数学竞赛决赛试题课件.ppt

1、從2013年台南市市長盃國民中學數學能力競賽決賽試題分析談起 左太政/國立高雄師範大學數學系對數學競賽的省思:蕭文強(2012):數學競賽-是好、是壞？是樂、是苦？數學傳播數學傳播。37卷4期，pp.46-55。作者從參與1988年香港舉辦數學奧林匹亞競賽(IMO)擔任coordinator談起。台南市自95年開始由南寧高中承辦市長盃國中數學競賽複賽及決賽部分。競賽與研究參加數學競賽者，較著重在解可能題目未必很明確別人出題，並能分析解題策略，對數學學習與研究是否有幫助？數學研究之精神在於探索解答，且容許改變題目條件。研習內容簡介解題策略決賽試題解析第一部分：淺介數學解題策略何謂數學解題解題係指

2、當某人在解一個數學問題時，這個人為獲得答案所從事的一系列活動。數學解題係指在解決數學問題過程中需要用到一些數學概念、原理或方法等。老師教解題技巧的二個任務老師教解題技巧的二個任務老師是否能夠明確用名詞描述出成功解題時所使用的解題方法或策略為何？老師是否能夠將這些解題方法或策略教導學生如何解題？解題策略的意義策略是指完成任務的方法。解題策略是指解決數學問題所使用的方法。解題策略的種類解題策略的種類(Problem-Solving Strategies)法則法則(Algorithms)捷思法捷思法(Heuristics)窮舉法窮舉法(Trial-and-Error)頓悟法頓悟法(Insight)解

3、題能否成功，取決於有關知識及技能所涉及的四個範疇(1)資源(resources):有關數學的程序知識與性質等。(2)捷思(heuristics)：解題的策略及技巧。(3)掌握(control):能決定什麼是及何時使用上述所提及的資源及策略。(4)信念(beliefs)：從數學觀點如何確定能解決問題。常用的捷思策略 1.如有可能的話可作圖或表。如有可能的話可作圖或表。2.特殊化特殊化即考慮特殊情形可由下列方式進行即考慮特殊情形可由下列方式進行：視視為問題的特例；為問題的特例；(1)探究可能取值的範圍；探究可能取值的範圍；(2)將整數參數從將整數參數從1,2,3,依序探討起，尋找其規律性依序探討起

4、，尋找其規律性 3.利用對稱性或為不失一般性嘗試簡化題目利用對稱性或為不失一般性嘗試簡化題目 4.倒推法倒推法 5.將問題化成一系列小問題解題將問題化成一系列小問題解題 6.分幾種情形討論分幾種情形討論 7.反證法反證法 8.一般化一般化 9.引用新的符號引用新的符號(代數題代數題)或作補助線或作補助線(幾何題幾何題)解題歷程（一）瞭解問題瞭解問題-什麼是題目要求的或要證明的？什麼是題目要求的或要證明的？已知條件有哪些？已知條件有哪些？必要時可作圖行或表格幫助瞭解題必要時可作圖行或表格幫助瞭解題意。意。（二）擬定計畫擬定計畫(即提出解題構想即提出解題構想)-能分析問題，是否曾做過或解過類似題，

5、以尋求解題途徑，亦可考慮依下列方式進行：1.儘可能畫出圖形或表格；2.檢查特例如令問題中的整數取等特殊值代入,看看是否可歸納出規律來；3.嘗試簡化問題如利用對稱性、採用不妨假設 而不失問題的一般討論方式。4.如無法立即解決問題，需保留任何解題的記錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。解題歷程（三）實行計畫實行計畫-選擇策略及綜合運用知識去進行推理、計算，以解決問題。（四）回顧解答回顧解答-驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題，甚至於自己修改原問題或推廣其結論,，形成另一個問題,，亦可考慮作為專題研究之題目。簡言之簡言之,通常解題活動先從題目通常解題活動先從題目待答或待證明的地

6、方著手待答或待證明的地方著手(Request),適時引進題目的已知適時引進題目的已知條件及潛在的性質條件及潛在的性質(Response),最後導出結果最後導出結果(Result).這是所謂這是所謂的的3 R策略。策略。第二部份：數學競賽決賽試題數學競賽決賽試題解析 一、一、填充題填充題(共共10題，每題題，每題6分分)1.已知已知 p 和和q 都是質數且都是質數且 ，如果如果 和和 也都是質數，也都是質數，則則 之值為之值為_。Ans:23pq2pqpq【參考解答】【參考解答】(1)因為因為 p 和和q 都是質數，且都是質數，且 p+q和和 p-q也也都是質數，故都是質數，故q=2。(2)又又

