北师大版五下数学第1单元知识拓展：埃及分数.doc

1、埃及分数埃及分数 分数，连小学生都知道，例如 1/2，3/5。可是你是否知道，还有 一种单分子分数， 即分子为 1，分母为任意数。这种分数叫埃及分数， 或者叫单分子分数。 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。人们在考察古埃 及历史时注意到,象阿基米德这样的数学巨匠，居然也研究过埃及分 数。本世纪一些最伟大的数学家也研究埃及分数，例如，沃而夫数学 奖得主保罗-欧德斯，他提出了著名的猜想 4/n=1/x+1/y+1/z. 难倒 了世界上第一流的数学家。当 9 个面包要平均分给 10 个人的时候， 古埃及人不知道每个人可以取得 9/10，而是说每人 1/3，1/4，1/5， 1/12，1/30

2、。真叫人难以想象，你连 9/10 都搞不清楚，怎么知道 9/10=1/3+1/4+1/5+1/12+1/30。所以几千年来，数学史学家一直坚持 认为，古埃及人不会使用分数。 1858 年，苏格兰考古学家莱登买到了一份古埃及草纸文件，经过 鉴定这是繁生于尼罗河泛滥形成的池塘和沼泽地里的草制成的纸， 成 文年代约在公元前 1700 年。 那么， 古埃及的人们， 是怎么算的呢？首先把 2 个物品分成 4 个 1/2，先给每个人 1 个 1/2，剩下的 1 个 1/2 再分成 3 等份，均分 结果，每人分到 1/2 加 1/2 的 1/3，也就是 1/2 + 1/6 = 2/3。这 份至今保存在大英博

3、物馆的“莱登”草纸， 用很大的篇幅记载着将真 分数分解成单分子分。这种运算方式，遭到现代数学家的纷纷责难， 认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平， 其分数运算之 繁杂也是原因之一。 埃及金字塔是举世闻名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和 超凡的智力， 难道最简单的现代分数也不懂？金子塔所蕴含的难道是 一篇粗劣的作品？ 现代数学已经发展到十分抽象和复杂的程度，而埃及分数却是这 样粗糙，在人们的记忆里早该烟消云散了，然而，它产生的问题直到 今天仍然引起人们的重视。 四川大学已故老校长柯召写道：“埃及分数所产生的问题，有的 已成为至今尚未解决的难题和猜想，他们难住了许多当代数学家”。 柯

4、召本人至死都没有能够证明这个猜想。 一个古老的传说是： 老人弥留之际， 将家中 11 匹马分给 3 个儿子， 老大 1/2， 老二 1/4， 老三 1/6。 二分之一是 5 匹半马， 总不能把马杀了吧？正在无奈之际， 邻居把自己家的马牵来， 老大二分之一， 牵走了 6 匹； 老二四分之一， 牵走了 3 匹；老三六分之一，牵走了 2 匹。一共 11 匹，分完后，邻 居把自己的马牵了回去。即 11/12=1/2+1/4+1/6。 奇妙的埃及分数终于调动自己的潜在难度，击败了敢于轻视他们 的人们，并且给与嘲笑他的人以难堪的回答。 两千多年后的数学家终于发现： 2/n=1/(n+1)/2+1/(n+1

5、)n/2； 1/n=1/(n+1)+1/n(n+1)；1=1/2+1/3+1/6，此时才大梦初醒。埃及 分数以旺盛的生命力屹立在世界数坛， 使三千年后的数学家也自叹弗 如。例如，分马问题，能否设计出（n-1)/n=1/x+1/y+1/z .。经过 2000 多年的努力，终于揭开其中的噢秘：有 6 种可能，共 7 种分法。 7/8=1/2+1/4+1/8；11/12=1/2+1/4+1/6=1/2+1/3+1/12； 17/18=1/2+1/3+1/9 ； 19/20=1/2+1/4+1/5 ； 23/24=1/2+1/3+1/8 ； 41/42=1/2+1/3+1/7。原先人们以为，这样的情况

6、大概有无穷多个， 可是，继续追击却一无所获，真是难以预料。黑龙江的关春河发现共 有 43 种情况。这是正确的。 当限定分母为奇数时，把“1”分解为埃及分数，项数限定为 9 项，共有 5 组解： 1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231。 1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395。 1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693。 1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315。 1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385。 以上 5 组解是在 1976 年才找到。 限定为 11 项时，发现了 1 组解，最小分母是 105，若大于 105 则 有很多的解。 埃及分数成为不定方程中一颗耀眼的明珠。