定积分中值定理课件.ppt

1、第九章 定积分第一节 定积分的概念第二节 牛顿-莱布尼茨公式第三节 可积条件第四节 定积分的性质第五节 微积分学基本定理定积分计算（续）第一节 定积分概念一、问题提出二、定积分定义三、定积分几何意义四、小结abxyo?A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩

2、形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann 个分点，个分点，内插入若干内插入若干在区间在区间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx,1 iiixfA )(为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(

3、1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，

4、求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )(部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1（3）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干个个分分点点

5、bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，),2,1(i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i（iix ），），作作乘乘积积iixf)(),2,1(i并作和并作和iinixfS )(1，二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法，baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积分区间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎样的取法，怎样的取法，只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于确定的极限确定的极限I，我我们们

6、称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：（1）积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和）定义中区间的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）当函数）当函数)(xf在区间在区间,ba上的定积分存在时，上的定积分存在时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在区间在区间,ba上上可积可积.,0)(xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积,0)(xf baA

7、dxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 三、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)(例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1,0n等等分分，分分点点为为nixi，(ni,2,1)小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni,2,1)取取iix ，(ni,2,1)iinixf

8、 )(1 iinix 21,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 2 2 .证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limln例例设函数设函数)(xf在区间在区间1,0上连续，且取正值上连续，且取正值nnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1,0区区间间上上的的一一

9、个个积积分分和和分分割割是是将将1,0n等等分分分点为分点为nixi，（ni,2,1）nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim.10)(ln dxxfe因为因为)(xf在区间在区间1,0上连续，且上连续，且0)(xf所所以以)(lnxf在在1,0上上有有意意义义且且可可积积,五、小结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直

10、（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限定理定理 9.1 9.1 若函数若函数.第二节 牛顿莱布尼茨公式f在,ba上连续，且存在原函数F，即,),()(baxxfxF，则f在,ba上可积，且)()()(aFbFdxxfba这称为牛顿莱布尼茨公式，它也常写成|)()(xFbabadxxf（1）证：由定积分定义，任给0，要证存在,0当|T时，有|)()()(|1aFbFxfniii事实上，对于,ba的任一分割bxaxaTn,10在每个小区间,1iixx上对)(xF使用拉格朗日中值定理，则分别存在,2,1),(1nixxiii使得：niiixFxFaFbF11)()()()(nii

11、iniiixfxF11)()(因为在上连续，从而一致连续，所以对上述，存在0,0当,baxx、且|xx时，有：abxfxf|)()(|于是，当|Txi时，任取,1iiixx便有|ii，这就证得fb,a|)()()(|1aFbFxfniiiniiiixff1|)()(|niiiixff1|)()(|niixab1所以f上可积，且有公式（1）成立在b,a注1：在应用牛顿-莱布尼茨公式时，)(xF可由积分法求得。注2：定理条件尚可削减，例如：1）对F的要求可削减为：在上连续，在内可导，且,),()(baxxfxF2）对f的要求可削减为：在上可积。这时（2）式仍成立，且由f上可积，在b,ab,ab,a

12、b,a（2）式右边当0|T时的极限就是,)(badxxf而左边恒为一常数。例1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：bandxx)1（n为正整数）)0()22baxdxba2024)3dxxx例2 利用定积分求极限：Jnnnn)212111(lim解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形：nininnJ1111lim不难看出，其中的和式是函数xxf11)(在区间 1,0上的一个积分和（这里所取的是等分分割），nininininxii,2,1,1,1所以：2ln1|)1ln(1010 xxdxJ注：也可以把J看作xxf1)(在2,1 上的定积分，同样有：2ln1

13、3221xdxxdxJ第三节 可积条件一、可积的必要条件二、可积的充要条件三、可积函数类一、可积的必要条件定理9.2 若函数f在上可积，则f在上必定有界。证：（用反证法）。若f在,ba上无界，则对于,ba的任一分割T，必存在属于T的某个小区间在fk,k上无界，在ki 的各个小区间k上任意取定,i并记kiiixfG|)(|b,ab,a，使得：现对任意大的正数M，由于f在k上无界，故存在kkxGMf|)(|于是有：|)(|)(|1kkniiixfxfkiiixf|)(|MGxxGMkk这与f在,ba上可积相矛盾，从而定理得证。kk 注：任何可积函数一定是有界的，但有界函数却不一定可积。例1 证明狄

14、理克雷函数为无理数，为有理数xxxD0,1)(在 1,0上有界但不可积。二、可积的充要条件设niTi,2,1|为对,ba的任一分割，由f在,ba上有界，它在每个k上存在上、下确界：nixfmxfMiixixi,2,1),(inf),(sup作和niiiniiixmTsxMTS11)(,)(分别称为f关于分割T的上和与下和（统称达布和）定理9.3 （可积准则）函数f在,ba上可积的充要条件是：任给0，总存在相应的一个分割T，使得：)()(TsTS定理f在,ba上可积的任给0，总存在相应的一个 分割T，使得：TiixTsTS)()(3.9 函数充要条件是：三、可积函数类f在是区间定理9.6 若f定

