一元二次方程的定义和解法课件.ppt

1、 一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法 本章知识结构框图本章知识结构框图一元二次方程一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的定义定义定义一般形式一般形式一元二次方程的解一元二次方程的解解法解法直接开平方法直接开平方法配方法配方法因式分解法因式分解法公式法公式法求根公式求根公式根的判别式根的判别式根的情况根的情况二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解实际问题实际问题应用应用推导推导一一 .一元二次方程的概念一元二次方程的概念知识点知识点1 .定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程叫做整式方程叫做一元二次方程一元二次方程。说

2、明：说明：判断一个方程是否是一元二次方程时，判断一个方程是否是一元二次方程时，先先要观察其是否属于要观察其是否属于整式方程整式方程，再再看其看其整理合并后整理合并后是否符合：是否符合：只含只含一一个未知数，个未知数，未知数的最未知数的最高次数是高次数是2.例题例题1：下列式子中哪些不是一元二次方程？并说明理由下列式子中哪些不是一元二次方程？并说明理由0122xyxxxx2)2)(2(1)1)(2(yy0122 xx1322xx123yx012bxaxyyx2122（1）（2）（3）（4）（8）（7）（6）（5）（a,b为已知数）为已知数）例题例题2：032)1(1xxmm当当m取何值时，方程取

3、何值时，方程 是一元二次方程是一元二次方程.知识点知识点2 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式：1522xx0)2(22bbaxax)0(02acbxax)1(222xx说明：说明：（1）a0是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分；是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分；（2）任何一个一元二次方程经过任何一个一元二次方程经过整理（去分母，去括号，整理（去分母，去括号，移项，合并同类项）移项，合并同类项）都可化为一般形式，我们说一元二次方都可化为一般形式，我们说一元二次方程的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项都程的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项都是对化为

4、一般形式以后而言的；是对化为一般形式以后而言的；（3）注意区分注意区分二次项二次项和和二次项系数二次项系数，一次项一次项和和一次项系数一次项系数，它们都包含前面的符号。它们都包含前面的符号。例题例题3：将下列关于将下列关于x的一元二次方程化为一般形式，再说出方程中的一元二次方程化为一般形式，再说出方程中的各项与各项系数。的各项与各项系数。（1）（2）（3）（4）)32(3)551(52xxxx32222,213322x3,3 知识点知识点3：一元二次方程的解（一元二次方程的解（根根）：）：能使一元二次方程左，能使一元二次方程左，右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解右两边都相等的未知数

5、的值，称为一元二次方程的解（根根）。说明：说明：一元二次方程的解类同与一元一次方程的解，通常把未知一元二次方程的解类同与一元一次方程的解，通常把未知数的值代入方程，若是方程的解即可使等式成立。数的值代入方程，若是方程的解即可使等式成立。例题例题1:判断方程后面括号里的数是否是方程的解：判断方程后面括号里的数是否是方程的解：（2）（1）例题例题2:是不是一元二次方程是不是一元二次方程 的根。的根。xxx432221,2,3例题例题3:关于关于x的一元二次方程的一元二次方程有一个根是有一个根是0，求，求的值。的值。04322222mxmxm13422 mmxx332yy3220132 xyy212

6、xx试一试，你一定可以！试一试，你一定可以！一.基础练习基础练习1.一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是。2.下列方程中是一元二次方程的是。下列方程中是一元二次方程的是。022axax（a 为实数为实数）3.一元二次方程一元二次方程 的二次项系数，一的二次项系数，一次项系数，常数项分别是。次项系数，常数项分别是。0322222xx4。已知一个一元二次方程的两个根分别是已知一个一元二次方程的两个根分别是2，-5，那么这个方，那么这个方程是。程是。5.当当m 值时，值时，是一元二次方程？是一元二次方程？0232mxmxxxx 26322xx133722xxx二二.能力提升能力提升6.将

