等差数列及前n项和习题-课件.ppt

1、等差数列及前等差数列及前n项和项和 教学目标：教学目标：求和公式的性质及应用，求和公式的性质及应用，S Sn n与与a an n的关系以及的关系以及数列求和的方法。数列求和的方法。教学重点：求和公式的性质应用。教学重点：求和公式的性质应用。难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法难点：求和公式的性质运用以及数列求和的方法引入引入 2n11n n-1ddS=na+d=n+a-n222 可见可见d0d0时，时，S Sn n是关于是关于n n的缺常数项的的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。二次函数，其二次项系数是公差的一半。1、求和公式的性质：、求和公式的性质：性质性质1 1、若数列、

2、若数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=an=an2 2+bn+bn(a,b(a,b为常数为常数)，则数列，则数列aan n 是等差数列。是等差数列。aan n 是等差数列是等差数列S Sn n=an=an2 2+bn(a,b+bn(a,b为常数为常数)性质性质2 2、等差数列、等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则n+12nnn+122n a S=na+a2 (n(n为奇数为奇数)(n(n为偶数为偶数)11717918910a+aS=17=17a;S=9 a+a2如如：如：两个等差数列如：两个等差数列aan n,b,bn n 的前的前n n项和为项

3、和为S Sn n,T,Tn n1111S23=,T37若若则则66a23=b37 性质性质3 3、等差数列平均分组，各组之和仍为、等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列等差数列即即S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n,成等差数列成等差数列如：如：aan n 是等差数列，是等差数列，(1)a(1)a1 1+a+a2 2+a+a3 3=5=5，a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=10,=10,则则a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=_=_a a1919+a+a2020+a+a2121=_=_(2)S(2)Sn n=25,S=25,S2n2n=100

4、,=100,则则S S3n3n=_=_1535225反之呢？反之呢？性质性质4 4、若等差数列、若等差数列aan n 共有共有2n-12n-1项，项，若等差数列若等差数列aan n 共有共有2n2n项，则项，则S S偶偶-S-S奇奇=nd,=nd,nn+1Sa=Sa奇奇偶偶 如如aan n 为等差数列，项数为奇数，奇数项和为为等差数列，项数为奇数，奇数项和为4444，偶数项和为偶数项和为3333，求数列的中间项和项数。，求数列的中间项和项数。a=11n=7中中，Sn,=Sn-1nSSaa奇奇偶中偶性质性质5 5、aan n 为等差数列，求为等差数列，求S Sn n的最值。的最值。n1n+1a0

5、a 0,d0a0 若若且且，则则S Sn n最大。最大。n1n+1a0a 0a0 若若且且，则则S Sn n最小。最小。或利用二次函数求最值。或利用二次函数求最值。6(1).n1n性质：在等求差数列的五个量a,a,d,n,S 中，知三求二.1()22mm nn aa n（）等差数列前n项和可写为S(3).nm2 m-m3 m-2 m若 数 列a为 等 差 数 列，则S,SS,SS仍 为 等 差 数 列.2 2、常用数列的求和方法：、常用数列的求和方法：222211 1+2+3+n=n n+12n+16 23333n n+12 1+2+3+n=2 122334nn+11n+11111nd+=a

6、aa aa aa aa a(3)(3)裂项法：设裂项法：设aan n 是等差数列，公差是等差数列，公差d0d0nn+1nn+11111=-a ad aa其其中中 n1111S=+1 33 55 72n-12n+1求求和和n111 11 111S=1-+-+-+-233 55 72n-1 2n+1 11=1-=22n+1n2n 1 (4)(4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。相等。随堂练习随堂练习1 1、在等差数列、在等差数列aan n 中中,已知已知S S1515=90,=90,那么那么a a8 8等于等于 A A、3 B3 B、4 C4 C、6

7、D6 D、1212 2 2、等差数列、等差数列aan n 的前的前m m项的和为项的和为3030，前，前2m2m项的和项的和为为100100，则它的前，则它的前3m3m项的和为项的和为 A A、130 B130 B、170 C170 C、210 D210 D，260260 3 3、设数列、设数列aan n 是等差数列，且是等差数列，且a a2 2=-6,a=-6,a8 8=6,S=6,Sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和，则项和，则 A A、S S4 4SS5 5 B B、S S4 4=S=S5 5 C C、S S6 6SS5 5 D D、S S6 6=S=S5 5CCB4 4、

8、设、设aan n 是递增等差数列，前三项的和为是递增等差数列，前三项的和为1212，前三项的积为前三项的积为4848，则它的首项是，则它的首项是 A A、1 B1 B，2 C2 C、4 D4 D、6 65 5、数列、数列aan n 中，中，a an n=26-2n,=26-2n,当前当前n n项和项和S Sn n最大时，最大时，n=_n=_6 6、在等差数列、在等差数列aan n 中中,已知前已知前4 4项和是项和是1 1，前，前8 8项项和是和是4 4，则，则a a1717+a+a1818+a+a1919+a+a2020等于等于_7 7、已知在等差数列、已知在等差数列aan n 中，中，a

