自动控制原理第2章-数学基础课件.ppt
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- 自动控制 原理 数学 基础 课件
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1、第第2章章 数学基础数学基础12023-4-272.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换本章内容本章内容2.2拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.3MatlabMatlab运算基础运算基础第第2章章 数学基础数学基础22.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换可将时域函数拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换变换为频域函数为频域函数F(s)。只要。只要f(t)在区间在区间0,有定有定义,则有义,则有2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础3 0 )()(dtetfsFst2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u上式是拉氏变换的定义式。由定义式可上式是拉氏变换的定
2、义式。由定义式可知:一个时域函数通过拉氏变换可成为知:一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的一个复频域函数。式中的e-st称为称为收敛因收敛因子子,收敛因子中的,收敛因子中的s=+j 是一个复数形是一个复数形式的频率,称为式的频率,称为,其实部恒为正,其实部恒为正,虚部既可为正、为负,也可为零。上,虚部既可为正、为负,也可为零。上式左边的式左边的,是,是的拉氏变换,的拉氏变换,F(s)也叫做也叫做f(t)的的。记作。记作2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础4)()(tfLsF2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u【例【例2-1】求单位阶跃函数】求单位阶跃函数 、单单
3、位冲激函数位冲激函数 、指数函数指数函数 的象函数。的象函数。解:解:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础5)(1)(ttf)()(ttftetf)()(1)(ttfsesdtedtetftfLsFststst11)()()(000)()(ttf1)()()()()()0(0000sstststedtetdtetdtetftfLsFtetf)(ssedteedtetftfLsFtssttst1)()()(0)(002.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2.1.2 拉普拉斯变换的性质1线性线性性质性质设设函数函数 和函数和函数 的的象函数分别象函数分别为为和和 ,和和 是两个任意的实
4、数,则是两个任意的实数,则2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础6)(1tf)(2tf)(1sF)(2sF1A2A)()()()(22112211tfLAtfLAtfAtfAL)()(2211sFAsFA2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换2微分性质微分性质函数函数 的象函数与其导数的象函数与其导数 的象的象函数之间有如下关系:函数之间有如下关系:若:若:则有:则有:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础7)(tfdttdftf)()()()(sFtfL)0()()(fssFtfL2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换3积分性质积分性质函数函数 的象函数与其积分的象函数与
5、其积分 的象的象函数之间满足如下关系:函数之间满足如下关系:若:若:则有:则有:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础8)(tfdft0)()()(sFtfLssFdfLt)()(02.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4延迟性质延迟性质函数函数 的象函数与其延迟函数的象函数与其延迟函数 的的象函数之间有如下关系:象函数之间有如下关系:若:若:则有:则有:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础9)(tf)(0ttf)()(sFtfL0)(0stettfL2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换5终值定理终值定理函数函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的及其一阶导数都是可拉氏变换的
6、,则,则 的的终值为:终值为:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础10)(tf)(tf)(lim)(lim0ssFtfst2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换6初值定理初值定理函数函数 及其一阶导数都是可拉氏变换的及其一阶导数都是可拉氏变换的,则,则 的初的初值为:值为:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础11)(tf)(tf)(lim)(lim)0(0ssFtffst2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换7卷积性质卷积性质卷积的定义为:若卷积的定义为:若 和和 可以进行可以进行拉氏变换,称积分拉氏变换,称积分 为为 和和 的的卷积。记为卷积。记为 ,即,即2023-
7、4-27第第2章章 数学基础数学基础12)(1tf)(2tfdtfft)()(201)(1tf)(2tf)()(21tftfdtfftftft)()()()(201212.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换u卷积定理为:卷积定理为:若若 ,则:,则:即,即,两两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反卷积性质在求解拉式反变换的时候,起着十分重要的作用。变换的时候,起着十分重要的作用。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础13)()(11sFtfL)()(22sFtfL)()()()(2121sFsFtftfL2.2
8、 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.1 拉普拉斯反变换的定义拉式反变换的定义如下:拉式反变换的定义如下:式中式中为为正的有限常数。正的有限常数。通常可用符号通常可用符号 表示对方括号里的复表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换,记作变函数作拉氏反变换,记作2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础14dsesFjtfjjst)(21)(1L)()(1sFLtf2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2.2.2 拉普拉斯反变换的部分分式展开自动控制系统的响应的象函数自动控制系统的响应的象函数F(s)通常可通常可以表示为两个实系数的以表示为两个实系数的s的多项式之比,即的多项式之比
9、,即s的一个有理分式:的一个有理分式:其中其中m和和n为正整数,且为正整数,且nm。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础15nnnnmmmmbsbsbsbasasasasDsNsF11101110)()()(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换把上式把上式F(s)分解成若干简单项之和,分解成若干简单项之和,需要对分母多项式作因式分解,求需要对分母多项式作因式分解,求出出D(s)=0的根,可以有三种情况:的根,可以有三种情况:D(s)=0有有n个单根个单根D(s)=0有重根有重根D(s)=0有共轭复根有共轭复根2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础160)(sD2.2
10、2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换1、D(s)=0有有n个单根个单根设设n个单根分别为个单根分别为p1,p2,,pn,于是,于是F(s)可可以展开为:以展开为:式中,式中,k1,k2,,kn为待定系数。为待定系数。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础17nnpskpskpsksF2211)(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换待定系数确定方法:待定系数确定方法:上式两边同乘以上式两边同乘以 ,得得令令 ,等式除右边第一项外其余都变,等式除右边第一项外其余都变为零,即可求得为零,即可求得同理,可求得其余的系数。同理,可求得其余的系数。2023-4-27第第2章章 数学基础数学
11、基础18)(1ps nnpskpskpsksFps22111)()()(1ps 1)()(11pssFpsk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换待待定系数确定之后,对应的原函数定系数确定之后,对应的原函数求解公式为求解公式为:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础19tpntptpnekekeksFLtf21211)()(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u【例【例2-1】求】求 的原函的原函数数f(t)。解:解:的的两个根两个根为:为:,代入代入公式得公式得2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础206554)(2ssssF54)(ssN65)(2sssD0)
12、(sD21p32p3354)()2(221sssssFsk7254)()3(332sssssFsk2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换u得到象函数为:得到象函数为:u得到原函数为:得到原函数为:2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础213723-)(sssFtteetf3273-)(2.2 2.2 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换2、D(s)=0有重根有重根设设p1为为D(s)=0的重根,其余的全部都为单的重根,其余的全部都为单根,则根,则F(s)可以分解为可以分解为对于单根,仍然采用前面的方法计算。对于单根,仍然采用前面的方法计算。2023-4-27第第2章章 数学基础数学基础2
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