数项级数的收敛判别法课件.ppt

1、E-mail:2.2.交错级数的收敛判别法交错级数的收敛判别法3.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛4.4.任意项级数的收敛判别法任意项级数的收敛判别法1.1.正项级数的收敛判别法正项级数的收敛判别法E-mail: 前面所讲的常数项级数中，各项均可是前面所讲的常数项级数中，各项均可是正数，负数或零。正数，负数或零。正项级数是其中一种特殊正项级数是其中一种特殊情况。情况。如果级数中各项是由正数或零组成，如果级数中各项是由正数或零组成，这就称该级数为正项级数。同理也有负项级这就称该级数为正项级数。同理也有负项级数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项数。而负项级数每一项都乘以后即变成正项级数，

2、两者有着一些相仿的性质，正项级数级数，两者有着一些相仿的性质，正项级数在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛在级数中占有很重要的地位。很多级数的敛散性讨论都会转为正项级数的敛散性散性讨论都会转为正项级数的敛散性.E-mail: 我们先讨论一类特殊的数项级数，即各项都是正数或零的级数，这正种级数称为项级数.定义定义 设级数设级数1,0,1,2,nnnu un为正项级数正项级数.123nssss 显然显然,正项级数的部分和正项级数的部分和 s sn n 数列是数列是单调增加单调增加的，的，即即一、正项级数的收敛判别法一、正项级数的收敛判别法E-mail:定理定理 正项级数正项级数1nnu收敛收敛

3、ns有界有界.证证:“”1nnu收敛收敛 ns收敛收敛 ns有界有界.ns有界有界,又又 ns是一个是一个单调上升单调上升数列数列limnns存在存在1nnu收敛收敛.“”11,(),.nnnnnuSnu 由定理1可知,如果正项级数发散 则它的部分和即注:E-mail:证明:这是一个正项级数，其部分和为:nns2112112112故sn有界，所以原级数收敛.n21212121211 n211 1111 .12121212nnn例 考察级数的收敛性E-mail:定理定理1(比较判别法比较判别法)设设1nnu与与1nn是两个正项级数是两个正项级数，且且,(1,2,3,)nnun那么那么（1）如果）

4、如果 1nn收敛收敛，则则1nnu收敛收敛。（2）如果）如果 1nnu发散发散，则则1nn发散发散。证证:设设ns和和n分别表示分别表示1nnu和和1nn的部分和的部分和，nnunsn显然由显然由(1)1nn收敛收敛n有界有界ns有界有界1nnu也收敛也收敛.(2)1nnu发散发散ns无界无界n无界无界1nn也发散也发散.E-mail: 2 (1,2,)(,0,),1.nnnnuvnukvknN N如果把定理 中的条件改为其中为某一个自然数 则结推论仍成立论例例2 2 判定p-级数的敛散性.11111123ppppnnn(常数常数 p0)E-mail:(1),11 1,pnnp：设时由比较判别

5、法知解11 ;nn调和级数是发散的11 .pnpn级数也发散1(2)1111111 1()()23456711 1 ().815pppppppnpppn 当时，E-mail:11111111 1()()()22444488.pppppppp它的各项均不大于级数的对应项111,2pq后一级数是几何级数，公比11 .pnn收 敛.所以此级数收敛由此可得结论，由此可得结论，p级数级数当当 时发散，时发散，p1时收敛时收敛.11npn1p E-mail:例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn

6、发散发散级数级数E-mail:思考题：思考题：若正项级数若正项级数1nna则下列级数的敛散性则下列级数的敛散性11nnnaa(2)1nnna(3)12nna收敛，收敛，(1)(1)11(1)11 01nnnnnnnnnaaaaaaa【证明】由，由于正项级数收敛，则由比较判别法，可知收敛；22212111111(2)()()221nnnnnnnnaaaannnann由，由于收敛，收敛；则收敛；E-mail:1221(3)lim01nnnnnnnnnaaNnNaaaa 由正项级数收敛，则，当时，由比较判别法，可知收敛；E-mail:11 ,1,1(1,2,),;1(1,2,)2,.nnnnpnnu

7、punununn设为正项级数推如果存在使得则级数收敛如果则级数发散论例例4 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性11(1)(21)2nnn211(2)1nnn21(3)(ln)nn21(4)(ln)nnnE-mail:22211111(1)21(21)2221122nnnnnunnnnnnn 因为，所以 由于，根据比较判别法可知收敛；22121111(2)122211nnnnnvnnnnnn因，而发散，所以发散；2211(3)2ln,ln11(ln)nnnnnnnnn因为当时，有所以 而级数发散也发散；E-mail:2882(4)8ln82118ln2ln211(8,9,)(ln)2121

