 解 应填 = =(6) 设和为总体B(m,p)的样本的样本均值和样本方差,若为的无偏估计,则常数k= . 解 应填 1.由题设,于是,知 k=1. 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 设 则f(x)(A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续.(C) 连续但不可导. (D) 可导. 解 应选C.因为 ,所以f(x)在x=0处连续.而 不存在,故应选(C)
3、.(8) 设函数f (x)在(- , +)内连续,. 如果f (x)是单调增加的偶函数,则F(x)是(A) 单调增加的偶函数.(B) 单调增加的奇函数.(C) 单调减少的偶函数.(D) 单调减少的奇函数. 解 应选C.令u = x - t,F(x) =,所以,为奇函数,为偶函数,即F(x)为偶函数.又,即F(x)单调减少.因此,选(C).(9) 设a和b为常数,且,则(A) a=0,b=1 (B) a=-1,b=1 (C) (D) 解 应选D由于, 故应选(D).(10) 设f (x)连续可导,则等于 (A) (B) (C) 2f(0) (D) 2 解 应选A.=故应选(A).(11) 设正项
4、级数的部分和为,又,已知级数收敛,则 (A) 收敛 (B) 发散(C) 条件收敛 (D) 收敛 解 应选B. 由收敛的必要性知,于是 ,故应选(B).(12) 设A为阶矩阵,考虑以下命题:Ax=0只有零解; Ax=b有唯一解;A的行向量组线性无关;A的列向量组线性无关. 则有(A) . (B) . (C) . (D) . 解 应选B.Ax=b有唯一解,知,于是Ax=0只有零解,进而可推知A的列向量组线性无关,故应选(B).(13) 设A为n阶矩阵,考虑以下命题:1)A与有相同的特征值与特征向量;2)若AB, 则A,B有相同的特征值与特征向量;3)若A,B有相同的特征值,则A,B一定相似于同一个
5、对角矩阵;4)若A,B有相同的特征值,则r(A)=r(B). 成立的命题有(A) 1个 (B) 2个. (C) 3个. (D) 0个. 解 应选D.A与有相同的特征值但特征向量不相同;AB, 则A,B有相同的特征值但同样特征向量不一定相同;A,B有相同的特征值,但A,B不一定可对角化,从而不一定相似于同一个对角矩阵;A,B有相同的特征值,推不出r(A)=r(B),如. 故应选(D). (14) 设(X,Y)为二维随机变量,则X与Y独立的充要条件为(A) 独立. (B) 独立. (C) 独立. (D) 独立. 解 应选C.若X,Y 独立,则、均独立;但反过来,只有独立时,才可推导出X与Y独立,即
6、 = =故应选(C).三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15) (本题满分8分)设f(x)=, 其中g(x)具有二阶导数,且,求解 令u=lnx (16) (本题满分9分)设函数f(x)在闭区间0,1上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足(a为常数),又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,求函数y=f(x),并问a为何值时,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.解 直接解微分方程,或 由f(x)的连续性知f(0)=0. 又由已知条件 2=因此,所求函数为 旋转体的体积为 ,令 又,故当a=-5时,旋转体体积最小.(1
7、7) (本题满分8分)设f(x)在区间a,b上可导,且=,.证明:存在,使证 令,且. 不妨设 ,则, F(c)=0 即结论。(18) (本题满分8分)函数f(x,y)二阶偏导数连续,满足,且在极坐标系下可表成f(x,y)=h(r),其中,求f(x,y).解 由题设,有 ,根据,得 ,故f(x,y)=(19) (本题满分9分)设 证明当时,幂级数收敛,并求其和函数.解 ,所以在(-1,1)内收敛.由,可得递推式:,于是 ,所以 (20) (本题满分13分) 设为四维列向量组,且线性无关,. 已知方程组有无穷多解,(1) 求a的值;(2) 用基础解系表示该方程组的通解.解 由已知,得矩阵的秩小于
8、3,又线性无关,所以,矩阵不可逆,得a = 2.方程组化为()x = (),因为线性无关,所以,原方程组与方程组x =同解.容易求得方程组x =的通解为. (21) (本题满分13分) 设是三阶矩阵A的三个特征值,其对应的特征向量依次为 证明:(1) , (2) 把用线性表出,并求. 证 (1) , (2) ,从而= =(22) (本题满分13分)设,对X作两次独立观察,其值分别为,令 (1) 求A及(2) 求与的联合分布律解 (1) 由与独立 (2) = (23) (本题满分13分) 设总体X服从指数分布,概率密度为 为取自总体X的简单随机样本。(1) 证明仍服从指数分布;(2) 求常数C使
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