侠义相对论简介.docx

1、第 12 章狭义相对论简介12.1 基本要求1. 理解牛顿的绝对时空概念，并能由此导出伽利略坐标变换和速度变换公式。2. 理解爱因斯坦的相对性原理和光速不变原理。3. 理解洛仑兹变换公式并能正确进行坐标换算。了解相对论时空观和绝对时空观的不同以及洛仑兹变换与伽利略变换的关系。4. 理解同时性的相对性和相对论时间延缓效应，能判断原时和非原时并相互推算。5. 理解长度的测量和同时性的相对性的关系，能正确应用相对论长度缩短公式。6. 理解相对论质量、动量、动能、能量等概念和公式以及它们与牛顿力学中相应各量的关系，能正确应用这些公式进行计算。12.2 基本概念1 同时性的相对性2 长度收缩3 时间延缓

2、4 静质量 m 是质点相对某惯性系静止时( v = 0 )的质量05 相对论性质量 在狭义相对论中，质量m 是与速度有关13m01 - v 2 c m = gm =0(12-1)6 相对论性动量01- v2 c2p = mv =m v(12-2)7 相对论性动能1- v2 c2E = mc2 - m c2 = m c2 (1-1)(12-3)k008 相对论性能量E = mc2 = Ek+ m c2(12-4)012.3 基本规律1 狭义相对论的基本原理(1) 相对性原理物理基本定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的；(2) 光速不变原理在一切惯性系中，光在真空

3、中的传播速率都等于 c，与光源的运动状态无关。2 洛伦兹变换 x =1 - ( v c ) 2x - vt x =1 - ( v c )2x + vt y = yy = y (12-5) t =z = zc 21 - ( v ) 2ct - vx t =z = z c 21 - ( v ) 2ct + vx 1- v2c23 长度收缩效应 l = l0(12-6)4 时间延缓效应1- v2c2Dt =Dt(12-7)5 相对论质速关系1 - v2 c m = g m =m00(12-8)6 相对论质能关系01- v2 c2E = mc2 =m c2(12-9)7 相对论动力学基本方程dpdm

4、v01- v2 c2F =()(12-10)dtdt8 相对论能量和动量之间的关系E 2 = p2c2 + m2c40(12-11)12.4 学习指导1 重点解析本章学习的重点为理解和应用洛伦兹变换和掌握狭义相对论的时空观。（1） 洛伦兹变换是爱因斯坦两个基本假设的数学表达，特别是光速不变原理的必然要求。在洛仑兹变换下，时间空间是一个相互联系的整体。 x =x - vt1 - ( v c ) 2y = yz = zvxt -1 - ( v ) 2c t =c 21- v2c2因为要求 0 ，因此v c ，即任何物体的速度都不可能超过光速，光速是物体运动的极限速度。当物体运动的速度远小于光速时，

5、洛仑兹变换自然过渡到伽利略变换，因此伽利略变换是洛仑兹变换在低速情况下的近似。（2） 狭义相对论的时空观同时的相对性设有两个参考系 S 和S ，S 系相对S 系沿 Ox 轴方向运动。在S 参考系内不同的两个地点 x 、x 同时发生的事件，S 参考系的观察者认为是同时发生的，而S12参考系的观察者认为不是同时发生的。同样在S 参考系内不同的两个地点 x 、x12同时发生的事件，S 参考系的观察者认为是同时发生的，而S 参考系的观察者认为不是同时发生的。说明同时这个概念与观察者所在参考系相关，是相对的而非绝对。值得注意的是，同时的相对性是指不同地点发生的两个事件，若在某个参考系同一地点同时发生的事

6、件，不论在哪个参考系的观察者看来都是同时发生的。长度收缩设有一棒相对于静止的观察者测得棒长为 l ， l00称为棒的固有长度。沿棒长方向相对棒以速度v 运动的观察者，测得棒的长度为l ， l 与l0的关系为1- v2c2l = l0l Dt0，所以固有时间最短。值得注意的是，时间延缓具有相对性，运动的时钟变慢了。总之，长度收缩效应和时间延缓效应都是洛仑兹变换在特定条件下的具体应用，长度收缩效应要求在同一时刻（时间相同）得到运动的棒两端的位置坐标； 时间延缓效应则要求是同一地点（位置相同）发生的两个事件的时间间隔。2 难点释疑要理解狭义相对论的新思想、新方法和新结论，必须彻底摆脱经典力学绝对时空