7、下列方程化为一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，将下列方程化为一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，常数项。常数项。（1）（6）（3）（2）（4）（5）8.已知关于已知关于x的方程的方程 各项系数的各项系数的和等于和等于5，求，求m的值的值322y022xx02312xxxx0232mmxx9.写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1，它的二，它的二次项系数为次项系数为2，并说明有一个根为，并说明有一个根为-1一元二次方程具有什么特一元二次方程具有什么特征。征。7.如果如果2是一元二次方程是一元二次方程 的一个根，那么的一个根，那么常数常数

8、b的值为。的值为。022bxx二二.一元二次方程的解法一元二次方程的解法知识点知识点1 直接开平方法直接开平方法如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合适合 形式求解。形式求解。说明：说明：直接开平方法的理论依据是平方根的定义及其性质，直接开直接开平方法的理论依据是平方根的定义及其性质，直接开平方法适用于解平方法适用于解 形如形如 的方程的方程；)0(2kkx)0(2kkhx形如形如 的一元二次方程。的一元二

9、次方程。)0(2kkhx例题例题1：用直接开平方法解下列方程。用直接开平方法解下列方程。（1）（2）（3）0162x9242x43212x（4）5322x073xx36132 xx 0112xxx06232yy知识点知识点2 因式分解法因式分解法1.因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法方法叫做因式分解法3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程右边化为将方程右边化为0；（2）将方程左边的二次三项式分解成两将方程左边的二次三项式分解成两个一次因式的乘积；个一

10、次因式的乘积；（3）令每一个一次因式分别等于令每一个一次因式分别等于0，得到，得到两两个一元一次方程个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。是原方程的根。例题：例题：用因式分解法解下列方程。用因式分解法解下列方程。2.因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于0，则这两个因，则这两个因式中至少有一个等于式中至少有一个等于0，将一元二次方程分解成，将一元二次方程分解成A B=0,则则A=0或或B=0。0)1(1222xx042222mnmxx1.3.5.2.6.4.2222bababa)

11、0(02acbxaxkhx2知识点知识点3 配方法配方法1.定义：先把方程中的常数项移到方程的右边，把左边配成完全平方式，然后用定义：先把方程中的常数项移到方程的右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法。直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫做配方法。2.配方法的理论依据是完全平方公式配方法的理论依据是完全平方公式：3.用配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程 的一般步骤：的一般步骤：（1）把二次项系数化为把二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；：方程两边同时除以二次项系数；（2）移项：把常数项移到方程右边；移项：把常数项移到方程右边；（

12、3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为程化为的形式；的形式；（4）当当k0时，用直接开平方的方法解。时，用直接开平方的方法解。例题：例题：用配方法解下列方程：用配方法解下列方程：（1）（2）（3）（4）142xx08632 xx031562 xx)0(02acbxax1.一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是)0(02acbxax它的求根公式是它的求根公式是 ，aacbbx242根的判别式是根的判别式是=acb42时时 方程有方程有的实数根；的实数根；时时 方程有方程有的实数根；的实数根；时时 方程方程实数根。实数根

13、。0 0=0=0 0 02.用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程化为一般形式；把一元二次方程化为一般形式；（2）确定确定a,b,c的值；的值；（3）求出求出的值；的值；（4）若若0，方程有两个根，写出两根；，方程有两个根，写出两根；若若00，则方程无解。，则方程无解。0372xxxx 36208121212xx05.0312 xx例题：例题：用公式法解下列方程。用公式法解下列方程。（2）（4）（3）（1）a=1,b=7,c=3=原方程变形为原方程变形为：原方程变形为原方程变形为：原方程变形为原方程变形为：37314720362 xx01442

14、 xx03622 xx=a=4,b=4,c=-1a=2,b=-6,c=-3a=6,b=-1,c=-37336412321444260324)6(22377 x33771x23772x127311x127312x22142324x2211x2212x215322606x21531x21532x试一试，你一定可以试一试，你一定可以！5494292yy221225134xx0438312xx043xx用适当的方法解下列方程：用适当的方法解下列方程：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：（1）（3）（2）（4）3571y3572y471x1632x21x62x41x32x01662 xx0151122 xx07232 xx（5）622xxxx22222692xx122322 xx2432 xx0242 xx06042 xx（13）（7）（9）（11）（12）（10）（8）（6）（14）解答略解答略