2021年新高考数学模拟试卷(28).docx

1、2021年新高考数学模拟试卷（28）一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）设集合Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则AB（）A1，0，1，2B0，1，2C0，1Dx|1x2，或x32（5分）复数1+i1-i的模为（）AiB1C2iD23（5分）“m2”是“直线x+ym0与圆x2+y22相切”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知直线ya与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|PA2|=52|A1A2|，则双曲线C的离心率为（）A2B103C2 或103D103

2、或25（5分）已知alog30.3，blog0.30.2，c0.30.2，则（）AabcBacbCbcaDcab6（5分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD7（5分）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x0，y0），若234，则（）Ax0+y00Bx02y0Cy0x0y0Dx0y008（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC=2AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1PQD1的余弦值的取值范围为（）A0，15B0，1010C15，1010D1010，1二多选题（共4

3、小题，满分20分，每小题5分）9（5分）已知函数f（x）=log3(x-2)，x2，3x-1，x2则（）Af（5）1Bf（f（5）1Cf（3）9Df（f（3）log3710（5分）某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下22列联表男女合计爱好拳击352257不爱好拳击152843合计5050100经计算得K2=100(3528-1522)2505057436.895之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布N（175，16）和N（164，9），则下列选项中正确的是（）P（K2k）0.500.050.0100.0050.001k0.4553.84

4、16.6357.89710.828A在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关”B在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击C男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16D女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为311（5分）Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划小吴根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图根据该

5、折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在10月C月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小12（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A若x1+x26则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M（0，1），则|PM|+|PP1|2D过点M（0，1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知平面向量m，n满足m=（3，2），n=（1，），若（m+2

6、n）m，则实数的值为 14（5分）某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（）若开启2号或4号，则关闭1号；（）禁止同时关闭5号和1号现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是 15（5分）在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，ABBC1，BD=5，则三棱锥ABCD的体积为 ，其外接球的表面积为 16（5分）已知函数f(x)=x2+2x+1，(x0)|lnx|，(x0)，若abcd，且f（a）f（b）f（c）f（d），则ab+cd的范围为 四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知在ABC中，角A，B，

7、C所对的边分别为a，b，c，且sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，（1）求角C的大小；（2）若c3，求a+b的取值范围18（12分）已知数列an的前n项和Sn，且数列Snn是首项为1，公差为32的等差数列（1）求an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn1319（12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1（1，0），椭圆经点(1，32)（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆右顶点B，交椭圆于另一点A，点G在直线l上，且GOBGBO若GF1AF2，求直线l的斜率20（12分）如图，ABC为正三角形，半圆

8、O以线段BC为直径，D是圆弧BC上的动点（不包括B，C点）平面ABC平面BCD（1）是否存在点D，使得BDAC？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由；（2）CBD30，求直线AC与平面ABD所成角的正弦值21（12分）某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地ABCD，经测量，边界CB与CD的长都为2km，所形成的角BCD60（1）如果边界AD与AB所形成的角BAD120，现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封闭的施工场地，求至多购买多少千米长度的板材；（2）当边界AD与CD垂直，AB与BC垂直时，为后期开发方便，拟在这块空地上先建两条内部道路AE，EF，如图（2）所示，点E在边界

9、CD上，且道路EF与边界BC互相垂直，垂足为F为节约成本，欲将道路AE，EF分别建成水泥路、砂石路，每1km的建设费用分别为3a、a元（a为常数）；若设DAE，试用表示道路AE，EF建设的总费用F（）（单位：元），并求出总费用F（）的最小值22（12分）函数f（x）=12x2+（al）xxlnx，（1）若f（x）在定义域内为单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a3时，关于x的方程f（x）+b0在区间（1，e上有且只有一实数根，求b的取值范围2021年新高考数学模拟试卷（28）参考答案与试题解析一选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1（5分）设集合Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则A

10、B（）A1，0，1，2B0，1，2C0，1Dx|1x2，或x3【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3，AB0，1，2故选：B2（5分）复数1+i1-i的模为（）AiB1C2iD2【解答】解：|1+i1-i|=|1+i|1-i|=22=1故选：B3（5分）“m2”是“直线x+ym0与圆x2+y22相切”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：当直线x+ym0与圆x2+y22相切，则圆心到直线的距离等于半径，|0+0-m|2=2，解之得m2，则m2是m2的充分不必要条件，故选：B4（5分）已知直线ya与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)

11、的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，若|PA2|=52|A1A2|，则双曲线C的离心率为（）A2B103C2 或103D103或2【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的一条渐近线：y=bax，则P（a2b，a），因为|PA2|=52|A1A2|，所以（a2b-a）2+a25a2，可得（ab-1）24，所以ab=3，从而e=1+b2a2=103，双曲线的渐近线为：y=-bax，则p（-a2b，a），|PA2|=52|A1A2|，所以（-a2b-a）2+a25a2，可得（ab+1）24，所以ab=1，可得e=2则双曲线C的离心率为：2或103故选：D5