7、 p+2 也是質數，且也是質數，且 p-2,p,p+2 三數三數中必只有一數是中必只有一數是3的倍數。故的倍數。故2523ppq 2.已知已知 皆為整數，則共有皆為整數，則共有_組數對組數對 滿足條滿足條件件 。Ans:3組組,a b(,)a b225()714aabbab【參考解答】【參考解答】代入代入 分別求分別求 值：值：(1)當當 時，時，(不合不合)；(2)當當 時，時，(不合不合)，；(3)當當 時，時，(不合不合)；故解為故解為 。2222221,25()7145(514)(57)0(514)(514)4 5(57)2 5aabbabbabaaaaaab 22222(514)20

8、(57)025140196 100140014 314 3751961.61,0,11515aaaaaaaaaa 1243,5bb0a 1145b 20b 1a 1212,5bb(,)(1,3),(0,0),(1,2)a b 1a 1,2b12,b b 3.將將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這這十個數填入右圖中的十個數填入右圖中的10個空格子裡，個空格子裡，每個格子只能填一個數。又此圖形中共有每個格子只能填一個數。又此圖形中共有三個田字形三個田字形，每，每個田字形都是由四個空格個田字形都是由四個空格組成。如果每個田字形的四個空格內所填組成。如果每個田字形的四個空格內所填的數字的數字

9、之和都等於之和都等於A，則，則A的最大值為的最大值為_。Ans:28【參考解答】【參考解答】設設對角線位置的中間二個空格對角線位置的中間二個空格分別分別填入填入，又三個田字型的四個，又三個田字型的四個格子格子中中所填的數所填的數 之之和為和為A，因因 ，若若A=28，可考慮可考慮取取 最最上面的田字型其餘三數為上面的田字型其餘三數為4,7,8；中間的田字；中間的田字型其餘二數為型其餘二數為3,6；最下面的田字型其餘三數為最下面的田字型其餘三數為2,5,11。註註:本題填法有多種方式，本題填法有多種方式，A的最小值為的最小值為24。23411656536565 10 11862228xy AA2

10、3411656536565 1011862228xyAA4.4.在所有三位數的正整數在所有三位數的正整數 中，能使中，能使 的末三位數字是的末三位數字是168168的最大三位數的最大三位數 為為_。Ans:982nn3n【參考解答】【參考解答】(1)因因n3的末位數字是的末位數字是8，所以，所以n的末位數字是的末位數字是2。(2)設設n=10k+2，其中，其中k Z，n3=(10k+2)3=1000k3+600k2+120k+8，因為因為n3的十位數字是的十位數字是6，所以，所以k的個位數字為的個位數字為3或或8。為了簡化計算，我們可以假設為了簡化計算，我們可以假設k=5m+3，其中，其中m

11、Z，n3=(10(5m+3)+2)3=(50m+32)3=125000m3+240000m2+153600m+32768，因為因為n3的百位數字為的百位數字為1，故，故m的個位數字為的個位數字為4或或9。當當m=4，我們得到，我們得到 k=23 和和 n=232，當當m=9，我們得到，我們得到k=48 和和 n=482，當當m=14，我們得到，我們得到k=73 和和 n=732，當當m=19，我們得到，我們得到k=98和和 n=982，當當m=24，我們得到，我們得到k=123 和和 n=1232，。所以最大三位數所以最大三位數n為為982 5.長方形長方形ABCD 中中，E 為為 中點，中點

12、，F 為為 中點。如果中點。如果 為為直角，則直角，則 的的比比 值為值為_。(答案需化為最簡式，否則不予計分答案需化為最簡式，否則不予計分)Ans:F E C A D B22ABADBCCDAEFABAD【參考解答】【參考解答】令令2,2ABa ADb F E C A D B22222222222222224,44()(4)52222AEabEFabAFababababababab6.6.已知二已知二數數 滿足滿足 則則 _ _。Ans:4 ba,22(2)(2)1705058abababba【分析】如果如果利用乘法公式將其展開後整理，利用乘法公式將其展開後整理，過程可能過程可能複雜複雜些些