8、(ln)1(ln)nnnnnnnnnennnunnnn因为，于是，故当时，于是得由于级数收敛，根据比较判别法可知收敛再由性质可知也收敛E-mail:定理定理2（比较审敛法的极限形式）（比较审敛法的极限形式）设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnuE-mail:证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当

9、Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.E-mail: (2)由于由于0limnnnvu(=0)取取=1时，时，N 0,当当n N时，时，,0 1nnnnvuvu，即故由比较判别法，当故由比较判别法，当=0时，时，.11收敛收敛nnnnuvE-mail:(3)由于由于nnnvulim(=)，故，故 M 0(不妨取不妨取M 1),N 0,当当n N 时，时，,1 Mvunn即即 0 vn 0为常数为常数)解：解：因为因为111lim22nann(即即=1为常数为常数)又又11nn是调和级数，它是发散的是调和级数，它是发散的1

10、221nan发散发散.故原级数故原级数E-mail:练习练习2 判别级数判别级数1)cos1(nnx的敛散性，其中的敛散性，其中,x0为常数为常数.解：解：由于由于，212lim1cos1lim22222xnnxnnxnn)0(02 2xx即而而121nn是是n=2的的P一级数，收敛的一级数，收敛的.)cos1(1收敛nnx故原级数故原级数E-mail:设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:,11发散发

11、散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn(1)E-mail:,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu E-mail:例例7 7 判别级数判别级数.10!10321102110132的收敛性nn解:101!10.10)!1(11nnnuunnnn由比值判别法可知所给级数发散由比值判别法可知所给级数发散.101lim lim 1nuunnnnE-mail:1!8nnnn判 定 级 数的例收 敛 性.n:!nnu

12、n级 数 的 通 项 为 解 由 于11000(1)1(1)!limlimlim(1)1,!nnnnnnnnnunenunn由比值判别法可知所给级数发散由比值判别法可知所给级数发散.E-mail:例例9 判别级数判别级数1!1nnnx的敛散性的敛散性,其中其中x0为常数为常数解：解：记记，则!nxunn01lim!)1(limlim11nxnxnxuunnnnnnn即即 =01，故该级数收敛，故该级数收敛.E-mail:例例10 判别级数判别级数122nnnx的敛散性的敛散性,其中其中x 0为常数为常数.解：解：记记，则22nxunn2222222)1(21)1(lim)1(limlimxnx

13、nnxnxuunnnnnnn即即 =x2,由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法.E-mail:当当|x|=1 时，时，=1,但原级数为但原级数为.112122nnnnnx这是这是 n=2 的的 p一级数，是收敛的一级数，是收敛的.综上所述，当综上所述，当 0 1 时，原级数发散时，原级数发散.当当0|x|1时，时，1时，时，0,a0为常数为常数解：解：记记，则nnaxuaxaxaxunnnnnnnlimlimlim即即，由柯西根值判别法ax当当xa时，时，当当0 xa时，时，.1，级数发散ax.1，级数收敛axE-mail:当当 x=a 时，时，=1,但但，11limlimlimnaxnnnnax

14、u故原级数发散故原级数发散.综上所述，综上所述，当当 0 xa 时，原级数收敛时，原级数收敛.当当 x a时，原级数发散时，原级数发散.E-mail:二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为交错级数交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其中其中E-mail:证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u,01 nnuu.lim12ussnn ,0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列nsE-mail:

15、)(limlim12212 nnnnnuss,s.,1uss 且且级数收敛于和级数收敛于和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.E-mail:11111 1231 nnnnuu解：由题可知即：111 13 (1).nnn例讨论交错级数的敛散性1 lim lim0nnnun又：111(1)1nnsn故交错级数是收敛,其和E-mail:解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又.0 原级数收敛原级数收敛.E-mail:练习练习

16、 判别级数判别级数2ln)1(npnnn的敛散性的敛散性.解：解：这是一个交错级数，这是一个交错级数，又又，nnupnln1，0ln1limlimnnupnnn令令，xxxfpln1)(x 2,+)，则，则，0lnlnln)(221xxxpxxfpppx 2,+)故故 f(x)2,+)，即有，即有un un+1成立成立 由莱布尼兹判别法，该级数收敛由莱布尼兹判别法，该级数收敛.E-mail:三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义 正项和负项任意出现的级数称为正项和负项任意出现的级数称为任意项级数任意项级数.定理定理 若若 1nnu收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛.证明证明),2,

