子式与代数余子式课件.ppt

1、 容易验证,对3阶行列式有:这就把3阶行列式计算转化为较简单的2阶行列式计算.(下面用行列式的性质证明)n(1)阶行列式的计算都阶行列式的计算都可归结为较低阶数的行列式的计算可归结为较低阶数的行列式的计算.(这些结果,不仅能简化行列式计算简化行列式计算,更重要的是在理论上的作用理论上的作用)先引进子式与代数余子式概念.111213222312131213212223112131323332332223313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 定义定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行k列,则位于这些行列的相交处的元素构成的k阶行列式被称为行列式D的一个k阶子式.例例1 在

2、4阶行列式D=中,取定第2,3行与第1,4列后,这些行列相交处的元素构成D的一个2阶子式:M=.11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa21243134aaaa定义定义2 n(1)阶行列式D=的某一元素aij的余子式Mij是指D中划去ai所在行与列后剩下的n1阶子式.111111.jniijinnnjnnaaaaaaaaa例例2 例1的4阶行列式中,元素a23的余子式是:M23=定义定义3 n阶行列式D的元素aij的余子式Mij附上符号(1)i+j后,被称为元素aij的代数余子式.元素元素aij的代数余子式用符号的代数余子式用符号Aij表

3、示为表示为:Aij=(1)i+j Mij.111214313234414244aaaaaaaaa例例3 例1中的4阶行列式D的元素a23的代数余子式:A23=(1)2+3M23=M23=.下面考察一个特殊情形:n阶行列式某行阶行列式某行(列列)的元素最多有一不为的元素最多有一不为零的情形零的情形.111214313234414244aaaaaaaaa定理定理3.4.1 若在一个行列式 D=中,第i行(或第j列)的元素除aij外全为零,则:D=aijAij (这个行列式等于aij与其代数余子式的乘积).111111.jniijinnnjnnaaaaaaaaa证:(只对行证)先假定D的第1行的元素

4、除a11外全为零,即:D=,要证:D=a11A11=a11(1)1+1M11=a11M11.1121222120.0.nnnnnaaaaaaa也就是说:D=a11 ,子式的每项都可写作:aa.a,其中j2,j3,.,jn是n1个数码2,3,.,n的一个排列.注意项与元素a11的乘积:a11aa.a.该乘积的元素位于D的不同行与不同列上,是D的一项.222323233323.nnnnnnaaaaaaaaa 反之,由于行列式D的每项都含有第1行的一个元素,而第1行元素除a11外全为零,D的每项都可写成的形式.就是说,D的每项都是a11与其子式M11的某项的乘积,D与a11M11有相同的项.乘积在D

5、中的符号是:2 32 3(1.)(.)(1)(1)nnj jjj jj 另外,乘积在a11M11中的符号就是在M11中的符号.由于乘积的元素位于D的第2,3,.,n行与第j2,j3,.,jn列,所以它位于M11的第1,2,.,n1行与第j2 1,j3 1,.,jn1列,而且在M11中的符号应该是(1).显然,(j2,j3,.,jn)=(j21,j31,.,jn1).这样,乘积在a11M11中的符号与在D中的符号相同,有:D=a11M11.考察一般情形.设D=,然后变动行列式D的行列,使aij位于第1行与第1列,且保持aij的余子式不变.111,111,111,1,1.0.00.0.jjjnij

6、nn jnjn jnnaaaaaaaaaaa 这就需要把D的第i行依次与第i1,i2,.,2,1行交换,共交换i1次,从而把D的第i行换到了第1行.同理,将第j列依次与第j1,j2,.,2,1列交换,共交换j1次,最后把aij换到第1行第1列的位置.此时,D已变成如下形式的行列式D1:由于D1是经过(i1)+(j1)次换行换列的步骤所得,由命题3.3.3(交换行列式两行或两列,行列式变号),有:D=(1)(i1)+(j1)D1=(1)i+j D1.1111,11,111,1,11,11,11,11,1,11,11,11,1,1,10.00.0.ijjjjnijiijijinijiijijinn

7、jnn jn jnnaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaa 在D1中,aij在第1行第1列的位置,且第1行的其它元素全为零,由本证明的结论,有:因此,D=(1)i+j D1=(1)i+j aijMij=aij(1)i+jMij=aijAij,定理得证.(对于一般行列式,有如下定理)111,11,111,11,11,11,11,1!,1!,11,1,1,1.ijniijijinijijijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaDaa Maaaaaaaa定理定理3.4.2 行列式D等于它任一行(列)的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.也就是说:行列式有依行或依列的展开式:D