13、。如果如果利用十字交乘法利用十字交乘法：令令 因此原因此原方程式可寫成方程式可寫成 ，似乎也不行，似乎也不行通通。若利用配方法若利用配方法：欲寫成欲寫成 ，其中其中 。2,2AabBab221700AABB22222222AmBnABAmBnmn22225058,170AmBnab mn 【參考解答】【參考解答】根據根據以上以上討論可知討論可知 設設原式原式=22(2)(2)0abmabn7,11270,21101,5|4mnabababab 222 2225058,170ab mab nabmn 7.令令 為正整數，在坐標平面上，直線為正整數，在坐標平面上，直線 ，分別交分別交x軸與軸與y軸

14、於軸於 二點二點 O 為為原點原點。若若直角三角形直角三角形AOB 的面積為的面積為 ，則則 =_。Ans:n111nyxnn,A BnS122013SSS20134028【參考解答】【參考解答】因為因為A,B點之座標點之座標 之面積之面積為為 。11(,0),(0,)1ABAOBnn 1 1111 11()212(1)21n nn nnn201312201311 11112013()(1)21220144028nSSSnn 8.計算計算 =_。(需化至最簡式，否則不計分。需化至最簡式，否則不計分。)Ans:2132431009926129900910【參考解答】【參考解答】213243100

15、992612990011111(1)()()223991001911010 9.設某數列的第設某數列的第n項為項為 ，其中，其中n為正整數。若此數列的前為正整數。若此數列的前2013項之項之和為和為L，且，且 ，其中，其中 是某正是某正整數，則整數，則 的值為的值為_。Ans:2013 3)1()2(1)1(1122nnnn1L【參考解答】【參考解答】設設 其中其中n為為正整正整數數。首先觀察對任意首先觀察對任意的的正整正整數數k，3)1()2(1)1(1122nnnxnn22222222432222222211(1)(1)1(1)(1)2321(1)(1)(1)111111(1)(1)1kk

16、kkkkkkkkkkkkkkkkkkk kk kkk 所以所以對任意的自然數對任意的自然數n，我們可求得，我們可求得 因為因為 由知，由知，所以所以 3)1(21111nnnxnn122013111111111111234345456111111115672014201520161111111112013(*)220154567201420152016Lxxx20142013 L2013 10.已知已知 為正整數且為正整數且 ，則滿足條，則滿足條件件 的的 值為值為_。Ans:,a bab1683ab(,)a b(,)(748,187)a b 【參考解答】【參考解答】因因 為正整數，所以為正整

17、數，所以 必為正整數，必為正整數，且且 ，所以，所以 ，其中其中k 為正整數。為正整數。但但 ，因為因為 ，所以，所以 。21683(1683)16832 1683abbaaa,a b1683a21683311 17211 17ak211 1716831,2akkab(,)(748,187)a b 由上述解的過程得知 如果我們將1683改為2013或2014，其結果為何？二、計算及證明題二、計算及證明題(共共4題，每題題，每題10分分)1.設設 為質數，如果為質數，如果 的正因的正因數之個數少於數之個數少於11個，試求滿足這樣個，試求滿足這樣條件的所有質數條件的所有質數 。p211p p 解題

18、策略：將p值從最小值p=2,3,5,代 入檢驗是否符合題意。【參考解答】【參考解答】Ans:若若 ，則，則 有有4個正因個正因數數1,3,5,15。若若 ，則，則 有有6個正因個正因數數1,2,4,5,10,20 若若 ，則，則 有有9個個正因數正因數1,2,3,4,9,12,18,36 若若 ，則，則 有有12個個正因數（不合）正因數（不合）2,3,5p 2p 211153 5p 3p 22112025p 5p 7p 222113623p 22116023 5p 欲證當欲證當 時，時，的正因數之個數必多於的正因數之個數必多於11個。首先證明個。首先證明 為為12的倍數。的倍數。因為因為 ，則