15、理9.4 若f是,ba上的连续函数，则在,ba上可积。定理9.5 若f,ba上只有有限个间断点的有界函数，则f,ba上可积。是区间,ba上的单调函数，则f在,ba上可积。注：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性。例2 试用两种方法证明函数,2,1,111,10,0)(nnxnnxxf在区间1,0上可积。第四节 定积分的性质一、定积分的基本性质二、积分中值定理 babadxxfkdxxkf)()(k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)(badxxfk性质性质1 1 若若f在上可积，k为

16、常数，则kf在上也可积，且一、定积分的基本性质b,ab,a证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)(badxxg badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质2 2 若若gf、都在,ba上可积，则gf 在,ba上也可积，且性质性质3 3 若若gf、都在,ba上可积，则gf 在,ba上也可积。|)(|sup|,)(|sup,xgBxfAbaxbax证 由gf、都在,ba上可积，从而都有

17、界，设且A0,B0（否则gf、中至少有一个恒为零值函函数，于是gf、亦为零值函数，结论显然成立）任给0，由gf、可积，必分别存在,TT 使得TigiTifiAxBx2,2令TTT，对于,ba上T所属的每一个i有|)()()()(|sup,xgxfxgxfixxgfi|)()(|)(|)()(|)(|sup,xgxgxfxfxfxgixx gifiAB于是有：TigiTifiTigfixAxBxTigiTifixAxBAABB22故gf 在,ba上可积。注：在一般情形下bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.（定积分对于积分区间具

18、有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）性质性质4 4 f在,ba上可积的充要条件是：任给fbac),(在,ca与,bc上都可积，此时又有等式规定规定1 当当ba时，令0)(aadxxf规定规定2 当当ba时，令abbadxxfdxxf)()(badxxf)(.)()(bccadxxfdxxfcbacbcbbadxxfdxxfdxxf)()()(注：有了这个规定之后，等式对于cba、的任何大小顺序都成立，例如：当时，只要f在,ca上可积，则有则则0)(dxxfba.证证,0)(xf,0)(if),2,1(ni,0 ix,0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10

19、 .0)(badxxf性质性质5 5 设设f为,ba上的可积函数，若0)(xf,bax性质性质5 5的推论的推论1 1：证证),()(xgxf,0)()(xfxg,0)()(dxxfxgba,0)()(babadxxfdxxg于是于是 dxxfba)(dxxgba )(.则则dxxfba)(dxxgba )(.如 果如 果f与与g在 区 间在 区 间,ba上上 均均 可 积可 积 且且,),()(baxxgxf，dxxfba)(dxxfba )(.证证,)()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba)(dxxfba )(.说明：说明：可积性是显然

20、的可积性是显然的.|)(xf|在区间在区间,ba上的上的性质性质5 5的推论的推论2 2：（性质性质6 6）若f在,ba上可积，则上也可积，且|f在,ba注：这个性质的逆命题一般不成立，例如：为无理数，为有理数xxxf1,1)(在 10，上不可积，但，它在 10，上可积。例1 求11)(dxxf，其中10,01,12)(xexxxfx1|)x(f|例2 证明：若f在,ba上连续，且,0)(xfbadxxf0)(，则,0)(baxxf证 （反证法）倘若有某,0bax 使,0)(0 xf则有连续函数的局部保号性，存在0 x的某邻域),(00 xx，使在其中,02)()(0 xfxf于是：bxxxx

21、abadxxfdxxfdxxfdxxf0000)()()()(0)(02)(00000 xfdxxfxx这与假设0)(badxxf矛盾，所以,0)(baxxf注：从此例证明中看到，即使f为一非负可积函数，只要它在某一点0 x处连续，且0)(0 xf，则必有0)(badxxf如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则 证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知二、定积分中值定理）二、定积分中值定理）定理9.7至少存在,ba，使得)()(abfdxxfba在在区区间间,ba上上至至少少存存

22、在在一一个个点点 ，使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。定理9.8 （推广的第一积分中值定理）gf、都在,ba上连续，且)(xg在,ba上不变号，则至少存在一点若,ba，使得babadxxgfdxxgxf)()()()(注：事实上，定理9.7和9.8中值点必

23、能在开间),(ba内取得。思考题思考题 定积分性质中指出，若定积分性质中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可积，则上都可积，则)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上也可积。上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？这一性质之逆成立吗？为什么？思考题解答思考题解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可积积，不不能能断断言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可积积。为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxf0,1)(为无理数为无理数，为有理数为有理数xxxg1,0)(显然显然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1,0上可积，但上可积，但)(),(xg

