历年自主招生试题分类汇编-平面几何(DOC 6页).doc

1、历年自主招生试题分类汇编平面几何4（2013年北约）如图，ABC中，AD为BC边上的中线，DM、DN分别为ADB、ADC的角平分线，试比较BMCN与MN的大小关系，并说明理由ACCDMN解析 延长ND至E，使NDED，连结BE、ME，则BEDCND，MEDMND，MEMN，由BMBEEM，得BMCNMNACCDMNE题4（2012年北约）如果锐角的外接圆圆心为，求到三角形三边的距离之比。解： 如图，过分别作的垂线，垂足为,设 ，由平几知识得，同理：，即到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生 的读题能力和转化能力，又考查了学

2、生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。 题8（2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。解： 如图，五边形为内接五边形，延长有两交点，连接，, 在上, 连结，同理可得，从而，同样，延长,可证得： ，从而可知五边形为正五边形。评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力，可贵的是有别于数学竞赛的平几题。1. （2011年北约）已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.【答案】【解】设另一条对角线的长度为.由解得.2.求过抛物线和的交点的直线方程.【解】联立两方程,消去得.

3、此方程即为所求.2（2010年北约）为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系当中有一点位于点时，知另一点位于或者时有最大值为；当有一点位于点时，；当均不在轴上时，知必在轴的异侧方可能取到最大值（否则取点关于轴的对称点，有）不妨设位于线段上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使最大的点必位于线段上且当从向移动时，先减小后增大，于是；对于线段上任意一点，都有于是由，知不妨设为下面研究正五边形对角线的长如右图做的角平分线交于易知于是四边形为平行四边形由角平分线定理知解得5、（2011年华

4、约）如图，和外切于点，又都和内切，切点分别为.设，则（ ）A、 B、C、 D、ABCOO1O2分析题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：O O1 O2边O1 O2上一点C，O O1、O O2延长线上分别一点A、B，使得O1A = O1C，O2B = O2C。解法一：连接，C在上，则，故，。解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则，。9、（2011年华约）如图，已知的面积为2，分别为边，边上的点，为线段上一点，设，且，且面积的最大值为（ ）A、 B、 C、 D、ABCDEF解：

5、，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。6（2010年华约）如图，的两条高线交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（ A ）（A） （B） （C） （D）1、 （2013年卓越联盟文）如图，是的切线，是切点，于点，割线交于、两点，设，则 （用、表示）答案:（8）（2012年卓越联盟）如图，是的直径，弦垂直于点，是延长线上一点，是的切线，是切点，与相交于点，（）求线段的长；（）连线，判断是否平行于，并证明你的结论。（注：根据解题需要，须将图形自行画在大题卡上。）EBCDAFGMO解答：（）如图，连接AF,CO，根据垂径定理知，M为CD的中点，所以CM=DM=4，所以OM=3，于是知 .根据切割线定理知,而 ，所以.（）若DF/AB，则,CF为圆的直径，从而CF=10.根据射影定理知，应该有：，矛盾，所以不平行于。(8) （2011年卓越联盟）如图，ABC内接于O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交O于G、F，交O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为( B )OABCDEFGPl第8题图(A)(B)(C)(D)2