19、，則 必為必為4的倍數加的倍數加1，必必 為為4的倍數。的倍數。又又 為為3的倍數加的倍數加1，因此，因此 亦為亦為3的倍數加的倍數加1，所以所以 為為3的倍數。的倍數。故可令故可令 ，其中，其中 為正整數為正整數 因此當因此當 ，則，則 。若若 ，則，則 有有12 個正因數個正因數1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132（不合）。（不合）。若若 ，則，則 有有12 個正因數個正因數 （不合）。（不合）。11p 211p 211p 3p 211p 211p p2p211p a11p 211 13211pa11a 11a 221123pa 1,2,3,4,6,12,2,3,

20、4,6,12aaaaaa2p221123pa 評分標準2、3、5找出一個得1分，共3分 例：1、2、3、5 多寫一個得2分 例：2、3、5、7、11 多寫二個得0分 例：2、3、7 少一多一得0分猜出 必為12倍數 得1分證 為4的倍數 得1分 證 為3的倍數 得1分說明 時，因數個數小於11個的 值只有2、3、5 得4分 211p 211p 211p kp321122211p p2.2.已知已知 為為正整數，且正整數，且 ，如如果果 能能被被 整除整除，試求，試求 之之值。值。,a b c1abc(1)(1)(1)abbccaabc,a b c【參考解答】【參考解答】Ans:(1)(1)能被

21、能被 整除，所以整除，所以 。(2)(2)又又 不能被不能被 與與 整除，整除，不能被不能被 與與 整除，整除，不能被不能被 與與 整除，由整除，由 能被能被 整除，可知整除，可知 。2,3,5abc222222(1)(1)(1)1abbccaa b ca bcab cabcabbccaabc|1abc abbcca1abab1bcbc1caca(1)(1)(1)abbccaabc|1,|1,|1c aba bcb ca(3)(3)令令 ，其中，其中 為某一正整數，因此為某一正整數，因此 能被能被 整除，即整除，即 。因此令因此令 ，其中，其中 為正整數。為正整數。(4)(4)又又 1abck

22、 k1()abbccackbccac abk abc|ab abkb abkb akakbmm1()212abckabckbakbcbmakbmakbabkb|22,213,15ab abkabbakakbakcab 另解1111111111133(1)322,1abc abbccak abcabbccaabbccakabcabcabcabcabckaakabcabcaak 222122102231 3bcbbccbcbcbc 213235bbcc評分標準答案對，但缺乏合理說明過程 得1分有推導出 得2分寫出 或 為 的倍數，或以類似表示解法 得2分直接任意代入數字，不給過程分數其餘討論，過程

23、合理正確，再得5分|1,|1,|1c aba bcb ca|1abc abbcca1cabcababc 3.設設 ，試求出所有可，試求出所有可能的整數能的整數 ，使得，使得n是某個質數的平是某個質數的平方，並求出所有合乎條件方，並求出所有合乎條件 的的n值。值。514242xxnx參考解答參考解答 設設 ，其中其中p是質數，是質數，則則 ，中中可設可設 ，為整數。因此，觀察得到為整數。因此，觀察得到 又又因為因為 ，所以考慮下列所以考慮下列可能可能情形如情形如下下：2251424pxxnabxxp)56)(14(241,65axbx,a b1323 baabp|2(1)(1)當當 時，則時，則

24、 ，無解，無解 (2)(2)當當 時，則時，則 ，所以，所以 ，因此，因此 。(3)(3)當當 時，則時，則 ，無解。，無解。(4)(4)當當 時，則時，則 ，無解。，無解。(5)(5)當當 時，則時，則 ，即即 與與p p是質數矛盾，因此無解。是質數矛盾，因此無解。(6)(6)當當 時，則時，則 ，無解。，無解。綜綜合以上討論可知合乎所求僅有合以上討論可知合乎所求僅有 ，此時，此時1,2bpa2232135pppbpa,1323pp13pba341ax2,1pba13232p1,2bpa13232 ppbpa,1323pp013 p2,1pba13232p169n3x評分標準直接猜答案 得3

25、分透過因式分解 令 得5分完整分類討論，每討論一項加1分 得5分)56)(14(514242xxxxn41653169xxxn 4.設設 表示一個三角形之三邊表示一個三角形之三邊長，試證：長，試證：,a b c222abbccaabcabbcca參考解答(1)首先證明：abbccaabc2220()2,0()2,0()2,222abababbcbcbccacacaabbcababbcababbccaabc 給分原則如果直接提及：利用算幾不等式，基本上國中階 段並無此公式，原則上需證明。(2)先先證明證明 ，。同理可證同理可證 。其次，再其次，再將將此三個不等式兩邊分別乘以此三個不等式兩邊分別乘