12、（5分）已知alog30.3，blog0.30.2，c0.30.2，则（）AabcBacbCbcaDcab【解答】解：依题意，0log31log30.3a，blog0.30.2log0.30.31，c0.30.20.301，所以0c1，故acb，故选：B6（5分）函数f(x)=(x-1x+1)ex的部分图象大致是（）ABCD【解答】解：当x时，ex0+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）0+，排除C，D；因为x+时，ex+，x-1x+1=1-2x+11+，所以f（x）+，因此排除B，故选：A7（5分）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x0，y0

13、），若234，则（）Ax0+y00Bx02y0Cy0x0y0Dx0y00【解答】解：由三角函数的定义得x0cos，y0sin，则tan=y0x0，Ax0+y0sin+cos=2sin（+4），234，34+4，此时x0+y00，故A错误，Bx02y0cos2sin1sin2sin（sin+12）2+54，234，sin（22，1），x02y00，故B错误，Ctan=y0x00，y0sin0，y0x0y0，正确，故C正确，Dx0cos0，y0sin0，则x0y00，故D错误，故选：C8（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC=2AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图当BQ+

14、QD1的长度取得最小值时，二面角B1PQD1的余弦值的取值范围为（）A0，15B0，1010C15，1010D1010，1【解答】解：设AA11，则ABBC=2，设CQx，则C1Q1x，则BQ=BC2+CQ2=2+x2，QD1=DC12+C1Q2=(1-x)2+2，则BQ+QD1=2+x2+(1-x)2+2=(x-0)2+(0+2)2+(x-1)2+(0-2)2，设M（x，0），N（0，-2），K（1，2），则BQ+QD1=2+x2+(1-x)2+2=(x-0)2+(0+2)2+(x-1)2+(0-2)2的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M，N，K共线时，BQ+QD1的长度取得最小

15、值，此时21-x=221=22得x=12，即Q是CC1的中点，建立以D1为坐标原点，D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图则Q（0，2，12），B1（2，2，0），设P（0，t，1），0t2则B1Q=（-2，0，12），B1P=（-2，t-2，1），则平面PQD1的法向量为m=（1，0，0），设平面B1PQ的法向量为n=（x，y，z），当t=2时，二面角B1PQD1的为直二面角，此时二面角B1PQD1的余弦值为0，当0t2时，由nB1Q=0nB1P=0，则-2x+12z=0-2x+(t-2)y+z=0，即z=22xy=22-tx，令x=2，则y=22-t，z4，即n=

16、（2，22-t，4），设面角B1PQD1的余弦值cos，则cos=mn|m|n|=22+16+4(2-t)2=218+4(t-2)2，0t2，cos=218+4(t-2)2为减函数，则当t0时，函数取得最大值cos=218+2=220=1010，故二面角B1PQD1的余弦值的取值范围为0，1010，故选：B二多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9（5分）已知函数f（x）=log3(x-2)，x2，3x-1，x2则（）Af（5）1Bf（f（5）1Cf（3）9Df（f（3）log37【解答】解：根据题意，函数f（x）=log3(x-2)，x2，3x-1，x2，依次分析选项：对于A，f（5）l

17、og3（52）log331，A正确；对于B，f（f（5）f（1）301，B正确；对于C，f（3）log3（32）log310，C错误；对于D，f（f（3）f（0）31=13，D错误；故选：AB10（5分）某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下22列联表男女合计爱好拳击352257不爱好拳击152843合计5050100经计算得K2=100(3528-1522)2505057436.895之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布N（175，16）和N（164，9），则下列选项中正确的是（）P（K2k）0.500.050.0100.0050.0

18、01k0.4553.8416.6357.89710.828A在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好拳击运动与性别有关”B在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击C男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16D女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为3【解答】解：K26.8956.635，A对，显然B错，男生标准差为4，C错，显然D对，故选：AD11（5分）Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等站式运动解决方案Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划小

19、吴根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是（）A月跑步里程逐月增加B月跑步里程最大值出现在10月C月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【解答】解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故A错误；月跑步里程最大值出现在10月，故B正确；月跑步里程中位数为5月份对应的里程数，故C正确；1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，故D正确故选：BCD12（5分）已知抛物线C：y24x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点

