自动控制理论(邹伯敏第三版)第08章课件.ppt
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- 自动控制 理论 邹伯敏 第三 08 课件
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1、4/27/2023第八章 非线性控制系统14/27/2023第八章 非线性控制系统2(1 1)xxx;y xx kx;ym00sgn 4/27/2023第八章 非线性控制系统3齿轮间隙b ;bk;bkmii0sgn020200 xxx-kxysgn04/27/2023第八章 非线性控制系统4 0 x ,max ;b-0 x ,max ;b ,max ;sgnx 0 x ,axma-;0 0 x ,maxa-;0y4/27/2023第八章 非线性控制系统501xxx 4/27/2023第八章 非线性控制系统6tBtAtBtAAy2cos2sincossin221104/27/2023第八章 非线
2、性控制系统71111sincossintYtBtAyttdyBttdysiaAABBAYcos11arctan,20120111121211 efef114/27/2023第八章 非线性控制系统8 11212111arctanABXBAXYXN ttdyAtAtYty20111sin4sinsin 式中ttdkSttdtkXsinsinsin4 204/27/2023第八章 非线性控制系统9 21211arcsin21arcsin2arcsinsinsinXSXSXSkXAX N XSXSXSkX AXSXSSX ,代入上式故由于cossin2 kX4/27/2023第八章 非线性控制系统10
3、 XMXAXNtMyMttdMABA4sin44sin2,0,0,01101110于是得4/27/2023第八章 非线性控制系统11 ttdtXkttdtyttdtyAtAtyBAttttttXktttytsinsin4 sin4 sin1 sin 0,0,0 0sin002202011111011111式中4/27/2023第八章 非线性控制系统12 2121111arcsin2 1arcsin22 arcsin,sinXXXkkXAXNXXXkXAXttX得代入上式,其中4/27/2023第八章 非线性控制系统13 自振荡的条件则得 如果XNjGXNjGyytYXNjGy1 01 ,sin
4、114/27/2023第八章 非线性控制系统14 XN1jG XN1jG1y jGXN被1 XN1jG4/27/2023第八章 非线性控制系统15 2212902arctanarctan180arctan2arctan90 1jKG -XN求交点的频率令 11111arcsin21112XXXXXXN4/27/2023第八章 非线性控制系统1623K 132321K 1jKG ,0,121 21对应的K值应满足下式状态即系统处于稳定的临界点,曲线通过当 解得jjKG 5698,166.035.0KXN,21XN 23231111arcsin21 211321.XXXXXNsXNjKGK查得由图
5、即而振幅X由下式求得,其振荡频率为产生稳定的自持振荡,系统在相交点处,轨迹相交于负实轴,曲线与时,当4/27/2023第八章 非线性控制系统170,xxxbxxxax x xx,xx,xx,x21222212 ,xxxxxxxxxnn则有,为系统的两个状态变量 令0kxx fxm 02 2xxxnn 4/27/2023第八章 非线性控制系统184/27/2023第八章 非线性控制系统19相轨迹的斜率方程 则上式改写为若令 则得,上式等号两边同除以 令22112210 x,xxf-dxdx ,xx,xxxxx,f-dtxd dtdxxxx,-fdtxd xx,fx 它表示系统的平衡状态的点称为奇
6、点,具有002122,xxfx,x4/27/2023第八章 非线性控制系统2022222 0 ,Axxxdxxdxdxxdxx 积分 则上式变为因为0 2xx 22222112Axx ,xx,xx 则得若令4/27/2023第八章 非线性控制系统21 tAtxtAtxtxxAsin cos 2121的下列关系式后求得对和分别解出上述结果也可以由方程数是由初始条件确定的常式中,2121222112,xxfxdxdxxxxfdxdx则上式改写为常量,令10022其中的相轨迹图,xxxnn 4/27/2023第八章 非线性控制系统22轴值时的等倾线求得不同据此,则例为当线,就得到不同斜率的等倾取不同
