高中数学概率解答题拔高题型训练(解析版).pdf
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1、概率解答题拔高题型训练解析版 试卷第 1 页,总 26 页 概率解答题拔高题型训练概率解答题拔高题型训练 1 1超级细菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多,但是由于超级细菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多,但是由于 滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对 它起不到什么作用,病人会因为感染而引起可怕的炎症,高烧,痉挛,昏迷,甚至死亡它起不到什么作用,病人会因为感染而引起可怕的
2、炎症,高烧,痉挛,昏迷,甚至死亡. . 某药物研究所为筛查某种超级细菌,需要检验血液是否为阳性,现有某药物研究所为筛查某种超级细菌,需要检验血液是否为阳性,现有() * n nN份血液样本,每个样本取份血液样本,每个样本取 到的可能性相等, 有以下两种检验方式: (到的可能性相等, 有以下两种检验方式: (1 1) 逐份检验, 则需要检验) 逐份检验, 则需要检验n次次; (; (2 2) 混合检验, 将其中) 混合检验, 将其中k(kN 且且2k )份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,则这)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,则这k份的血液全为阴性,因而这份的
3、血液全为阴性,因而这k 份血液样本只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这份血液样本只要检验一次就够了;如果检验结果为阳性,为了明确这k k份血液究竟哪几份为阳性,就要对份血液究竟哪几份为阳性,就要对 这这k k份再逐份检验,此时这份再逐份检验,此时这k k份血液的检验次数总共为份血液的检验次数总共为1k +次次. .假设在接受检验的血液样本中,每份样本假设在接受检验的血液样本中,每份样本 的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为()01pp 现取其中现取其中k( * kN 且且2k )份血液样本
4、,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为 1 ,采,采用混用混 合检验方式,样本需要检验的总次数为合检验方式,样本需要检验的总次数为 2 (1 1)运用概率统计的知识,若)运用概率统计的知识,若( )() 12 EE=,试求关于,试求关于k的函数关系式的函数关系式( )pf k=; (2 2)若)若p与抗生素计量与抗生素计量 n x相关,其中相关,其中() 12 ,2 n x xxn 是不同的正实数,满足是不同的正实数,满足 1 1x =,对任意的,对任意的 () * 2nNn,都有,都有 1222 1 1 3 22 1 121 n
5、nn i ii xxx e x xxx = + = (i i)证明:)证明: n x为等比数列;为等比数列; (ii ii)当)当 3 4 1 1p x = 时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数时,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数 期望值更少,求期望值更少,求k的最大值的最大值. . 参考数据:参考数据:ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51.6094,ln61.7918, 【答案】【答案】 (1) ( ) 1 1 1 k f k k = , ( * kN ,且2k ) ; (2) (i)
6、见解析, (ii)4 【解析】【解析】 【分析】 (1) 易知若取k份血液样本则( ) 1 Ek=; 2 的所有可能取值为 1,1k +, 根据概率公式可表示出() 2 E. 概率解答题拔高题型训练解析版 试卷第 2 页,总 26 页 结合( )() 12 EE=,化简即可关于k的函数关系式( )pf k=; (2) (i)根据当2n =时 1222 221 3 22 1221 xxx e x xxx = 成立,则由数学归纳法即可证明 n x为等比数列.(ii)根据 (i)可得 3 3 4 11 11p xe = = ,( ) () 12 EE ,化简可得 1 ln 3 kk, 构造函数( )
7、() 1 ln0 3 f xxx x=, 求得导函数( )fx,可通过( )fx的符号判断函数单调性,结合参考数据,即可求得k的最大值. 【详解】 (1)由已知得( ) 1 Ek=; 2 的所有可能取值为 1,1k +, ()() 2 11 k Pp=, ()() 2 111 k Pkp=+= . ()()()()() 2 11 1111 kkk Epkpkkp =+=+ . 若( )() 12 EE=, 则()11 k kkkp=+ ,() 1 1 k p k =, 1 1 1 k p k = , 1 1 1 k p k = . p 关于k的函数关系式为 ( ) 1 1 1 k f k k
8、= , ( * kN ,且2k ). (2) (i)证明:当2n =时, 1222 221 3 22 1221 xxx e x xxx = , 1 2 3 1 x e x =,令 1 2 3 1 0 x qe x =,则1q , 1 1x =,下面证明对任意的正整数n, 1 3 n n xe = . 当1n =,2 时,显然成立; 假设对任意的nk=时, 1 3 k k xe = ,下面证明1nk=+时,3 1 k k xe + = : 概率解答题拔高题型训练解析版 试卷第 3 页,总 26 页 由题意,得 1222 111 3 22 1 121 k kk i ii xxx e x xxx +