8、=ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin (i=1,2,.,n);D=a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj (i=1,2,.,n).在证明之前,先注意以下事实:设 是两个n阶行列式,除了第i行以外,它们的其余行全相同,则D1的第i行的元素与D2的第i行的对应元素有相同的代数余子式,即:11121111211212121212.,.nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaDDaaabbbaaaaaa 划去D1的第i行第j列后所得n1阶行列式=划去D2的第i行第j列后所得n1阶行列式,即:aij的余子式=bij的余子式,而它们的代数余子式符号都由i+j确定,从而有:aij的代

9、数余子式=bij的代数余子式.上述结论显然也适合于列的情形.证证:(只证行的情形,即公式)先将行列式D写成:就是把D的第i行的每个元素都写成n项的和,由命题3.3.9,D等于如下的n个行列式之和:111211212.0.000.0.0.0.niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211212121112112.0.00.0.00.nniinnnnnnnnninnnnnaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaa 等式右边n个行列式的每一个,除了第i行外,其余的对应行都相同.每个行列式的第i行的元素的代数余子式 与D的第i行对应元素的代数余子式相同,由Th3.4.1,得到式.下页定

10、理3.4.3在某种意义下与上一定理是平行的.定理定理3.4.3 行列式 的某一行(列)的 元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零,就是说:ai1Aj1+ai2Aj2+.+ainAjn=0 (ij);a1sA1t+a2sA2t+.+ansAnt=0 (st).11121121212.niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa证:(只证式)考虑行列式:111211211212.niiiniiinnnnnaaaaaaDaaaaaa第i行第j行 由于D1的第i行与第j行完全相同,有D1=0.另外,D1与D仅有第j行不同,D1的第j行的元素的代数余子式与D的第j行对应元素的代数

11、余子式相同.将D1依第j行展开,得:D1=ai1Aj1+ai2Aj2+.+ainAjn,ai1Aj1+ai2Aj2+.+ainAjn=0.注意:Th3.4.2虽把n阶行列式归结为n1阶行列式的计算(降阶),但在行列式某行(列)元素全不为零时,按此方法并不减少计算量.所以,一般总在行列式某行(列)含较多零时应用Th3.4.2,简化计算的效果才明显.实际上,我们总是先用行列式性质,把行列式的某行(列)化成仅含一个非零元素的行(列),再用Th3.4.1,计算方可简化.例例4 计算4阶行列式:为了叙述简便为了叙述简便,用记号用记号:(i)(j)(ij):互换行列式的第互换行列式的第i行行(列列)与第与

12、第j行行(列列).(i)k(j)(i kj):行列式的第行列式的第i行行(列列)用第用第j行行(列列)的的k 倍来倍来.c(i)(ci):行列式的第行列式的第i行行(列列)乘以非零的数乘以非零的数c.3112513420111533D1 234 33.4.13 32 13.4.11 3511151111131:1(1)111100105505530511626201(1)4055550ThThD 根据根据解例例5 计算n阶行列式:122110.0001.0000.00.000.1.nnnnxxxxaaaaxa 解:依第1列展开,1232110.0001.00.000.1.nnnnxxxxaaa

13、axa 110.001.00(1)0.00.00.1nnxaxx 注意到,右边的第1个n1阶行列式与n形式相同,记作n1;第2个n1阶行列式等于(1)n1.所以有递归式:n=xn1+an(对n2都成立).n=xn1+an=x(xn2+an1)n1+an =x2 n2+an1x+an=.=xn1 1+a2 xn2+.+an1x+an.而,1=|x+a1|=x+a1.最后得结果:n=xn+a1 xn1+a2 xn2+.+an1x+an.(类似上例类似上例,计算行列式归结为计算形式相同而阶数较低的行计算行列式归结为计算形式相同而阶数较低的行列式的方法是很常用的列式的方法是很常用的,再用此法计算一个数

14、学多数学科常再用此法计算一个数学多数学科常用的行列式用的行列式)例例6 计算n阶Vandermonde(范得蒙)行列式:12222121111211.1.nnnnnnnaaaDaaaaaa 解解:由最后1行开始,每行减去它的相邻的前一行乘以a1,得:2131122133112222213311111.10.0()().().0()().()nnnnnnnnnaaaaaaDa aaa aaa aaaaaaaaaaa提出每列的公因子,得:213113.4.122133112222213311.()().().()().()nThnnnnnnnnaaaaaaa aaa aaa aaDaaaaaaaaa由2322221311232222311.1.()().().nnnnnnnnaaaDaaaaaaaaaaaa 上式右边有一个n1阶范得蒙行列式.记之Dn1.Dn=(a2a1)(a3a1).(ana1)Dn1.同理:Dn1=(a3a2)(a4a2).(ana2)Dn2.最后得:Dn=(a2a1)(a3a1).(ana1)(a3a2)(a4a2).(ana2).(anan1).