江苏省苏州市高二下学期期末数学试卷(文科)-Word版含解析(DOC 15页).doc

1、2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1设集合A=x|x11，B=x|x3，则AB=2已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是3若双曲线的离心率为2，则a等于4函数的定义域为5函数f（x）=ex+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是6设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a6=0，则=7“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x3y2=0垂直”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）8已知cos（+）=，则sin（）的值是9求过两

2、点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x2y2=0上的圆的标准方程10已知函数f（x）=，若f（f（2）f（k），则实数k的取值范围为11已知经过点A（3，2）的直线与抛物线C：x2=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是12在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，sinC=2cosB，且a=4，则ABC的面积是13已知数列an的前n项和Sn=n2n（nN*），若存在正整数m，n，满足am24=4（Sn+10），则m+n的值是14若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是二.解答题15正方体ABCDA1B1C1D1中，点F为A1D的中点（1

3、）求证：A1B平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD平面AFC16已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为（1）求f（x）的解析式；（2）若sinf（）=，求的值17已知数列an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S52a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式；（）设Tn是数列的前n项和，是否存在kN*，使得等式12Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由18如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，

4、圆柱的高不小于圆柱的底面半径已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元（1）按下列要求写出函数关系式：设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；设SDO1=（rad），将y表示成的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值19如图，已知椭圆M： +=1（ab0）的离心率为，且经过过点P（2，1）（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=求x12+x22的值；设点B关于x轴的对称点

5、为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率20已知函数f（x）=excxc（c为常数，e是自然对数的底数），f（x）是函数y=f（x）的导函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当c1时，试求证：对任意的x0，不等式f（lnc+x）f（lncx）恒成立；函数y=f（x）有两个相异的零点2015-2016学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1设集合A=x|x11，B=x|x3，则AB=x|2x3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：x11，即

6、A=x|x2，B=x|x3，AB=x|2x3故答案为：x|2x32已知复数z=（i为虚数单位），则|z|的值是5【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解【解答】解：z=|z|=5故答案为：53若双曲线的离心率为2，则a等于1【考点】双曲线的简单性质【分析】先求出b2=3，再由离心率为，得到a的值【解答】解：由=1可知虚轴b=，而离心率e=，解得a=1故答案：14函数的定义域为1，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】首先由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式即可得到原函数的定义域【解答】解：由log2（2x1）0，得2x11

7、，解得x1所以原函数的定义域为1，+）故答案为1，+）5函数f（x）=ex+2x（e是自然对数的底数）的图象在点（0，1）处的切线方程是y=3x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可得到所求切线的方程【解答】解：函数f（x）=ex+2x的导数为f（x）=ex+2，可得f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为k=e0+2=3，即有图象在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1故答案为：y=3x+16设等比数列an的前n项和为Sn，若27a3a6=0，则=28【考点】等比数列的通项公式【分析】设出等比数列的

8、首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n项和得答案【解答】解：设等比数列an的首项为a1，公比为q，由27a3a6=0，得27a3a3q3=0，即q=3，=故答案为：287“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l2：（a+2）x3y2=0垂直”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先根据两直线垂直，求出a的值，即可判断【解答】解：直线l1：ax+y+1=0和l2：（a+2）x3y2=0垂直，a（a+2）3=0，解得a=3，或a=1，故实数“a=1”是“直线l1：ax+y+1=0，l

9、2：（a+2）x3y2=0垂直的充分不必要条件，故答案为：充分不必要8已知cos（+）=，则sin（）的值是【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用诱导公式化简所求，结合已知即可计算得解【解答】解：cos（+）=，sin（）=sin（+）=sin（）=sin（）=cos（+）=故答案为：9求过两点A（0，4），B（4，6）且圆心在直线x2y2=0上的圆的标准方程（x4）2+（y1）2=25【考点】圆的标准方程【分析】由圆心在直线x2y2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程【解答】解：由

10、于圆心在直线x2y2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得（2b+2）02+（b4）2=（2b+2）42+（b6）2，解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为=5，故所求的圆的方程为（x4）2+（y1）2=25，故答案为：（x4）2+（y1）2=2510已知函数f（x）=，若f（f（2）f（k），则实数k的取值范围为k4【考点】分段函数的应用【分析】求出f（f（2）的值，根据分段函数的表达式，解不等式即可得到结论【解答】解：f（2）=，f（4）=（41）2=32=9，则不等式等价为f（k）9，若k0，由，解得log，若k0，由（k1）29，解得2

