损失分布课件.ppt

1、第三小组2011.04.14x0f(x)hh1 2 3 4our team第二部分：基础知识回顾正正 态态 分分 布布二二 项项 分分 布布几几 何何 分分 布布1 2 3 4一、正态分布一、正态分布 正态分布的概率密度函数概率密度函数如下，其均值为 方差为 (或标准差 )：如果一个随机变量X服从这个分布，我们写作:.如果=0并且=1，这个分 布被称为标准正态分布标准正态分布，这个分布能够简化为:22()21(;),2xf xex ,22XN，21()2xf xe1 1、定义、定义1 2 3 4 22212xf xex 对于正态分布的密度函数由高等数学中的知识，我们有：0 xhPhXPXh曲线

2、关于直线，这表明：对于任意的，有：对称x0f(x)hh2 2、图形性质、图形性质1 2 3 422()23(2)()1()2()(),2(3)()().xxf xfxf xXxfxexyf xxyf xOx .当时，取到 离 越远，的值就越小.这表明，对于同样长度的区间，当区间离 越远时，随机变量 落在该区间中的概率就越小.曲线在处有；曲线以轴为最大值拐点渐近线1 2 3 422()2223()(),2()0(4)().()xxfxexxf xf xxyf x 当时，.若 固定，而改变 的值，则的图形沿 轴平行移动，但不改变其形状因此的图形位置完全由参数 所确定.决定了图形的中心位置位置参数：

3、123 1 2 3 4()f x=0.7=1=20(5)()1()2()()f xfyf xXyf xX.若 固定，而改变 的值，由于 的最大值为 可知，当 越小时，的图形越陡，因而 落在附近的概率越大；反之，当 越大时，的图形越平坦，这表明 的取值越分：散.形状参数1 2 3 43 3、解析性质、解析性质1 2 3 4222222221(,)(,()2(,)(,)*(,)*(,)XXYYXYXYXYXYXNabaXbab aXNYNUXYVXY 、如果 且 与 是实数，那么：、如果 与 是统计独立的正态随机变量，那么：它们的和也满足正态分布 它们的差也满足正态分布 *UV 与 两者是相互独立

4、的1 2 3 4122002213(0,)(0,)*1|()*/Cauchy(0,/).,nXYXYXYXYnXNYNXYpzp zKKX YXXXXn 、如果 和 是独立正态随机变 量，那么：它们的积服从概率密度函数为 的分布 ，其中 是贝塞尔函数。它们的比符合柯西分布，满足 4、如果为独立标准正态随机变量，那么 服从自由度为 的卡方分布。实际应用中实际应用中：常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确若其假设正确，则约68%68%数值分布在距离平均值有1 1个标准差个标准差之内的范围，约95%95%数值分布在距离平均值有2 2个标准差个标准差之内的范围，以及约99.7%99.

5、7%数值分布在距离平均值有3 3个标准差个标准差之内的范围。称为称为68-95-99.768-95-99.7法则法则 或或 经验法则经验法则.4 4、例题例题：某保险公司有8项保险业务，每年各项保险业务的赔偿金额和平均发生次数如下表：保险业务代号保险业务代号赔偿金额分组（千元）赔偿金额分组（千元）发生次数发生次数1 15-255-254 42 225-4525-458 83 345-6545-6514144 465-8565-8519195 585-10585-10521216 6105-125105-12510107 7125-145125-1455 58 8145-165145-1653

6、384841 2 3 4问题：试估算明年该保险公司的（1）期望赔偿金额；（2）赔偿金额落在什么区间的概率为95%；（3）赔偿金额大于100千元的概率多大？解：用资料的平均值去估计正态分布的数学期望8181iiiiifmXf=682084=81.19 （其中f为次数，m为各项保险业务赔偿金额的组中值）1 2 3 4 根据期望方差公式，求得标准差S=32.95 根据正态分布的特点及查表得，赔偿金额落在（81.19-32.95X1.96，81.19+32.95X1.96）即落在（16.61,145.78）内的概率为95%2(3)(81.19,32.95),100(100)81.1910081.198