26、以 後後相相加，加，得得 ，故故得證。得證。,abcbcacab22()cabcaabbabcab,abcbca,abc222abcabbcca評分標準 二個部分不等式，各完成一個，得5分 令 ，或只討論特殊三角形來說明不等式成立，得1分 用數字代入說不等式成立，不給分 其餘依據討論及策略的完整性，視情況加分cba複賽填充題解析複賽填充題解析 8.有一個大掛鐘矗立在公園中，上午有一個大掛鐘矗立在公園中，上午 點被點被校正為正確時間，但此掛鐘每走一分鐘，校正為正確時間，但此掛鐘每走一分鐘，它會較正確時間慢它會較正確時間慢 秒鐘，若當天下午此掛秒鐘，若當天下午此掛鐘的鐘面指針是兩點整，則此時正確的

27、時鐘的鐘面指針是兩點整，則此時正確的時間應是幾點幾分？間應是幾點幾分？(A)2 點點 40分分 (B)2點點50 分分 (C)3點整點整 (D)3 點點 10分分 Ans:(C)【參考解答】【參考解答】設正確時間為下午設正確時間為下午 2 點點 分，分，由於該鐘每一分會慢了由於該鐘每一分會慢了10秒鐘，所以得方秒鐘，所以得方程式：程式：x(300)106060 xxx另解 考慮利用比例關係 正確時鐘每走1分鐘，此時鐘只走50秒 二者行走速度比值為 ，因此當此時鐘為兩點整，共走5小時，因此正確時鐘需走6小時。65 12.已知已知 且滿足且滿足 ，則則 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 An

28、s:(A)ab22410,410aabb 211?11ab【參考解答】【參考解答】利用根與係數，因為利用根與係數，因為 分別為方程式分別為方程式 的二解，因此的二解，因此,a b2410 xx 4,1112611116abababababab 19.小明小明開車從甲地開往乙地，每小時的車開車從甲地開往乙地，每小時的車速維持固定。如果他把車速每小時提高速維持固定。如果他把車速每小時提高20%，可以比原來預定到達的時間提早，可以比原來預定到達的時間提早1小小時；如果他先以原來的速度行駛時；如果他先以原來的速度行駛120公里後公里後，再將車速每小時提高，再將車速每小時提高25%，則可提前，則可提前4

29、0分鐘到達，請問甲乙兩地相距多少公里？分鐘到達，請問甲乙兩地相距多少公里？(A)240 (B)270 (C)300 (D)360 Ans:(B)【參考解答】【參考解答】設甲乙兩地相距設甲乙兩地相距 公里，且公里，且小明小明每小時的每小時的車速為車速為 公理，由題意知，公理，由題意知，又又 ，故故 。xv161.2xxxxtvvvv 120120212049616451.25353xxxvvvvvvv45 6270 x 20.有一個有一個 位數位數A，具備以下兩個性質：，具備以下兩個性質：(1)A中每一位數的數字都是中每一位數的數字都是1或或2，(2)A中至少有相鄰的二個數字都是中至少有相鄰的二

30、個數字都是1，例如例如:，A=112、211及及111都滿足此二性質。都滿足此二性質。又另一個又另一個 位數位數B，具備以下兩個性質：，具備以下兩個性質：(3)B中每一位數都是中每一位數都是0或或1，(4)B中至少有相鄰的二個數字都是中至少有相鄰的二個數字都是0，例如例如:，B=100滿足此二性質。滿足此二性質。若若 表示表示 n位數位數A的個數，的個數，表示表示 位數位數B的個數的個數，則，則 之值為多少？之值為多少？(A)10 (B)11 (C)12 (D)13 Ans:(B)3n 3m nammb44ba 【參考解答】四位數的【參考解答】四位數的A=1122,2112,2211,1112

