平面向量及其应用经典试题(含答案)(DOC 28页).doc

1、一、多选题1下列说法中正确的是（ ）A对于向量，有B向量，能作为所在平面内的一组基底C设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件D在中，设是边上一点，且满足，则2在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，且，则（ ）ABCD3在中，内角，所对的边分别为，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ）AB若，则C，其中为外接圆的半径D若为非直角三角形，则4在中，内角所对的边分别为.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）ABCD5在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）AB60，c4，b5，有两解BB60，c4，b3.9，有一解CB

2、60，c4，b3，有一解DB60，c4，b2，无解6在中，若，则C的值可以是（ ）A30B60C120D1507中，面积，则边（ ）ABCD8在中，角，所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）AB是钝角三角形C的最大内角是最小内角的倍D若，则外接圆半径为 9在ABC中,若,则ABC的形状可能为( )A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形10有下列说法，其中错误的说法为（ ）A若，则B若，则是三角形的垂心C两个非零向量，若，则与共线且反向D若，则存在唯一实数使得11设是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）A若，则存在实数使得B若，则C若，则在方向上的投影为D若存在实数使得，则

3、12如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ）A分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个B满足的格点共有3个C存在格点，使得D满足的格点共有4个13下列说法中错误的是( )A向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上B零向量与零向量共线C若，则D温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量14已知为非零向量,则下列命题中正确的是( )A若,则与方向相同B若,则与方向相反C若,则与有相等的模D若,则与方向相同15下列命题中正确的是( )A对于实数m和向量,恒有B对于实数和向量,恒有C若,则有D若,则二、平面向量及其应用

4、选择题16ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，则b=ABC2D317若为所在平面内任意一点，且满足，则一定为（ ）A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D钝角三角形18若ABC中，则此三角形的形状是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形19已知非零向量，满足，且，则的形状是A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰（非等边）三角形D等边三角形20下列说法中说法正确的有（ ）零向量与任一向量平行；若，则；若，则，为一个三角形的三个顶点；一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；ABCD21在三角形中，若三个内角的对边分别是，则的值等于（ ）A

5、BCD22已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则ABCD23在中，、分别是、上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（ ）ABCD24已知非零向量与满足且，则的形状是（ ）A三边均不相等的三角形B等腰直角三角形C等边三角形D以上均有可能25在中，且，则点P的轨迹一定通过的（ ）A重心B内心C外心D垂心26题目文件丢失！27如图，在中，点D在线段BC上，且满足，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若，则（ ）A是定值，定值为2B是定值，定值为3C是定值，定值为2D是定值，定值为328若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )ABCD29已知是两个非零向量，且

6、，则的最大值为ABC4D30如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（ ）ABCD31已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A BC D32在中，为的外心，若，、，则（ ）ABCD33已知，(m，).存在，对于任意实数m，n，不等式恒成立，则实数T的取值范围为（ ）ABCD34在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则等于（ ）ABCD35著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则 （

7、 ）ABCD【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、多选题1BCD【分析】向量数量积不满足结合律进行判断判断两个向量是否共线即可结合向量数量积与夹角关系进行判断根据向量线性运算进行判断【详解】解：向量数量积不满足结合律，故错误，解析：BCD【分析】向量数量积不满足结合律进行判断判断两个向量是否共线即可结合向量数量积与夹角关系进行判断根据向量线性运算进行判断【详解】解：向量数量积不满足结合律，故错误，向量，不共线，能作为所在平面内的一组基底，故正确，存在负数，使得，则与反向共线，夹角为，此时成立，当成立时，则与夹角满足，则与不一定反向共线，即“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件成立，故正

8、确，由得，则，则，故正确故正确的是，故选：【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题2AD【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.【详解】，整理可得：，可得，A为三角形内角，故A正确解析：AD【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得.【详解】，整理可得：，可得，A为三角形内角，故A正确，B错误，且，解得，由余弦定理得，解得，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦

9、定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【解析：ABD【分析】对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.【详解】对于A，根据余弦函数单调性，可得，故A正确；对于B，若，则，则，即，故B正确；对于C，故C错误；对于D，在为非直角三角形，则，故D

10、正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质考查了推理和归纳的能力4BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为，且，所以角有两解析：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为，且，所以角有两解；对于选项C中：因为，且，所以角有两解；对于选项D中：因为，且，所以角仅有一解.故选：BC.【点睛】本题主

11、要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；对于，因为为锐角

12、且 ，所以三角形无解，故错误；对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.6BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7AB【分析】在中，根据，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，面积，所

13、以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在中，根据，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8ACD【分析】 先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为解析：ACD【分析】 先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并