11、k4，此时0k4，综上：k4，故答案为：k411已知经过点A（3，2）的直线与抛物线C：x2=8y在第二象限相切于点B，记抛物线C的焦点为F，则直线BF的斜率是【考点】抛物线的简单性质【分析】设B（m，）（m0），求得函数的导数，可得切线的斜率，再由两点的斜率公式，解方程可得m，即有B的坐标，运用两点的斜率公式计算即可得到所求值【解答】解：设B（m，）（m0），由y=的导数为y=，可得切线的斜率为，即有=，化为m2+6m16=0，解得m=8（2舍去），可得B（8，8），又F（0，2），则直线BF的斜率是=故答案为：12在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=，sinC=

12、2cosB，且a=4，则ABC的面积是8【考点】正弦定理；余弦定理【分析】利用两角和的正弦函数公式化简sinC=2cosB即可得出sinB，cosB，从而得出sinC，利用正弦定理求出b，代入面积公式即可得出三角形的面积【解答】解：cosA=，sinA=，sinC=sin（A+B）=2cosB，sinAcosB+cosAsinB=2cosB，cosB+sinB=2cosB，即sinB=2cosB，tanB=2sinB=，cosB=，sinC=2cosB=由正弦定理得：，即，b=2SABC=absinC=8故答案为：813已知数列an的前n项和Sn=n2n（nN*），若存在正整数m，n，满足am

13、24=4（Sn+10），则m+n的值是23【考点】数列的求和【分析】由已知数列的前n项和球星数列的首项和公差，然后将am24=4（Sn+10）整理成关于m，n的等式，在正整数的范围内求值【解答】解：数列an的前n项和Sn=n2n，所以数列为等差数列，首项为0，公差为2，所以am24=4（Sn+10），化简为（m1）2=n（n1）+11，m，n为正整数，经验证，当m=12，n=11时，等式成立，故m+n=23故答案为：2314若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【分析】用换元法，设=x， =y，则x0，y0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与

14、x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值【解答】解：设=x， =y，且x0，y0；b=x2，4ab=y2，即a=；a=+2可化为=y+2x，即（x4）2+（y2）2=20，其中x0，y0；又（x4）2+（y2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；a=表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；a的最大值是（2r）2=r2=20故答案为：20二.解答题15正方体ABCDA1B1C1D1中，点F为A1D的中点（1）求证：A1B平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD平面AFC【考点】平面与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（1）连接BD交AC于点O，连接FO，要证A1B平

15、面AFC，只需证明直线A1B平行平面AFC内的直线FO即可；（2）要证平面A1B1CD平面AFC，只需证明平面A1B1CD内的直线B1D垂直平面AFC即可【解答】证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点点F为A1D的中点，A1BFO又A1B平面AFC，FO平面AFC，A1B平面AFC（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接B1DACBD，ACBB1，AC平面B1BD，ACB1D又CD平面A1ADD1，AF平面A1ADD1，CDAF又AFA1D，AF平面A1B1CDACB1D，B1D平面AFC而B1D平面A1B1CD，平面A1B1CD平面AFC16已知函数f（x）=s

16、in（x+）（0，0）为偶函数，其图象上相邻的两个对称轴之间的距离为（1）求f（x）的解析式；（2）若sinf（）=，求的值【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；同角三角函数基本关系的运用【分析】（1）由周期求得=1，根据函数f（x）为偶函数，求得=，从而求得f（x）的解析式（2）由sinf（）=，求得 2sincos=，再利用两角差的正弦公式、二倍角公式化简要求的式子为2sincos，从而得出结论【解答】解：（1）由题意函数图象上相邻的两个对称轴之间的距离为，可得函数的周期为2=，求得=1再根据函数f（x）=sin（x+）（0，0）为偶函数，可得=k+，kz，=，f（x）=sin（x+

17、）=cosx（2）sinf（）=，即 sincos=平方可得 2sincos=，=2sincos=17已知数列an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S52a2=25，且a1，a4，a13恰为等比数列bn的前三项（）求数列an，bn的通项公式；（）设Tn是数列的前n项和，是否存在kN*，使得等式12Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出【解答】解：（）设等差数列an的公差为d（d0），解得a1=3，d=2，b1=a1=3，b2

