内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三下学期二模考试理科数学试卷+答案.pdf

1、呼和浩特市 2023 届高三年级第二次质量普查考试理科数学参考答案一、选择题题号123456答案一、选择题题号123456答案BCBCAD题号789101112答案题号789101112答案DBADAA二、填空题题号13141516答案二、填空题题号13141516答案2172606三、解答题三、解答题17.（1）证明：5,4,3ABBCAC，则,222ABBCAC,所以BCAC，又因为ABCCC平面1,且ABCAC平面，则1CCAC.(2 分)所以11BBCCAC平面，又因为111BBCCBC平面，所以1BCAC，.(4 分)由于四边形11BBCC为正方形，所以CBBC11，所以11ACBB

2、C平面.(5 分)（2）由（1）知，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系，可知)0,0,0(C，)4,0,3(1A，)0,2,23(D，)4,4,0(1B,)0,2,23(CD，)4,0,3(1CA,设),(1111zyxn 为平面CDA1的法向量，所以0223111yxCDn，0431111zxCAn，令41x，可得)3,3,4(1n.(7 分),(2222zyxn 为平面CDB1的法向量，所以0223222yxCDn，0442212zyCBn，令42x，可得)3,3,4(2n.(9 分)所以1783416,cos212121nnnnnn，.(11 分)又因为

3、二面角11BCDA为锐角，所以178cos.(12 分)18、解：（1）由正弦定理2 3sinsin(sin)sin3bBcCbCaA可化为222 3(sin)3bcbCa a，即2222 3sin3bcaabC，(2 分)则由余弦定理可得2 32cossin3bcAabC，所以3sincossinsin.3CAAC(3 分)又(0,)C，sin0C，所以3cossin3AA，即tan3.A(5 分)又(0,)A，所以.3A(6 分)（2）由正弦定理可得：22sinsin3aB，解得3a，2sin2B，(8 分)ba，B为锐角，.4B(9 分)在ACB中，53412C，AD是ABC的内角平分线

4、，6CAD，(10 分)5512612ADC，(11 分)2.ADAC(12 分)19.解：（1）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2,103)2(,106)1(,101)0(3513223523123533CCCXPCCCXPCCXP随机变量 X 的分布列如下表：X012P101106103（3 分）随机变量 X 的期望为 E(X)=56103210611010（5 分）法二：随机变量 X 服从超几何分布)5,2,3(HX（2 分）所以 E(X)=56523.（5 分）（2）设脱落一个“学”为事件 A，脱落一个“好”为事件 B，脱落一个“数”为事件 C，事件 M 为脱落两个字，BCACAB

5、BBAAM,（7 分）,101)(,101)(25222522CCBBPCCAAP,102)(,102)(,104)(251112251122251212CCCBCPCCCACPCCCABP（10 分）所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为,5321545121)()()(1)()(BCPACPABPBBPAAPP（12 分）法二：掉下的两个字不同的概率为8.010210P,（10 分）所以标语恢复原样的概率为6.0211pp）（.（12 分）20.解：（1）（xaxaxexexaxexexxxxxcossincossin)4sin(2cossin)()cos)(sin()(fxxae

6、xx即(2 分）因为1a，所以0aex在),0(上成立.（3 分）令0)(xf得43x，（4 分）当430 x 时，0)(xf，)(xf在43,0上为增函数，当x43时，0)(xf，)(xf在,43上为减函数.5（分）（2）当1a时，.,0),4cos(2sin)(xxaxexfx由（1）得)(xf在4,0单调递增，在,4单调递减，1)0(f，1)(f（7 分）所以1)()(fxf，即.1)4cos(2sinxxex即.1sincossinxxxex即.1cossinsinxxxex（9 分）要证1cossin)(xxxex，只需证xexexxsin)(，只需证0)sin(xxex在,0上恒成

7、立.（10 分）令xxxsin)(h，则0cos1)(hxx，所以)(h x单调递减，所以0sin)()(hminhx，所以0)(hx恒成立，所以0)sin(xxex，原不等式得证.（12 分）21解：（1）在椭圆中，2222cab，所以2c，(2 分)由22p，得2 2.p(4 分)（2）设直线 l：2pxmy，代入抛物线方程得2220.ympyp(5 分)设 AB 的中点00(,)G xy，则0ymp，202pxm p，由22OGMNbkka 得221()422mpmpm p ，解得212m，(7 分)由点 G 在椭圆内，得222()()2142pm pmp，解得22p，(9 分)因为pN

8、，所以 p 值是 1，(10 分)OAB面积22216|442244ABppSyyp mp(12 分)22解：（1）将曲线1C的参数方程化为普通方程，得22(3)8.xy曲线2C的极坐标方程为2sin6cos0，有22sin6cos0，由sincosyx得曲线2C的直角坐标方程为26.yx(5 分)（2）将tytx23213（t 为参数）代入曲线2C的方程得，)213(6)23(2tt，即24240.tt解得两根为122 7t，222 7t，由 t 的几何意义得，1212|4 7.PQtttt同理将tytx23213（t 为参数）代入曲线1C的方程得，28t，解得两根为32 2t，434342 2.|4 2.tMNtttt 故|4 742.PMNQPQMN(10 分)23解：（1）由题意知()f x14.,4111,4414,.4x xxx x 令()3f x，得34x 或34，结合图象可知()3f x 的解集为33|44xx(5 分)（2）由题意可知2121abab，4121121ab ，41221ab令2ma，1nb，则412mn，14114133()()3(5)3(54)32222nmabmnmnmnmn，当且仅当23mn，即1a，12b 时等号成立.(10 分)