9、 = + = , 12 2 1 3 12 122311 3 11111 1 k k kkkk x ex x xx xxxx x e + + + += , 1 2 3 1 1 3 12 2 1 3 1211 1 333 1 11 1 k e k kk k xe ex eexe + + + += , ()21 2 3 1 2 1 3 122 1 33 1 1 1 k k k k k xe x ex ee + + + += , 2(1)2 2 3333 11 10 kkk kk exeex + + + = , 2 333 11 110 kk kk exex + + += . 3 1 k k xe +
10、 = 或 2 33 1 k k xe + = (负值舍去). 3 1 k k xe + = 成立. 由可知, n x为等比数列, 1 3 n n xe = . (ii)由(i)知, 3 3 4 11 11p xe = = , ( )() 12 EE , ()11 k kkkp+ ,得() 3 11 1 k k p ke = , 1 ln 3 kk. 设( )() 1 ln0 3 f xxx x=,( ) 3 3 x fx x =, 当3x 时,( )0fx,即( )f x在)3,+上单调减. 又ln41.3863, 4 1.3333 3 , 4 ln4 3 ;ln51.6094, 5 1.66
11、67 3 , 5 ln5 3 . k的最大值为 4. 概率解答题拔高题型训练解析版 试卷第 4 页,总 26 页 【点睛】 本题考查了离散型随机变量概率的求法,数学归纳法在证明中的综合应用,构造函数并通过导数判断单调 性,求得最值后确定参数的取值范围,综合性较强,文字多,对分析问题、解决问题能力要求高,属于难 题. 2 220202020 年,新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心,危难时刻众志成城,共克时艰,为疫区助力福建年,新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心,危难时刻众志成城,共克时艰,为疫区助力福建 省漳州市东山县共省漳州市东山县共 101101 个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力,募捐价值
12、百万的海鲜输送武汉东山岛,个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力,募捐价值百万的海鲜输送武汉东山岛, 别称陵岛,形似蝴蝶亦称蝶岛,隶属于福建省漳州市东山县,是福建省第二大岛,中国第七大岛,介于厦别称陵岛,形似蝴蝶亦称蝶岛,隶属于福建省漳州市东山县,是福建省第二大岛,中国第七大岛,介于厦 门市和广东省汕头之间,东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处,因地理位置发展海产品养殖业具有得门市和广东省汕头之间,东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处,因地理位置发展海产品养殖业具有得 天独厚的优势根据养殖规模与以往的养殖经验,某海鲜商家的海产品每只质量(克)在正常环境下服从天独厚的优势根据养殖规模与以往的养殖经验
13、,某海鲜商家的海产品每只质量(克)在正常环境下服从 正态分布正态分布(280,25)N (1 1)随机购买)随机购买 1010 只该商家的海产品,求至少买到一只质量小于只该商家的海产品,求至少买到一只质量小于 265265 克该海产品的概率;克该海产品的概率; (2 2)20202020 年该商家考虑增加先进养殖技术投入,该商家欲预测先进养殖技术投入为年该商家考虑增加先进养殖技术投入,该商家欲预测先进养殖技术投入为 4949 千元时的年收益千元时的年收益 增量现用以往的先进养殖技术投入增量现用以往的先进养殖技术投入 i x(千元)与年收益增量(千元)与年收益增量 i y(千元) (千元) (1
14、,2,3,8)i =的数据绘制散点的数据绘制散点 图,由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线图,由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线yab x=+的附近,且的附近,且46.6,x =563,y = 6.8,t =() 8 2 1 289.8, i i xx = = () 8 2 1 1.6 i i tt = = ,()() 8 1 1469, ii i xxyy = = ()() 8 1 108.8 ii i ttyy = = , 其中其中, ii tx= 8 1 1 8 i i tt = = 根据所给的统计量,求根据所给的统计量,求y y关于关于x x的回归方程,并预测先进
15、养殖技术投入为的回归方程,并预测先进养殖技术投入为 4949 千元时的年收益增量千元时的年收益增量 附:若随机变量附:若随机变量(1,4)ZN,则,则( 57)0.9974,PZ = 10 0.99870.9871 ; ; 对于一组数据对于一组数据() 11 ,u v() 22 ,u v , (), nn u v,其回归线,其回归线vu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ()() () 1 2 1 , n ii i n i i uuvv uu = = = vu= 【答案】【答案】 (1)0.0129 (2)100.668yx=+,年收益增量为 576.6 千元
16、 【解析】【解析】 【分析】 概率解答题拔高题型训练解析版 试卷第 5 页,总 26 页 (1)由单只海产品质量(280,25)N,可知280,=5=,表示 1 (265)1(33 ) 2 PP=+,根据附加条件可得单次小于 265g 的概率,根据所求表示 为 10 次独立重复试验,即(10,0.0013)XB,计算(1)1(0)P XP X= =既得答案; (2)从已知条件中缕清需要的已知,其中yab x=+,, ii tx=,即所求回归方程应为y abt=+ ,所 以由 ()() () 8 1 8 2 1 ii i i i ttyy b tt = = = 求得 b,再由 a ybt=求得