7、1.190.5732.9532.9532.95()(0.57)=0.71571000.2438.XXp XXXppx、赔偿金额 大于千元的概率，即，其中是标准正态分布的分布函数，经表查得，所以赔偿金额大于千元的概率为1 2 3 4二、二项分布二、二项分布1 1、定义、定义伯努利试验伯努利试验(Bernoulli trial)伯努利试验伯努利试验指的是单次事件指的是单次事件，而这次事件的结果是两个可能性结果中的一个。这样的事件都可以表达成“是或否”（yes or no）问题。例如：硬币掉落后是人头朝上吗？刚出生的小孩是个女孩吗？一个人的双眼是绿色的吗？在有蚊子的地方喷洒杀虫剂，蚊子会死掉吗？一个

8、可能是顾客的人会买我的产品吗？公民（citizen）会投给特定的候选人吗？1 2 3 416二项分布二项分布定理定理:在在n n重贝努里试验中，若事件重贝努里试验中，若事件A A发生的概率为发生的概率为(1),(0,1,.,)kkn knP XkppknC其中：随机变量X为n n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A A成功成功的次数。的次数。定义定义:设随机变量设随机变量X X的可能取值为的可能取值为0 0，1 1，(1),(0,1,.,)kkn knP XkppknC则称则称X X服从参数为服从参数为n n，p p的二项分布，的二项分布，记为记为(,)Xb n pn n，并且取这些值的概率

9、分别为：，并且取这些值的概率分别为：p p，则事件，则事件A A恰好发生恰好发生k k次的概率为次的概率为1 2 3 42 2、性质、图形、性质、图形 *二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。*当p0.5时图形是对称的 *当p0.5时，直方图呈偏态，p0.5（左偏）的偏斜方向相反。*n很大时，二项分布的极限分布为正态分布。性质性质()()(1)E XnpVar Xnpp期望:方差:1 2 3 4图形图形P=0.5P=0.1P=0.3b(k;20,p)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 2 3 43 3、例题例题：某公司有4家工厂，假设任何一家在一年中发生火灾的概率

10、为0.2，火灾发生一次保险公司将赔款10万元，并且各个工厂之间就火灾而言是互不相关的，同一个工厂一年中发生二次及二次以上火灾概率认为是零。请估算该公司下一年度中发生火灾的次数分布概况，以及一年内保险公司平均要赔款多少元？1 2 3 4()4 0.2,.80.880000E Xnpnpq即发生火灾的工厂数目预期为0可能的偏离度，即标准差 VaxX所以保险公司一年内将平均赔款元.64()0.2 0.8kkkp XkC解：设X为公司4家工厂在一年中发生火灾的次数，因为假定同一工厂一年最多只发生一次火灾，故X服从二项分布，即：(4,0.2)XB1 2 3 4三、几何分布三、几何分布1 1、定义、定义

11、考虑只有两个结果的独立重复随机试验序列，指定结果发生的概率为p，则首次出现指定结果所需要的试验次数X的概率分布为PX=k=其中：k=1，2，；q=1-p 该分布称为几何分布，0p1(1)kpp2()1/()/E XpVar Xq p期望:方差:1 2 3 42 2、性质、性质无记忆性无记忆性()(|)()XGe pnp Xmn Xmp Xn：设，则对任意的 有定理该定理表明，在前m次试验中A没有出现的条件下，则在接下去的n 次试验中A仍没出现的概率只与n有关，而与以前的m次试验无关，似乎忘记前m次试验结果，这就是无记忆性。1 2 3 43 3、图形、图形 p=0.2 p=0.5 p=0.80 2 4 6 8 100.80.60.40.301 2 3 4第三部分：案例解析1 2 3 4四 条 生 命 鲜 血 的 代 价1 2 3 4原因：n 社会意识n 保险业内管理及对骗保的纵容n 社会公众和职能部门的忽视n 法制建设的不足1 2 3 4应对措施：n 国家应健全保险法规体系。n 加强保险业界之间的沟通和合作。n 完善内控管理制度。1 2 3 4第四部分：总结1 2 3 4 三个损失分布函数 正太分布 二项分布 几何分布 关于风险管理的实际应用案例thanks