7、观的束缚，在思想观念和思维方法上建立全新的狭义相对论的时空观，学会用狭义相对论的新观点去思考和解决问题。如何正确的运用洛仑兹变换去解决问题，是本章学习的一个难点，处理不好往往会出错。为了解决这个难点，必须学会分析在哪个参考系（是相对静止的还是相对运动的）中测量，哪些物理量相等，从而正确的选择洛仑兹变换形式。例如在讨论长度收缩问题时，棒相对于 S 参考系静止，相对于S 参考系运动，因此要求在 S 参考系中测量棒的长度时，必须满足 t1= t 这一条件，同时测得棒2两端的坐标 x 、 x12，因此利用洛仑兹变换式x =1，x =x - vt1 - ( v c ) 211x - vt1 - ( v

8、c ) 2222得到211- v2 c2l = x - x =x - x1- v2 c21- v2 c2，l = l= l210若棒相对于S 参考系静止，相对于 S 参考系运动，请读者分析。12.5 习题解答12.1 宇宙飞船相对于地面以速度 v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过Dt (飞船上的钟测量)时间后，被尾部的接收器收到，由此可知飞船的固有长度为( )1 - (v c)2(A) ct(B) vt1 - (v c)2(C) ct(D) ct(c 是真空中光速)解：根据光速不变原理，光传播的速度与光源的运动与否无关，因此在宇宙飞船上光的传播速度仍然为

9、c。又因为观察着的参照系设在飞船上，相对事件静止，不需要考虑相对论效应，故选(A)。12.2 有两只对准的钟，一只留在地面上，另一只带到以速率v 飞行着的飞船上，则()(A) 飞船上的人看到自已的钟比地面上的钟慢(B) 地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟慢(C) 飞船上的人觉得自己的钟比原来走慢了(D) 地面上的人看到自己的钟比飞船上的钟快解：运动的时钟变慢，是指相对与事件发生地运动的时钟会变慢，而不是相对与某个观察着而言。飞船上的人观察自已的钟是相对静止的，不会变慢，（A）答案错；同样的道理，（B）、（C）答案错；飞船上的钟相对地面上的人是运动的，故选(D)。12.3 一火箭的固有长度为 L

10、，相对于地面作匀速直线运动的速度为v ，火箭上有一个人从1火箭的后端向火箭的前端上的个靶子发射一颗相对于火箭的速度为v2的子弹。在火箭上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是 ()(A) L/（v v ）(B) L / v1221- (v2c )2(C) L/（v v ）(D) L/v211解：以火箭为参照系，事件发生和观察者相对静止，不需要考虑相对论效应，时间间隔为(B)。12.4 狭 义 相 对 论 的 两 条 基 本 原 理 中 ， 相 对 性 原 理 说 的是；光速不变原理说的是。狭义相对论的相对性原理与经典相对性原理不同之处在于 。 解：所有的物理定律在所有的惯性系中都等效；在所有的惯性

11、系中光速都为一个常量；不同之处在于所有的物理定律和力学定律。k0012.5 粒子的静能量为E ，当它高速运动时，其总能量为E。已知E E45，那么，此粒子运动的速率v 与真空中光速c 之比 vc ；其动能 Ek 与总能量 E 之比 E E 。解：根据爱因斯坦质能关系式：E= m c2 ，E = mc2，E/ E = 4 / 5 = m1- v2 c2/ m =，解得v / c = 3/ 50000由动能 E = mc2 - m c2 得： E / E = (E - E ) / E = 1/ 5k0k012.6 当粒子的动能等于它的静止能量时，它的运动速度为 。解：由动能 E = mc2 - m

