定积分的换元法和分部积分法解析课件.ppt

1、第三节 定积分的换元法和分部积分法内容提要一、定积分的换元法二、定积分分部积分法三、定积分的常用公式重点、难点：定积分的换元法和分部积分法教学方法：讲练结合教学手段：多媒体课件和面授相结合教学课时：6课时 指导思想：由牛顿莱布尼兹公式，求解 只要利用不定积分，先求出 的一个原函数 ，再求出 即可。我们知道，某些不定积分的求解过程还是很复杂或烦繁琐的，有必要找到一个简单一些的计算方法，定积分的换元法和分部积分法，就是在不定积分的换元法和分部积分法的基础上，简化了的计算方法。()baf x dx()f x()F x()()F bF a定理：设函数 在区间 上连续，变换 满足：（1）（2）在区间 上

2、，单调且有连续的导数，则有上式称为定积分的换元公式()f x,a b()xt(),()ab ,(,)或()t()()()baf x dxftt dt一、定积分的换元法证明：在 上连续 的原函数存在，设为 则有由牛顿莱布尼兹公式又 在 上单调，故 在 上有定义，且所以 也是 的一个原函数由牛顿莱布尼兹公式，有 因此 ()f x,a b()f x()F x()()F xf x()()()baf x dxF bF a()xt,()atb()ft,()()()()()FtFttftt()Ft()()ftt()()()ftt dtFt()()()()FFF bF a ()()()baf x dxftt

3、dt 例1、计算 解：设 ，则 当 时，当 时 ；当t从1变到2时，单调地从0变到3，于是由定积分的换元公式，得 301xdxx1xt21xt2dxtdt0 x 1t 3x 2t 21xt232011.21txdxtdttx2213212(1)2383tdttt 由例1可见，不定积分的换元法与定积分的换元法的区别在于：不定积分的换元法在求得关于新变量t的积分后，必须代回原变量x，而定积分的换元法在积分变量由x换成t的同时，其积分限也由 和 相应地换成 和 ，在完成关于变量t的积分后，直接用t的上下限 和 代入计算定积分的值，而不必代回原变量。xaxbtt例2、求解：设 当 时，；时，于是222

4、1dxx x secxt(0)2t sec.tandxttdt2x 3t2x 4t24223431sec.tansec.tan14312dxttdtttx xdt 例3、设 求解：设 则 当 时 ；当 时，于是 换元公式也可以反过来使用，即这时通常不写出中间变量t，而写作 注意这里积分上下限不作变换，计算更为简便。21()xxf xe 00 xx31(2)f xdx2xt(2)()f xf t(2)dxd tdt1x 1t 3x 1t 3101012111010013012()()()(1)11 33xxfxdxf t dtf t dtf t dtxdxe dxxxee()()()(),(),

5、(),abfxx dxf t dttxab其中()()()()bbaafxx dxfx dx例4 求解 可见，这种计算方法对应于不定积分的第一换元法，即凑微分法。210 xxedx22221111210000111112222xxxxxedxeedxee 二、定积分的分部积分法设u(x)和v(x)在区间a,b上有连续的导数，由微分运算法则，有 移项得 两边在区间a,b上积分，得因 或 上述公式称为定积分的分部积分公式。(),d u vudvvdu(),udvd u vvdu()bbbaaaudvd uvvdu,bbaad u vuv故,bbbaaaudvuvvdubbbaaau v dxuvv

6、u dx 例5 求 解 可见，定积分的分部积分法，本质上是先利用不定积分的分部积分法求出原函数，再用牛顿莱布尼兹公式求得结果，这两者的差别在于定积分经分部积分后，积出部分就代入上、下限，即积出一步代一步，不必等到最后一起代。0cosxxdx00000cossin =sin sin0 cos 2xxdxxdxxxxdxx 例6 求定积分 解 221lnxxdx32222323111111lnlnln(ln)333xxxdxxdxxxx dx223 211818187ln2ln2ln2333939x dxx例7 求定积分 解 先换元，设 则 dx=2udu,当u=0时，x=0,u=1时，x=1.于

7、是，10 xedx,xu1111000011100022222222xuuuuuuedxeuduue duudeuee duee三、定积分的几个常用公式1 设f(x)在关于原点对称的区间-a,a,上可积，则 （1）当f(x)为奇函数时，（2）当f(x)为偶函数时，证 由定积分的性质3，有 对积分 则dx=-dt,当x=-a 时，t=a,当x=0时t=0,于是从 从而 当 f(x)为奇函数时，f(-x)+f(x)=0,因此当 f(x)为偶函数时，f(-x)=f(x)，得()0;aaf x dx0()2()aaaf x dxf x dx00()()()aaaaf x dxf x dxf x dx0

8、(),af x dxxt 令0000()()()()(),aaaaf x dxftdtft dtfx dx0()()()aaaf x dxfxf x dx()0;aaf x dx0()2()aaaf x dxf x dx 例8 计算下列定积分 （1）（2）解 （1）因为f(x)=sin7x在 上为奇函数，所以 (2)在 中，令f(x)=，因为 f(-x)=722sin xdx441 cosxdxx,2 2 722sin0 xdx441 cosxdxx1cosxx()1 cos()xf xx 所以f(x)在 上为奇函数，于是,4 4 4401 cosxdxx2、设f(x)是以T为周期的周期函数，

9、且可积，则对任一实数a，有证 由定积分性质3，有对右边第三个积分，x=t+T,并注意到f(t+T)=f(t),得于是 0()()a TTaf x dxf x dx00()()()()a TTa TaaTf x dxf x dxf x dxf x dx,0,dxdtxTtxaTta则当时当时00()()(),a Taaaf x dxf tT dtf t dt0000()()()()()a TTaTaaf x dxf x dxf x dxf t dtf x dx 例9 求 解 函数sin2x 是以为周期的周期函数，故 11sin2xdx1010011sin2sin2sin2 cos2 022xdxxdxxdxx