18、=a4=9，（）由（I）可知：an=3+2（n1）=2n+1，=，单调递减，得，而，所以不存在kN*，使得等式成立18如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元（1）按下列要求写出函数关系式：设OO1=h（米），将y表示成h的函数关系式；设SDO1=（rad），将y表示成的函数关系式；（2）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值【考点】不等式的实际应用【分

19、析】（1）分别用h，表示出圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底面积，得出y关于h（或）的关系式；（2）求导数，判断函数的单调性，利用单调性求出最小值【解答】解：（1）当OO1=h时，SO1=8h，SC=，S圆柱底=42=16，S圆柱侧=24h=8h，S圆锥侧=4y=2（S圆柱底+S圆柱侧）+4S圆锥侧=32+16h+16（h4）若SDO1=，则SO1=4tan，SD=OO1=84tanOO14，0tan10S圆柱底=42=16，S圆柱侧=24（84tan）=6432tan，S圆锥侧=4=y=2（S圆柱底+S圆柱侧）+4S圆锥侧=32+12864tan+=160+64（）（2）选用y=160+64（）

20、，则y（）=640，y（）在（0，上是减函数，当时y取得最小值y（）=160+64=96+64制作该存储设备总费用的最小值为96+6419如图，已知椭圆M： +=1（ab0）的离心率为，且经过过点P（2，1）（1）求椭圆M的标准方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=求x12+x22的值；设点B关于x轴的对称点为C（点C，A不重合），试求直线AC的斜率【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；（2）运用直线的斜率公式，可得k1

21、k2=，两边平方，再由点A，B的坐标满足椭圆方程，化简整理即可得到所求值；由题意可得C（x2，y2），运用椭圆方程可得y12+y22=，配方可得（y1+y2）2=（3+4y1y2），（x1x2）2=62x1x2=6+8y1y2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值【解答】解：（1）由题意可得e=， +=1，a2b2=c2，解得a=，b=，可得椭圆标准方程为+=1；（2）由题意可得k1k2=，即为x12x22=16y12y22，又点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆M上异于顶点的任意两点，可得4y12=6x12，4y22=6x22，即有x12x22=（6x12）（6x22），化简可

22、得x12+x22=6；由题意可得C（x2，y2），由4y12=6x12，4y22=6x22，可得y12+y22=，由x12+x22=（x1x2）2+2x1x2=6，可得（x1x2）2=62x1x2，由y12+y22=（y1+y2）22y1y2=，可得（y1+y2）2=+2y1y2=（3+4y1y2），由=，即x1x2=4y1y2，可得（x1x2）2=62x1x2=6+8y1y2，则直线AC的斜率为kAC=20已知函数f（x）=excxc（c为常数，e是自然对数的底数），f（x）是函数y=f（x）的导函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当c1时，试求证：对任意的x0，不等式f（lnc+x）

23、f（lncx）恒成立；函数y=f（x）有两个相异的零点【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求得f（x）的导数，讨论c的范围：当c0时，当c0时，解不等式即可得到所求单调区间；（2）作差可得，f（lnc+x）f（lncx）=c（exex2x），设g（x）=exex2x，x0，求出导数g（x），运用基本不等式判断单调性，即可得证；求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，且为最小值，判断小于0，即可得证【解答】解：（1）函数f（x）=excxc的导数为f（x）=exc，当c0时，f（x）0恒成立，可得f（x）的增区间为R；当c0时，由f（x）0，可得xlnc；由（

24、x）0，可得xlnc可得f（x）的增区间为（lnc，+）；减区间为（，lnc）；（2）证明：f（lnc+x）f（lncx）=elnc+xc（lnc+x）celncx+c（lncx）+c=c（exex2x），设g（x）=exex2x，x0，g（x）=ex+ex2，由x0可得ex+ex222=0，即g（x）0，g（x）在（0，+）递增，可得g（x）g（0）=0，又c1，则c（exex2x）0，可得不等式f（lnc+x）f（lncx）恒成立；函数f（x）=excxc的导数为f（x）=exc，c1时，f（x）的增区间为（lnc，+）；减区间为（，lnc），可得x=lnc处f（x）取得极小值，且为最小值，由f（lnc）=elncclncc=cclncc=clnc0，可得f（x）=0有两个不等的实根则函数y=f（x）有两个相异的零点2016年8月2日