基本不等式基础测试题(DOC 14页).doc

1、基本不等式基础测试题一、单选题1已知，则的最小值为（ ）A2B4C6D82已知，且，则的最小值为（ ）ABCD3若，则的最大值是 （ ）ABCD4已知，且，那么下列结论一定成立的是（ ）ABCD5已知，则的最大值为（ ）A1BCD6若ab0，则下列不等式成立的是（ ）ABCD7设x0，则y33x的最大值是（ ）A3B32C32D18已知，若，则的最小值为（ ）A3B2CD19已知，则的最小值为（ ）A3B2C4D110若正实数，满足，则的最小值为（ ）A2BC5D11下列不等式恒成立的是（ ）ABCD12若正数，满足，则的最小值为 （ ）ABCD2二、填空题13已知x1，则的最小值是_.14已

2、知，当_时，的最小值为4.15若,则的最小值为_.16已知，且，则的最小值是_三、解答题17已知.（1）已知x0，求y的最小值；（2）已知x0，求y的最大值18（1）已知，且，求的最小值（2）已知是正数，且满足，求的最小值19已知、都是正数，求证：（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.20（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.21（1）已知，求的取值范围；（2）已知，且，求的取值范围22已知函数（I）求函数的最小值；（II）若不等式恒成立，求实数的取值范围试卷第3页，总3页参考答案1D【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且

3、仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为，故选：D【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2A【分析】利用换“1”法，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】，当且仅当，等号成立，所以最小值为，故选：A.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1

4、）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方3A【分析】构造和为定值，利用基本不等式【详解】，故，则，当时取“=”，所以正确选项为A【点睛】本体考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可4C【分析】利用基本不等式与重要不等式即可求解.【详解】解:因为， 且,所以 .当且仅当时取等号，故选: C.【点睛】本题主要考

5、查基本不等式，注意运用基本不等式时需验证等号成立的条件.5D【分析】直接使用基本不等式，可以求出的最大值.【详解】因为，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.6B【分析】由，根据不等式的性质，以及基本不等式，即可得到结果【详解】因为 所以，；由基本不等式可得； 所以.故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质和基本不等式的应用，属于基础题.7C【分析】化简y33x3，再利用基本不等式求解.【详解】由题得y33x332 32，当且仅当x时取等号所以y33x的最大值是32.故选：C【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这

6、些知识的理解掌握水平.8C【分析】直接利用基本不等式求最小值【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.故选：C【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值时的三个条件：一正二定三相等，务必满足9A【分析】因为，所以，将分离常数既可以用基本不等式求最值.【详解】因为，所以，由均值不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为3，故选：A【点睛】本题主要考查了基本不等式求和的最小值，属于基础题.10C【分析】化简，然后利用基本不等式求解即可【详解】根据题意，若正实数，满足，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为5；故选：C【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题1

7、1B【分析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确；B. ，即恒成立，故B正确；C.当时，不等式不成立，故C不正确；D.当时，不等式不成立，故D不正确.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用以及不等式大小的比较，属于基础题.12B【分析】根据以及基本不等式可解得结果.【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以.故选：B.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.136【分析】由，得，所以将，变形得，然后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，所以，当

8、且仅当，即时取等号，所以的最小值是6，故答案为：6142【分析】直接利用基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当时，的最小值为4.故答案为：2.158【分析】对原式化简，可得，再根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为又，所以，所以;当且仅当时 ，即时取等号.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.163【分析】由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.【详解】由题得.所以，（当且仅当时取等）所以函数的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17（1）2；（2）2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即

9、可（2）由于x0，所以先对式子变形，然后再利用基本不等式即可【详解】（1）因为x0，所以，当且仅当，即x1时等号成立所以y的最小值为2.（2）因为x0，所以x0.所以，当且仅当，即x1时等号成立所以y的最大值为2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.18（1）；（2）.【分析】（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出的最小值；（2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值【详解】（1），由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为；（2）由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就

10、是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题19（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用基本不等式可证明出结论成立；（2）利用基本不等式可证明出结论成立.【详解】因为、都是正数，所以.（1）当积等于定值时，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值；（2）当和等于定值时，所以，当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积有最大值.【点睛】本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.20（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代数式变形为，然后

11、利用基本不等式可求出所求代数式的最小值；（2）根据代数式有意义得出，分或、两种情况讨论，利用基本不等式可求出所求代数式在时的最大值，综合可得出结论.【详解】（1），当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；（2）由知.当或时，；当时，由基本不等式可得.当且仅当，即当时等号成立.综上，的最大值为.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于基础题.21（1）；（2）【分析】利用“一正”，“二定”，“三相等”，关键构造出定值，即可求解.【详解】解：（1），(当且仅当，即时，取“=”），故原式的取值范围为.（2）(当且仅当，即时，取“=”），故原式的取值范围为.【点睛】本题考查基本不等式，基础题.22（I）9；（II）【详解】解：（I）. 当且仅当即时上式取得等号，又， 当时，函数的最小值是9.（II）由（I）知，当时，的最小值是9，要使不等式恒成立，只需 即解得或实数的取值范围是答案第11页，总11页