7、值时,当 或写作则得令121212121212121212222121221222121,0 x ,;504.0 x,5.3-;344.1 x,2-;1.12 x,2.1-;1.12x ,1-;576.0 x 1,;1.1x 0,:1.121.1 x,1.1,5.022 2 ,xxxxxxxxx xxxxdxdxxxxxxxxxxnnnnnnn4/27/2023第八章 非线性控制系统23Cxxdxxxdx,sxxdxxxx,txx,txxtxxxxtxxxxxtxxftxxxtxxfxxdef21212121212222222 1 0 ,:于是得考虑到:这样上式又可改写为表示,并用近似地视为一
8、个常量,则变化都很小,和如果变量 则有 定义 先把上式改写为在应用法作图时,0,txxfx 4/27/2023第八章 非线性控制系统24.0,0,228 ,111120102221111212121222212121RABRxxAxxRxtxxfRxxxxxxRC和径分别为圆弧的圆心位置和半来表示,为半径所作的小圆弧为圆心,似地用以迹可近则通过A点附近的相轨,的相平面上任取一点例如在图式中则上式变为令令例9-4 已知非线性系统的微分方程为 相轨迹法绘制起始于初始点的试用,00,100 3xxxxx 解 将微分方程改写为xxxxxxxxxxx232232321 则,令图8-23 用法绘制相轨迹4
9、/27/2023第八章 非线性控制系统25方法作出.相轨迹其余圆弧用相同.0 x0.12,x圆心的位置PAB从而确定了第一段圆弧求出精确的值,平均值,x和取这段圆弧上的x为了提高作图的精度,据此作一圆弧,1,R0,由初始条件求得1 11图8-25 x(t)与t的关系曲线图8-24 x-x平面上的相轨迹 所示为图据此作出瞬态响应曲线 的时间同理可求出由B到C点的时间到点从相轨迹上点即平均速度,的来代替该区间内的平均值区间内可近似用和对于小增量的所示,设系统的相轨迹如图258,248txxxtxxtBAxxtxxxxtxBCBCBCABABABavav4/27/2023第八章 非线性控制系统26
10、为了研究系统在奇点附近的行为,或者说了解系统在奇点附近的相轨迹特征,需要先把系统的微分方程在奇点处作线性化处理。设系统的微分方程式Axxxaxaxxaxaxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfffxxfxxxfx 2!212!21,.00,0,00,0,22212122121111220,02222210,0212210,0212220,02210,0122220,02212210,0211220,0211220,02110,01112122112122112121222111于是得项,略去二次项及以后的各即有数,在原点附近展开泰勒级
11、和将为解析函数和即假设坐标原点为奇点,4/27/2023第八章 非线性控制系统27 平面上的相轨迹方程且和的特征值为为非奇异矩阵,则有,令 Z-00 ,211221211222211121212121210,022220,012210,021120,0111122211211zCzzzdzdzzzzzAPzzzzPzxxfaxfaxfaxfaaaaaA平面上的稳定节点在平面上的稳定节点在特征值的分布2121,)xxc)zzb)a图8-271)节点4/27/2023第八章 非线性控制系统28 如果系统的两个特征根为相异的负实数,对应的奇点称稳定节点。此时 22112121211212212112
12、12121212121212121212122112121112 1 11 10 ,0 ,00,0 211zzzzxxxxxxxxPzzPPzxxxxxxxxxxxxxxzezzezzzkzCzttk 或写作 于是得 其中,若令则上式改写为,记写出系统的微分方程为和由则需进行下列线性变换平面上的相轨迹,若要画出在来确定,和方向要能过考察相平面上相轨迹的运动在 如果系统的两个特征根为相等的正实数,则对应的奇点称不稳定节点。其相轨迹见图8-28。4/27/2023第八章 非线性控制系统29平面上的鞍点在 平面上的鞍点在 特征值的分布2121,)xxc)zzb)a对应的相轨迹方程为:0 ,298,0
13、 21212122121122211222xxxxxtzzzbzzkCzzzCzkk 平面上的相轨迹可画出在经过非线性变换后,不稳定的.鞍点表示的平衡状态是鞍点,这种奇点称为的增长而远离奇点.随着时间其余所有的相轨迹都将外,除了分隔线4个不同的区域.且它们将相平面分隔成本身也是相轨迹,和坐标轴在特定的初始条件下,所示,相平面上相轨迹为图在,或4/27/2023第八章 非线性控制系统30221121212112122121121212121212121 1 11 10 zzzzxxxxxxxxPzzPPzxxxxx,xx,xx或写作于是得其中,若令则上式改写为记3)3)焦点焦点如果系统的特征根是
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