14、逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以，所以由三角形中角最大且角为锐角,可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以 ，解得：，所以D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.9ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理 ,即. , 或.即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有

15、ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理 ,即. , 或.即或,ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选：ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为18010AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；对于选项B，由，得，所以，同理，故是三角形的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量解析：AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；对于选项B，由，得，所以，同理，

16、故是三角形的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量，若，则与共线且反向，故C正确；对于选项D，当，时，显然有，但此时不存在，故D错误.故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.11AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A，若，则反向，由共线定理可得存在实

17、数使得；对于选项B，若，则，,可得；对于选项C，若，则同向，在方向上的投影为;对于选项D，若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.12BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，设，若，所以解析：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角

18、坐标系，设，若，所以，且，得，共三个，故正确当，时，使得，故正确若，则，且，得，共4个，故正确故选：【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题13AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B解析：AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B正确；若，则，故C正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.

19、故选：AD【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.14ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时有,.当反向时有,故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.15ABD【详解】解：对于：

20、对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确对于：若，当 时，无法得到，故不正确对解析：ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确对于：若，当 时，无法得到，故不正确对于：若，则成立，故正确故选：【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况二、平面向量及其应用选择题16D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单

21、一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！17C【分析】由向量的线性运算可知，所以，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得，进而可得，即可得出答案.【详解】由题意，所以，取的中点，连结，并延长到，使得，连结，则四边形为平行四边形，所以.所以，即，故，是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.【详解】中，已知等式变形得：，即，整理得：，即，或（不合题意，舍

22、去），则此三角形形状为直角三角形故选：【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题19D【分析】先根据，判断出的角平分线与垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得，判断出三角形的形状【详解】解：，分别为单位向量，的角平分线与垂直，三角形为等边三角形故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断考查了学生综合分析能力，属于中档题20A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于：零向量与任一向量平行，故正确；对于：若，则，必须有，故错误；对于：，与不共线，故错误；对于：，根据三角不等式的

23、应用，故正确；对于：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故错误；对于：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故错误.综上：正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题21B【分析】在三角形中，根据，利用余弦定理求得边b,再利用正弦定理求解.【详解】在三角形中， ，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题.22A【解析】，设中点为，中点为，则,为的中位线，且，即选A23C【分析】由三角形的重心定

24、理和平面向量的共线定理可得答案【详解】中，、分别是、上的中线，它们交于点G，可得G为重心，则，且故选：C【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题24C【分析】和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。【详解】由题的，平分线所在的直线与垂直，为等腰三角形.又，故为等边三角形.故选：C【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。25A【分析】设，则，再利用平行四边形法则可知，P在中线上，即可得答案；【详解】如图，由平行四边形法则可知，P在中线上，P的轨迹

25、一定通过的重心.故选：A.【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.26无27D【分析】过点C作CE平行于MN交AB于点E，结合题设条件和三角形相似可得出，再根据可得，整理可得，最后选出正确答案即可.【详解】如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E，由可得，所以，由可得，所以，因为，所以，整理可得.故选：D.【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.28D【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可【详解】非零向量，满足，平方得，

26、即 ，则，由，平方得得，即则， 则向量与的夹角的余弦值 ， ，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键29B【分析】先根据向量的模将转化为关于的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】,，令,则，令，得当时， ，当时， ， 当时， 取得最大值，故选B.【点睛】向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.30D【分析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果

27、.【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以，设 代入可得即 又因为，即，且 解得 所以可得 因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比所以与的面积之比为 故选D【点睛】本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.31A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【详解】法一：由题意可得22cos2，()()()()()(1)(1) 2(1)2(1)422(1)463，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得

28、x1.，.故选A.【点睛】1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2.2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.32C【分析】作出图形，先推导出，同理得出，由此得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出的值.【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，则且，同理可得，由，可得，即，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.33A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用

29、三角不等式放缩，转化即求最小值，再转化为等边三角形的边的中点和一条直线上动点的距离最小值. 当运动到时且反向时，取得最小值得解.【详解】，,易得 设，中点为，中点为则在单位圆上运动，且三角形是等边三角形, ，所在直线方程为 因为恒成立，,(当且仅当与共线同向，即与共线反向时等号成立)即求最小值. 三角形是等边三角形，在单位圆上运动，是中点， 的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆. 又在直线方程为上运动， 当运动到时且反向时，取得最小值此时到直线的距离 故选：A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决34B【分析】利用正弦定理可得，结合和余弦定理，即可得答案；【详解】，又，故选：B.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值.35D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解【详解】解：如图所示的，其中角为直角，则垂心与重合，为的外心，即为斜边的中点，又为中点，为中点，故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力