20、P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A若x1+x26则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M（0，1），则|PM|+|PP1|2D过点M（0，1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条【解答】解：若直线的斜率存在，设yk（x1），由y=k(x-1)y2=4x，联立解方程组k2x2（2k2+4）x+k20，x1+x2=2k2+4k2，x1x21，A，若x1+x26，则k21，故k1或1，|PQ|=1+1(x1+x2)2-4x1x2=242=8，故A正确；取PQ点中点M，M在l上的投影为N，Q在l上的投影为Q，根据抛物线的定义，|PP1|PM|，|QQ|

21、QM|，M，N为梯形的中点，故|MN|=12（|PP1|+|QQ|）=12|PQ|，故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|MP|+|PF|MF|=2，过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条故选：ABC三填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13（5分）已知平面向量m，n满足m=（3，2），n=（1，），若（m+2n）m，则实数的值为194【解答】解：平面向量m，n满足m=（3，2），n=（1，），若（m+2n）m，则（m+2n）m=（5，2+2）（3，2）15+（2）（22）0，实数=194，故答案为：19414（5分

22、）某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（）若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号；（）若开启2号或4号，则关闭1号；（）禁止同时关闭5号和1号现要开启3号，则同时开启的另两个阀门是4号5号【解答】解：因为开启三号，有（）可知开启4号，关闭2号，有（）知，4号开启，则关闭1号；有（）1号关闭，则5号开启，综上：开启4，号，5号，故答案为4，号，5号15（5分）在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCCD，ABBC1，BD=5，则三棱锥ABCD的体积为13，其外接球的表面积为6【解答】解：由题易得CD2；三棱锥ABCD的体积为V=13AB12BCCD=13；

23、取AD的中点O，连结OB、OCAB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，又BCCD，ABBCB，CD平面ABC，AC平面ABC，CDAC，OC是RtADC的斜边上的中线，OC=12AD同理可得：RtABD中，OB=12AD，OAOBOCOD=12AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上RtABD中，AB1且BD=5，可得AD=6，由此可得球O的半径R=62，三棱锥ABCD的外接球表面积为4R26故答案为：13，616（5分）已知函数f(x)=x2+2x+1，(x0)|lnx|，(x0)，若abcd，且f（a）f（b）f（c）f（d），则ab+cd的范围为1，2）【解答】解：作出f（x）

24、的图象可得2a1b0，a+b2，1ec1de所以f（c）|lnc|lnc，f（d）|lnd|lnd，所以lnclnd，即lnc+lndlncd0，所以cd1，所以ab+cd（b2）b+1b22b+1（b+1）2+2，因为1b0，所以ab+cd范围为1，2）：故答案为：1，2）四解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，（1）求角C的大小；（2）若c3，求a+b的取值范围【解答】解：（1）由sinC-sinAsinB-sinA=ba+c，则c-ab-a=ba+c，可得：a2+b2c2ab，所

25、以：cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12，而C（0，），故C=3（2）由a2+b2c2ab，且c3，可得：（a+b）22ab9ab，可得：(a+b)2-9=3ab3(a+b2)2，可得：（a+b）236，所以a+b6，又a+bc3，所以a+b的取值范围是（3，618（12分）已知数列an的前n项和Sn，且数列Snn是首项为1，公差为32的等差数列（1）求an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn13【解答】解：（1）由题意Snn=1+(n-1)32=32n-12，所以Sn=32n2-12n，当n1时，a1=S1=32-12=1；当n2时，a

26、n=Sn-Sn-1=(32n2-12n)-32(n-1)2-12(n-1)=3n-2；又因为a11适合上式，所以数列an的通项公式为an3n2（nN*）；（2）证明：由（1）得an3n2，可得bn=1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=13(13n-2-13n+1)，所以Tn=b1+b2+bn=13(1-14)+(14-17)+(13n-2-13n+1)=13(1-13n+1)，因为13n+10，所以Tn1319（12分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F1（1，0），椭圆经点(1，32)（1）求椭圆的方程；（2）直线l过椭圆右顶点B，交椭圆于另一

27、点A，点G在直线l上，且GOBGBO若GF1AF2，求直线l的斜率【解答】解：（1）由题意可得c1，F1（1，0），F2（1，0），又椭圆经点(1，32)，由椭圆的定义可得2a=(1+1)2+94+32=52+32=4，即a2，又b=a2-c2=4-1=3，则椭圆的方程为x24+y23=1；（2）B（2，0），由题意可得直线l的斜率存在，设为k，方程设为yk（x2），联立椭圆方程x24+y23=1可得（3+4k2）x216k2x+16k2120，判别式256k44（3+4k2）（16k212）1440，则2xA=16k2-123+4k2，即xA=8k2-63+4k2，yAk（xA2）=-123