24、xf在在1,0上都不可积。上都不可积。例例第五节 微积分学基本定理 定积分计算（续）一、变限积分与原函数的存在性二、换元积分法与分部积分法三、泰勒公式的积分型余项 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点，xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()(xadttfx变上限的定积分变上限的定积分 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，一、变限积分与原函数的存在性（

25、1）abxyo定理定理9.99.9 如果如果)(xf在在,ba上可积，则由（上可积，则由（1 1）式）式所定义的函数所定义的函数在在,ba上连续。上连续。积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证 对对)()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x,ba上任意确定的点x只要,baxx有：dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)(xxxdttf因f在,ba上有界，可设,|)(|batMtf于是|xxxdttf)(|)(|xMdttfxxx由此得到0lim0 x的任意性即证。由x定理定理9.109.10（原函数存在定理）（原函数存在定理）如果如果)(xf在在,b

26、a上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数.证证 对对,ba上任意确定的点x当,baxx时由第一积分中值定理得由第一积分中值定理得xf )(,xxx abxyoxx )(x x 定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系间的联系.).()(xfx xx,0),(fx )(limlim00 fxxx 的任意性即证。由x 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb

27、可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应

28、用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 2 2 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0)(xf.证明函数证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在),0(内为单调增内为单调增加函数加函数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数

29、.定理9.11 （积分第二中值定理）设函数f在,ba上可积，则有：（2）若函数g在,ba上增，且0)(xg，则存在,ba，使得bbadxxfbgdxxgxf)()()()(（1）若函数g在,ba上减，且0)(xg，则存在,ba，使得abadxxfagdxxgxf)()()()(推论：设函数 f在,ba上可积，若g为单调函数，则存在,ba，使得babadxxfbgdxxfagdxxgxf)()()()()()(定理定理9.12 9.12（定积分换元积分法）（定积分换元积分法）假设假设（1 1）)(xf在在,ba上连续；上连续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续

30、导导数数；（3 3）当）当t在区间在区间,上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a)(、b)(，则则 有有dtttfdxxfba )()()(.二、换元积分法与分部积分法证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()(dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a)(、b)(,)()()()(FF ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()(.)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元

31、公公式式仍仍成成立立.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.（2）用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量量t时时，积积分分限限也也相相应应的的改改变变.例例1 1 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x,0 t0 x,1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t.61,s

32、in xdxdt 例例2 2 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x,0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 例例3 3 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex.6 例4 计算1021)1ln(dxxxJ解 令21,

33、tanxdtdttx4040cossincosln)tan1ln(dttttdttJ40cos)4cos(2lndttt402lndt40)4cos(lndtt40coslntdttu4令，则有40)4cos(lndtt04)(coslnduu40coslntdt故：1021)1ln(dxxxJ402lndt2ln8例例 5 5 当当)(xf在在,aa 上上连连续续，且且有有 )(xf为为偶偶函函数数，则则 aaadxxfdxxf0)(2)(；)(xf为为奇奇函函数数，则则 aadxxf0)(.证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,0)(

34、adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0 奇函数奇函数例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积例例 7 7 若若)(xf在在1,0上连续，证

35、明上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算由此计算 02cos1sindxxxx.证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x,0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x,t x,0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxx

36、f 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv ,bababadxvudxvuuv .bababavduuvudv定理9.13、（定积分分部积分法）例例8 8 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv

37、210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .12312 则则例例9 9 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cos xv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1(nnInIn)

38、1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm ),2,1(m,2200 dxI,1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是于是导出沃利斯公式(Wallis)：121!)!12(!)!2(lim22mmmm事实上，由2012sinxdxm202sinxdxm2012sinxdxm得：!)!12(!)!2(mm2!)!2(!

39、)!12(mm!)!12(!)!22(mm由此又得2121!)!12(!)!2(2mmmAmmBmmm21!)!12(!)!2(2因为mmAB0)12(21!)!12(!)!2(2mmmm)(0212mm所以0)(limmmmAB进而2limmmA三、泰勒公式的积分型余项若在,ba上)(,)(xvxu有1n阶连续导数，则有：)()()()()()()1()()1(xvxuxvxudxxvxunnbanbannbanndxxvxuxvxu)()()()()()1()1(1)(),2,1(n续导数，令设函数f在点0 x的某邻域)(0 xU内有1n阶连,),()(,)()(),(00 xxttfxv

40、txtuxUxn于是：)()()()()()()1(1)()1(0tftxntftxdttftxnnnnxxnnxxxxdttftfn00)(0)(!)(!)()()(!)(!00)(000nnxxnxfxxxfxfnxfn)(!xRnn由此求得xxnnndttxtfnxR0)(!1)()1(积分型余项利用推广的积分第一中值定理可得：xxnnndttxfnxR0)()(!1)()1(10)1()()!1(1nnxxfn10),(00 xxx拉格朗日型余项)()(!1)(0)1(xxxfnxRnnn10),(00 xxx10)()1)(!11000)1(nnnxxxxxfn柯西型余项特别00 x10)1)(!1)(1)1(nnnnxxfnxR