31、,2111,1121,1211及及 1111 共共8種種 四位數的四位數的B=1100,1001及及 1000，共共3種種 所以所以8+3=1121.21.設有兩相異數設有兩相異數 和和b b 滿足滿足 和和 ，則，則 之值為何？之值為何？(A)(B)(C)(D)Ans:(D)aaa452bb452baab5856258526【參考解答】【參考解答】因為因為 為方程式為方程式 的的二根二根，所以，所以因此因此 。,a b2450 xx1,5x 126555baab 22.設設 ，令令 且且 ，若若以以p和和q為為兩根的方程式兩根的方程式為為 ，則，則?(A)28 (B)32 (C)36 (D)

32、40 Ans:(A)5,3,4,cd2ababcdbdacpbcadq02nmxx nm26【參考解答】【參考解答】()()5 420pqacbdadbcab cd 2222()()()()7420,74626 202 7428pqacbd adbcab cdab cdmnmn 23.在四邊形在四邊形 ABCD中，中，且且 。如果四邊形的周長為。如果四邊形的周長為16，則，則 =？(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 Ans:(B)60,150ABCBAD4ABBCAD B A D C【參考解答【參考解答】作】作 ，因為，因為所以所以 為正三角形，且為正三角形，且 ，且，且令令 ，由題意知由

33、題意知，B A D CAC60ABCABC90DAB90DABADx222221688,16(8)3xCDCDxACxxx複賽第複賽第24題題 已知實數已知實數 滿足滿足 ，則則 之值為多少？之值為多少？(A)0 (B)1 (C)2 (D)3,a b c1abcbccaab222abcbccaab【參考解答】【參考解答】將將上上式式分別乘以分別乘以 後後相加，得相加，得,a b c1abcbccaab 2220abcbccaababbcacbcabacabcbccaab 25.某一學年度某一學年度創創創創在學校總共考了在學校總共考了n 次數次數學測驗，已知他在該學年度最後第二次數學測驗，已知他

34、在該學年度最後第二次數學測驗考了學測驗考了98分，他算出到此次測驗為止分，他算出到此次測驗為止，他的數學測驗平均分數就會比前面，他的數學測驗平均分數就會比前面 n-2次次的平均分數增加的平均分數增加 1分；又他在該學年度最後分；又他在該學年度最後一次測驗考了一次測驗考了70分，那麼他在該學年度全分，那麼他在該學年度全部數學測驗的平均分數就會比前面部數學測驗的平均分數就會比前面 n-1次測次測驗的平均分數減少驗的平均分數減少2分；則分；則 n=？(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 Ans:(D)【參考解答】【參考解答】設設創創創創在該年前面在該年前面n-2 次數學測驗的平均分次數學測驗的平

35、均分數為數為 m分，由題意知，分，由題意知，又又 解之得解之得n=10。(2)98(1)(1)99nmmnmn(2)9870(12)2168nmmnmn 範例解說問題1.已知 為介於0和1之間的正實數，試證：,a b c d(1)(1)(1)(1)1abcdabcd 能否描述本題的解題策略？利用類比(Analogy)Fewer variables方法，先從二個變數著手，即先作 其次，不等式的兩邊再分別乘以 及 去說明三個變數及原式的結果。(1)(1)1abab(1)c(1)d問題2.試求：之值。1232!3!4!(1)!nn如何教導同學解題策略？通分？還是參考解法一 將原式引進sigma符號來

36、化簡，即1111(1)!(1)!nnkkkkkk參考解法二 考慮 ，再尋找規律性。1,2,3,n 類題 計算111111111 32 43 5(2)nn 問題3 .給定二條相交於一點的直線，在其中一條上取一點 ，如圖所示。試利用尺規作圖作一圓相切於此二直線，使得此圓與其中一條直線相切於點 。PPP問題 4.在 中，試證可利用尺規作圖作一直線，平行於底邊 ，且將此三角形平分成二個面積相等的圖形。A B CABCBC單元:一題多解 有利於加強同學的思維訓練 有利於培養同學的數學能力 例如:(1)數與形的結合 (2)轉化解題方法的培養 (3)歸納能力 從一道數學題目談起 如圖，試求 的度數。參考解答一(利用三角函數)11tan,tan2311tantan23tan()11 11tantan1.2 3490參考解答二:使用國中所習方法圖解法(Proof Without Words)首先，構造,類題：試求下圖中的九個角的度數和。提示：4 1 2 3 7 8 6 5 9 A453903405 【參考解答】【參考解答】【參考解答】【參考解答】x