28、+4k2，由点G在直线l上，且GOBGBO，可得|OG|BG|，即G在OB的垂直平分线上，可得G（1，k），又F1（1，0），F2（1，0），A（8k2-63+4k2，-123+4k2），GF1AF2，可得kGF1kAF2=-1，即k-2-123+4k2-9+4k23+4k2=-1，化为10k29，即k3101020（12分）如图，ABC为正三角形，半圆O以线段BC为直径，D是圆弧BC上的动点（不包括B，C点）平面ABC平面BCD（1）是否存在点D，使得BDAC？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由；（2）CBD30，求直线AC与平面ABD所成角的正弦值【解答】解：（1）D是圆弧BC上

29、的动点（不包括B，C点），假设存在点D，使得BDAC过点D作DEBC，平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBCDE平面ACB，AC平面ABC，DEAC，又DEBDD，AC平面BCD，而ACB60，得出矛盾假设不正确因此不存在点D，使得BDAC（2）设圆心为点O，连接OA，分别以OC，OA，为y轴作空间直角坐标系设OC1，O（0，0，0），A（0，0，3），B（0，1，0），D（32，12，0），C（0，1，0）BA=（0，1，3），BD=（32，32，0），CA=（0，1，3），设平面ABD的法向量为：n=（x，y，z），则nBA=nBD=0，y+3z0，32x+32y0，取n=（3，-

30、3，1），直线AC与平面ABD所成角的正弦值|cosn，CA|=|nCA|n|CA|=23132=391321（12分）某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地ABCD，经测量，边界CB与CD的长都为2km，所形成的角BCD60（1）如果边界AD与AB所形成的角BAD120，现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封闭的施工场地，求至多购买多少千米长度的板材；（2）当边界AD与CD垂直，AB与BC垂直时，为后期开发方便，拟在这块空地上先建两条内部道路AE，EF，如图（2）所示，点E在边界CD上，且道路EF与边界BC互相垂直，垂足为F为节约成本，欲将道路AE，EF分别建成水泥路、砂石路，每1k

31、m的建设费用分别为3a、a元（a为常数）；若设DAE，试用表示道路AE，EF建设的总费用F（）（单位：元），并求出总费用F（）的最小值【解答】解：（1）连接BD，如图所示：，易知BDC为等边三角形，则BD2，在ABD中，BAD=23，BD2，由余弦定理得：BD2AB2+AD22ABADcos120，即4AB2+AD2+ABAD（AB+AD）2ABAD由基本不等式得：4(AB+AD)2-(AB+AD)24=34(AB2+AD2)，AB+AD433，当且仅当ABAD时等号成立，钢板长度LAB+BC+CD+DA4+433，答：所用钢板长度的最大值为4+433km；（2）如图所示：，因为AD与CD垂直

32、，AB与BC垂直，则A，B，C，D四点共圆，且AC为直径，记直径为2R，在BCD中，CDCB2，BCD60，则BD2，BAD=23，由正弦定理得：BDsinBCD=2R，2RAC=43，在RtADC和RtABC中，则ADAB=AC2-CB2=233，在RtADE中，DAE，AD=233，则DE=233tan，AE=233cos，又CD2，则CECDDE2-233tan，在RtCEF中，BCD=3，则EF=32CE=3-tan，则y=3aAE+aEF=(2cos-tan)a+3a=(2-sincos+3)a，0，3)，所用总费用F（）=(2-sincos+3)a，0，3)，即f（）=2-sinc

33、os，0，3)，则f（）=-cos2-(2-sin)(-sin)cos2=-1+2sincos2，令f（）0，得=6，所以当0，6)时，f（）0，f（）单调递减；当6，3)时，f（）0，f（）单调递增，所以当=6时，f（）取最小值，此时f（）min23a，答：铺设的总费用的最小值为23a元22（12分）函数f（x）=12x2+（al）xxlnx，（1）若f（x）在定义域内为单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a3时，关于x的方程f（x）+b0在区间（1，e上有且只有一实数根，求b的取值范围【解答】解：（1）定义域（0，+），由题意可得，f（x）x+a2lnx0在（0，+）上恒成立，故a2+lnxx在（0，+）上恒成立，令g（x）2+lnxx，x0，则g（x）=1-xx，易得0x1时，g（x）0，g（x）单调递增，当x（1，+）时，函数单调递减，故g（x）maxg（1）1，所以a1；（2）a3时，f（x）=12x2+2xxlnx，f（x）x+1lnx，令h（x）x+1lnx，则h（x）1-1x=x-1x，易得，x（1，e时，h（x）0，函数h（x）单调递增，故h（x）h（1）2，即f（x）0恒成立，故f（x）在（1，e上单调递增，所以52=f（1）f（x）f（e）=12e2+2e-1，故52-b12e2+2e-1，所以12e-12e2b-52