17、1()(21 nuuvnnn令令,0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收敛收敛.E-mail:上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数E-mail:例如例如111111(1)11(1)nnnnnnnn收 敛，但 是为 调 和 级 数 是 发 散 的。1111|0nnnnnnnnnnuuuuuu如果级数发散，则不能判定级数也发散；但是如果用比值判别法或根值判别法判定发散，则可以判定级数必定发散。因为，此时值得注意不趋向0，从而 也的问题：不趋向，因此发散。E-mail:解解,1sin22nnn,112收敛收敛而而

18、 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.E-mail:解解211|(1)2nnnun111lim|lim(1)122nnnnnuen有lim0nnu可知故由定理知原级数故由定理知原级数发散发散.E-mail:练习练习2 2 级数级数11)1ln(1)1(nnn是否绝对收敛是否绝对收敛?11)1ln(1)1ln(1)1(1nnnn解：解：由调和级数的发散性可知由调和级数的发散性可知发散，111nn故故11)1ln(1)1(nnn发散发散.但原级数是一个收敛的交错级数但原级数是一个收敛的交错级数，)1ln(1nun故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的故原级

19、数是条件收敛，不是绝对收敛的.E-mail:绝对收敛绝对收敛的级数几个注释：的级数几个注释：1、绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变绝对收敛的级数不因为改变其项的位置而改变 其和其和.这也叫级数的重排这也叫级数的重排.对于一般的级数则不对于一般的级数则不 成立成立.111(1)ln211111111ln2243621422nnnkk例如：，而2、对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式对于级数的乘法，我们规定两个级数按多项式 乘法规则形式地作乘法：乘法规则形式地作乘法：E-mail:111121321nnnnnnnnnnnuuuuu其中 如果两个级数都绝对收敛，则两个级数相乘所如果两个级数

20、都绝对收敛，则两个级数相乘所得到的级数也绝对收敛；且当得到的级数也绝对收敛；且当 111,nnnnnnuABAB 若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。若两个级数不绝对收敛，则上式不一定成立。E-mail:四、任意项级数的收敛判别法四、任意项级数的收敛判别法 绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛绝对收敛定理只能判别级数的绝对收敛性，而不能判别级数的条件收敛性。为了性，而不能判别级数的条件收敛性。为了讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常讨论级数的条件收敛性，我们给出两个常用的一般级数判别发，先看一个引理。用的一般级数判别发，先看一个引理。E-mail:1212121211 ,:(1),;(2),

21、(2).()nnnknkknka aab bba aaMkkBbbbMa bAbelMaa k如果两组实数与满足条件是单调的存在正数对于任一自然数(引理 阿贝1n)有 则尔E-mail:k11 12 23 31:,kknk kn nkbBBa baba ba ba b证明得112211()()nnna Ba BBaBB12123234311()()()()nnnn na a Baa Ba a Baa BaB111.nkknkaaMa M121223n-1,nna aaaa aaaa由于是单调的,所以是同号的,E-mail:11111(2).nnkkkknnkka baaMa MM aa因此12

22、11,0,.nnkkkaaaa ba M 特别地 当时 有E-mail:1121:(1);(2),(1,2,),.nnnnnnnnnu vunMBvvvM nu v如果级数满足条件数列单调减少趋于零存在与 无关的正数狄利克莱判别法 使得 则级数收敛E-mail:1212:(1),0.(2),2.nnnnpuuuvvvM 由条件由条件对于任意的自然数n和p,有 证明根据阿贝尔引理,有112212.nnnnnpnpnuvuvuvMu 1(1),0,.2nnNuM由条件对于任意给定的存在时 有E-mail:1122.nnnnnpnpuvuvuv 因此,1,.nnnu v根 据 柯 西 收 敛 准 则

23、 级 数收 敛:注1,(1),nnv 在上述级数中 取时 则狄利克莱判别法就是莱布尼兹判别法,因此可以说,狄利克莱判别法是莱布尼兹判别法的推广.E-mail:1sin4 .nnn例16 判别级数的收敛性1:,cos.,42coscoscos444nnnnnuvunnB令则单调减少趋于零 且解1(1)4cossin122cos.4sin48sin2nnnnn.根据狄利克莱判别法可知所给级数收敛E-mail:111:(1);(2).nnnnnnnnnu vuvu v如果级数满足条件数列单调有界级数收阿贝尔判别法敛 则级数收敛.E-mail:,.nuS证明 因为单调有界 所以存在有限极限.nnusus不妨设单减趋于,则单调减少趋于零11,.nnnknkvBvn又收敛 所以部分和有界,=1,2,1(),nnnus v根据狄利克莱判别法,级数收敛111().nnnnnnnnu vus vsv从而级数也收敛E-mail:11sin1417(1).nnnnn例判别级数的收敛性111:(1),cos.4.16,nnnnnnnuvnuv令则单调有界由例级数收敛,因此由阿贝尔判别法可知所解给级数收敛.