数学知识-函数极限及导数、微积分课件.ppt
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- 关 键 词:
- 数学知识 函数 极限 导数 微积分 课件
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1、函数及其极限函数及其极限一、函数概念一、函数概念1、变量:在某一过程中,数值不断变化的量,称为变量。、变量:在某一过程中,数值不断变化的量,称为变量。变量的变化范围称为变域变量的变化范围称为变域D,变域常常由区间组成。,变域常常由区间组成。值值的的全全体体表表示示满满足足不不等等式式:如如:xbxabax,值值的的全全体体表表示示满满足足不不等等式式:xbxabax),(例例1:从高度为:从高度为20米的楼顶落下的物体,在下落的过程中,其米的楼顶落下的物体,在下落的过程中,其距地面的高度距地面的高度h 即为一变量。显然:即为一变量。显然:0h20。20,0h或:或:2、函数概念、函数概念 设设
2、x,y 为同一变化过程中的两个变量,如果变量为同一变化过程中的两个变量,如果变量x 在其变域在其变域D内任意取定一个值,变量内任意取定一个值,变量y 都有唯一确定的值与之相对应,就称都有唯一确定的值与之相对应,就称y 是是x 的函数。的函数。x 称为自变量。函数称为自变量。函数 y 也称为因变量。也称为因变量。在例在例1中,物体的落下的高度中,物体的落下的高度h 显然是显然是 时间时间t 的函数,的函数,0h地面地面楼顶楼顶h)20(212tgth即:即:)(xfy 记为:记为:f 表示某种确定的关系。表示某种确定的关系。自变量自变量x 的变化范围的变化范围函数的定义域函数的定义域所有函数值所
3、有函数值y 的集合的集合函数的值域。函数的值域。)10(20,02,0ght取值域函数定义域:;数学函数的定义域,由数学函数表达式确定。数学函数的定义域,由数学函数表达式确定。物理函数的定义域,由具体的物理过程确定。物理函数的定义域,由具体的物理过程确定。2rS例如,对于函数:例如,对于函数:若是数学函数,其定义域为:若是数学函数,其定义域为:)(r若是物理函数,表示圆的面积若是物理函数,表示圆的面积S与半径与半径r 的关系。其定义域为:的关系。其定义域为:r0函数函数y 也可依赖于多个自变量:也可依赖于多个自变量:Nxxx21,称为多元函数,记为:称为多元函数,记为:),(21Nxxxfy例
4、如,两个点电荷例如,两个点电荷之间的静电力:之间的静电力:),(41212210rqqfrqqf二、函数的极限概念(不是数学上的严格定义)二、函数的极限概念(不是数学上的严格定义)函数的自变量函数的自变量x 趋近于(无限接近于)某一数值趋近于(无限接近于)某一数值x0 时,若函时,若函数数f(x)也趋于某一固定值也趋于某一固定值A。则称。则称A 为为x 趋于趋于x0时,函数时,函数f(x)的极限。记为:的极限。记为:0)(limxxAxf例:例:都是常数)都是常数)cbacbxaxxf,()(2cbaxfcxfxx24)(lim)(lim20)3(39)(2xxxxf6)3(lim3)3)(3
5、(lim)(lim333xxxxxfxxx从上例知,从上例知,f(x)在在 x=3 时没有意义,但时没有意义,但x3时,时,f(x)的极限可以存在。的极限可以存在。三、自变量的增量和函数的增量三、自变量的增量和函数的增量 的增量。的增量。称为函数称为函数)()()(0 xfyxfxfy在函数在函数y=f(x)的定义域中,设自变量的定义域中,设自变量x 由由x0 变到变到x,相应,相应的函数值由的函数值由f(x0)变为变为f(x)。则:。则:可正,可负。可正,可负。的增量。的增量。称为自变量称为自变量xxxxx0。有:有:由:由:xxxxxx00)()()()(000 xfxxfxfxfy则:则