17、a ,既得回归方程,代入49x =,既得所预测收 入值. 【详解】 解: (1)由已知,单只海产品质量(280,25)N,则280,=5=, 由正态分布的对称性可知, 11 (265)1(265295)1(33 ) 22 PPP=+ 1 (1 0.9974)0.0013 2 =, 设购买 10 只该商家海产品,其中质量小于 265g 的为 X 只,故(10,0.0013)XB, 故 10 (1)1(0)1 (1 0.0013)1 0.98710.0129P XP X= = =, 所以随机购买 10 只该商家的海产品,至少买到一只质量小于 265 克的概率为 0.0129 (2)由6.8,t =
18、563,y =()() 8 1 108.8, ii i ttyy = = () 8 2 1 1.6 i i tt = = , 有 ()() () 8 1 8 2 1 108.8 68 1.6 ii i i i ttyy b tt = = = , 且 563 68 6.8100.6aybt=, 所以 y 关于 x 的回归方程为100.668yx=+, 当49x =时,年销售量 y 的预报值100.668 49576.6y =+=千元 概率解答题拔高题型训练解析版 试卷第 6 页,总 26 页 所以预测先进养殖技术投入为 49 千元时的年收益增量为 576.6 千元 【点睛】 本题考查统计案例的综
19、合问题,涉及正态分布求概率以及由最小二乘法求回归方程,属于难题. 3 320192019 年年 7 7 曰曰 1 1 日至日至 3 3 日,世界新能源汽车大会在海南博鳌召开,大会着眼于全球汽车产业的转型升级日,世界新能源汽车大会在海南博鳌召开,大会着眼于全球汽车产业的转型升级 和生态环境的持续改善和生态环境的持续改善. .某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对 100100 辆汽车辆汽车 进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)进行了单次最大续航里程(理论上
20、是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程) 的测试的测试. .现对测试数据进行分析,得到如下的频率分布直方图:现对测试数据进行分析,得到如下的频率分布直方图: (1 1)估计这)估计这 100100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(同一组中的数据用该组区间的中点值代表). . (2 2) 根据大量的汽车测试数据, 可以认为这款汽车的单次最大续航里程) 根据大量的汽车测试数据, 可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布近似地服从正态分布() 2 ,N , 经计算第(经计算第(1 1)问中
21、样本标准差)问中样本标准差s的近似值为的近似值为 50.50.用样本平均数用样本平均数x作为作为的近似值,用样本标准差的近似值,用样本标准差s作为作为 的估计值,现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在的估计值,现任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在 250250 千米到千米到 400400 千米之间的概率千米之间的概率. . 参考数据:若随机变量参考数据:若随机变量 服从正态分布服从正态分布() 2 ,N ,则,则()0.6827P+, (22 )0.9545P+,(33 )0.9973P+. . (3 3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向
22、意向客户推出,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖玩游戏,送大奖”活动,客户可根据活动,客户可根据 抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在抛掷硬币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营胜利大本营”,则可获得购车优,则可获得购车优 惠券惠券. .已知硬币出现正、反面的概率都是已知硬币出现正、反面的概率都是 1 2 ,方格图上标有第,方格图上标有第 0 0 格、第格、第 1 1 格、第格、第 2 2 格、格、第、第 5050 格格. .遥控遥控 车开始在第车开始在第 0 0 格,客户每掷一次硬币,遥控车车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格
23、(从格,客户每掷一次硬币,遥控车车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格(从k到到 1k +) ,若掷出反面,遥控车向前移动两格(从) ,若掷出反面,遥控车向前移动两格(从k到到2k +) ,直到遥控车移到第) ,直到遥控车移到第 4949 格(胜利大本营)或第格(胜利大本营)或第 5050 格(失败大本营)时,游戏结束,设遥控车移到第格(失败大本营)时,游戏结束,设遥控车移到第n n格的概率为格的概率为 n P,试说明,试说明 1nn PP 是等比数列,并是等比数列,并 解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车. . 【答案】【答案】 (
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