9、a1 10,S0,0,公差公差d0,Sd0,S0,S13130.1)02a+aS=13=13a 02 解解1)：由题意：由题意37673d-3a+4d0a 02a+7d0d24-d-3-77 2)2)由于由于a a7 70,a0,0,所以所以S S6 6最大最大。67121370000aaSSa注意：例例4 4、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要2424小时，但小时，但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作

10、后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一后都一直工作到小麦割完，如果第一台收割时间是最后一台的台的5 5倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多倍，求用这种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间？少时间？解：设有解：设有n n台收割机，第台收割机，第k k台所用时间为台所用时间为a ak k,则则a a1 1=5a=5an n它们每台每小时的收割量为它们每台每小时的收割量为124nS Sn n=24n=24n1n111a+aan=24na+=48a=4025所以用这种方法收割完小麦需要所以用这种方法收割完小麦需要40小时小时。例例5 5、在等差数列、在等差数列aan n 中，已知

11、中，已知a a1 1=20,=20,前前n n项和为项和为S Sn n,且且S S1010=S=S1515，求当，求当n n取何值时，取何值时，S Sn n有最大值，并求出它的最大有最大值，并求出它的最大值。值。解：由解：由S S1010=S=S1515得得a a1111+a+a1212+a+a1313+a+a1414+a+a1515=0=0所以所以a a1313=0=0因为因为a a1 10,a0,a1313=0,=0,所以所以d0d00而而n14n14时时a an n00所以所以S S1212和和S S1313最大最大最大值为最大值为130 6)2(1,2,3)(1)nan n2xnnn例

12、：设f(x)=log x-log 2(0 x1)，数列 a满足f(2求数列 a 的通项公式.(2)判断数列 a 的单调性.2212221021nnannannanaann 22有loglog解：201,0210(1,2,13)nnanxaannn 212221(1)(1)12111,0(1)(1)1nnnnnnnaannnnannaan解（）又数列 a 1.2(1)nnabn1nnn-1n4例7：已知 a 数列满足a=4,a=4-，令ba求证数列 b 是等差数列。(2)求数列的通项公式。142(2)12211122(2)221111.2222nnnnnnnnnnbaaaaaabba n+1n+

13、1n+1：（）aaa数列解是等差数列1221221111.)2222nnnananana解（）是等差数列（1.2(1)nnaan1nnn-1n4例7：已知 a数列满足a=4,a=4-，令ba求证数列 b是等差数列。(2)求数列的通项公式。28,(1)2ap+nnn1n例：数列 a 的前项和为S=npa(nn)，且a求常数 的值。（）证明数列 a是等差数列.10.111222121（）当n=1时，a=pa,若p=1时，a+a=2pa=2aa=a,与已知矛盾,p 1,则a解：12221222(21)0,1/2naapapaaap当时，111111(2).2(1)222nnnnnnnannaSSna

14、naan，22122(2)(1)nnnnannanaaaaan21叠乘得：注意数列 a是以a 为公差a 为首项的等差数列。219,(2).8(1)nnnaNSannnnn例：已知数列 a求证 a是等差数列.1(2)若b=a-30，求数列 b 的前n项和的最小值2 22111111(2)(2)88()(4)0,4nnnnnnnnnnSSaaaaaaNaa n+1n+1n解：数列是aaa等差数列。219,(2).8(1)nnnaNSannnnn例：已知数列 a求证 a是等差数列.1(2)若b=a-30，求数列 b 的前n项和的最小值2211112(2)28Saa1（）由知a解：1154223102

15、931,02215,15225nnnnnanbnbnnNbnbS 15的 前项 为 负，最 小且 S102x1例：设f(x)=,则2f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)=_.112122(1)2222 222xxxxxfx解：2()(1)2f xfx(4)(5)26232ffSS设 S=f(-5)+f(-4)+f(5)+f(6)则 S=f(6)+f(5)+倒序相加法的应用1111221nnnnsasnsa n n1 1、在在数数列列aa 中中，（），求求：222123nannn （）（）（）2421467286、前前 项项和和为为，末末 项项和和为为，且且各各项项和和为为，求求

16、项项数数。261421123822011212?,.32nnnnnnnnnnaaaaaaabsbbbmnamnsm 、数数列列中中，且且满满足足（）求求数数列列的的通通项项公公式式。（）设设，是是否否存存在在最最大大的的整整数数（），使使得得对对任任意意的的 均均有有总总成成立立 若若存存在在 求求出出不不存存在在 说说明明理理由由(1)102(2)7nanm 补补 充充1120055110001nnxxfxx、方方程程f f（x x）=x=x的的根根称称为为函函数数f f（x x）的的不不动动点点，若若函函数数f f（x x）=x x有有唯唯一一不不动动点点，且且，a a（x+2x+2）（）求求201911116 112123123412n 、21nn 22224271 33 52121nnsnn （）、（）（）21nnn 1281221112nnnnnnnaansassas n n、数数列列的的首首项项，前前 项项的的和和 与与之之间间满满足足a a（）求求证证：数数列列是是等等差差数数列列；（）求求数数列列的的通通项项公公式式。2119212nnnnnsaasan n、设设各各项项为为正正数数的的数数列列aa满满足足（）（）求求证证：数数列列是是等等差差数数列列；（）求求数数列列的的通通项项公公式式。1nann 谢谢！