6、:xbxaxaxcbxaxcxxbxxaxfxxfy2002002000)(2)()()()(则:则:cbxaxxf2)(例:例:四、函数的导数(变化率)四、函数的导数(变化率)1)、问题的引入:求函数)、问题的引入:求函数曲线在曲线在A点的切线点的切线A斜率:斜率:xyoA0 x?tan即,求:即,求:先考虑在曲线上另取一先考虑在曲线上另取一B点,作割线点,作割线AB。求求割线割线AB的斜率。的斜率。?tan即,求:即,求:由图,得割线由图,得割线AB的斜率:的斜率:xxfxxfxy)()(tan00能否以该斜率代替切线能否以该斜率代替切线的斜的斜率,即以割线率,即以割线AB代替切线代替切线
7、A?xyoA0 x以割线代替切线肯定会有误差,误差的大小和以割线代替切线肯定会有误差,误差的大小和x的大小有关。的大小有关。显然,当显然,当x0时,时,B点无限接近点无限接近A点,即割线点,即割线AB无限接近切线无限接近切线A。xyoA0 x由此,得计算切线由此,得计算切线A斜率的方法:斜率的方法:xxfxxfxyxx)()(limlimtan0000上述极限记为:上述极限记为:xxfxxfxydxdyxx)()(limlim0000可见,数学上提出了这样一种计算要求:可见,数学上提出了这样一种计算要求:计算计算函数增量函数增量y与自变量增量与自变量增量x之比之比(商),在(商),在x趋于零时
8、的极限。趋于零时的极限。物理学上,也有类似的计算要求(举例)。物理学上,也有类似的计算要求(举例)。2)导数的定义:)导数的定义:综上讨论,得出函数导数的定义,如下:综上讨论,得出函数导数的定义,如下:设函数设函数y=f(x)在在x=x0处,自变量增加处,自变量增加x,即由,即由x0 变为变为x0+x;相应的函数增量:相应的函数增量:y=f(x0+x)-f(x0)与自变量增量与自变量增量x之比,之比,在在x0时的极限,称为函数时的极限,称为函数f(x)在在x0的导数。的导数。(导数定义式)(导数定义式)即:即:xxfxxfxyxx)()(limlim0000 xxfxxfxydxdyxxx)(
9、)(limlim00000:记为记为)()()(limlim)(0/00000/xyxxfxxfxyxfxx:或或处得导数。处得导数。在在例求:例求:02)(xxcbxaxxf解:解:x由由x0 x0+x时,时,xbxaxaxxfxxfy2000)(2)()(xxbxaxaxxyxfxx20000/)(2limlim)(得:得:baxbxaaxx0002)2(lim从上例可归纳出求函数导数的一般步骤:从上例可归纳出求函数导数的一般步骤:1)计算自变量增加)计算自变量增加x时,函数的增量时,函数的增量y=f(x0+x)-f(x0)。3)计算增量比值的极限。)计算增量比值的极限。2)计算增量的比值
10、(商)计算增量的比值(商):xyxyx0lim该极限值即称为函数该极限值即称为函数f(x)在在x0的导数。的导数。在求导数时,在求导数时,x0 可在函数的定义域内任意取值。因此,导数也可在函数的定义域内任意取值。因此,导数也是自变量是自变量x 的函数,称为导函数。记为:的函数,称为导函数。记为:dxdyxf);(/在大学物理学中,一些物理量之间的关系就是导数关系。在大学物理学中,一些物理量之间的关系就是导数关系。3)导数的几何意义:)导数的几何意义:线的斜率。线的斜率。的切的切在点在点等于函数曲线等于函数曲线,处的导数处的导数在点在点函数函数00/0)()()(xxfyxfxxfyxyoA0
11、x从导数的几何意义知:从导数的几何意义知:导数反导数反映了函数的变化快慢。映了函数的变化快慢。4)基本求导公式:)基本求导公式:0.1/ycy的任意实数)的任意实数)1(.21/xyxyxyxyeyeyxx1ln.4.3/xyxyxyxysincos.6cossin.5/5)函数的和、差、积、商的导数:)函数的和、差、积、商的导数:)()()()(.1/xvxuxvxu)()()()()()(.2/xvxuxvxuxvxu)()()(C/xCuxuCxu推论:推论:)()()()()()()(.32/xvxvxuxuxvxvxuxexxxxfcos3)(23例:例:xexxxxfsin63)(
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