12、 c21- v2 c2k0E = Ek0= E - E , E00= E / 2, m0/ m = 1/ 2,= 1/ 2, v =3c / 212.7 已知惯性系S相对于惯性系S 系以 0.5c 的匀速度沿X 轴的负方向运动，若以S系的坐 标 原 点 O/ 沿 X 轴 正 方 向 发 出 一 光 波 ， 则 S 系 中 测 得 此 光 波 的 波 速 为 。解：根据光速不变原理，光波的波速为cm01- v2 c212.8 狭义相对论中，一质点的质量 m 与速度v 的关系式为 ；其动能的表达式为 。解： m =， E = E - Ek0= mc2 - m c200012.9 匀质细棒静止时的质

13、量为 m ，长度为 l ，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时， 测得它的长为 l，那么，该棒的运动速度 v ，该棒所具有的动k能 E 。1- l 2 l20c解：根据长度收缩 l = l1- v2, v = c，02动能 E = mc2 - m c2 = m c2 (l / l -1)k00012.10 两个平行的惯性系S 和 S，S系相对 S 系以 0.6c 的速率沿ox 轴运动。在 S 系中某一事件发生在t = 2 10-5 s ， x = 5103 m 处，求在S系中观测该事件的时空坐标。解：根据洛仑兹变换1- v2 / c21- v2 / c2x =x - vt, t = t - v

14、x / c2xm5103 - 0.6 3108 2 10-51- (0.6cc )2得= 3103，t =5103 0.62 10-5 - 31081- (0.6c c )2= 1.25 10-5 s 。12.11 S系相对 S 系以 0.8c 的速率沿 ox 轴运动，一事件发生在t = 0 ， x = 0 处，另一事11件发生在t = 4 10-7 s ， x = -50m 处，求在 S 系中观测这两个事件的时间和空间22坐标。解：根据洛仑兹逆变换x + vt1- v2 / c2x =, t =t + vx / c21- v2 / c2解得 x1= 0, t1= 0 ； x2= 76.7m,

15、 t2= 4.45 10-7 s 。12.12 边长为10cm 的正方形静止地放在S坐标系的xoy平面内，且两边分别与ox、oy 轴平行。S坐标系以速率 v0.6c(c 是真空中光速)沿 ox 轴正方向相对 S 坐标系运动。从 S 系的观察者看来，此正方形变成什么形状(用图表示)，它的对角线长度为多少？1- 0.62解：由于在运动方向上长度收缩，正方形变成矩形。1- v2 / c2l = lx0= 10= 8(cm) ， ly= l = 10(cm)0l 2 + l 2xy82 +102164l = 12.8(cm)12.13 一短跑运动员从百米跑道的起点A 到终点 B 用时 10 秒，试问在

16、与运动员同方向运动， 飞行速率为 0.6c 的飞船 S系中观测，这名运动员由 A 到 B 跑了多少距离？经历了多长时间？解：设地面为S 系，运动员在起点A 为事件 1，到终点B 为事件 2，根据题意，运动员跑完百米在 S 系中， Dx = 100m, Dt = 10s, v = 0.6c在飞船 S/系中观测1- v2 / c2Dx = Dx - vDt =1- 0.62100 - 0.6 3108 10= -2.25109 (m)Dt =Dt - vc2Dx10 -=0.63108100= 12.5(s)c1- v221- 0.6212.14 在地球-月球系中测得地球到月球的距离为3.844

17、105 km ，宇宙飞船以 0.8c 的速率从地球飞向月球，试求在地球-月球系和宇宙飞船系中观测，宇宙飞船从地球飞到月球各需要多少时间？解：设地球-月球为 S 系，宇宙飞船 S系，根据题意知，地球-月球距离为Dx = 3.844 108 m ， 宇宙飞船以v = 0.8c 的速率从地球飞向月球，在S 系观测所用时间Dt = Dx = 3.844 108v0.8 3108= 1.6(s)在宇宙飞船S系观测，所用时间间隔为Dt ，由洛仑兹变换有vDx0.8c21- v2 c2Dt -Dt =1.6 - 3.84410831081- 0.82= 0.96(s)12.15 S 和 S是两个平行的惯性系

18、，S系相对 S 系以 0.6c 的速率沿ox 轴运动。在S 系中某点发生一事件，S 系上测其所经历的时间为 8.0s，而在 S系上测其所经历的时间为多少？解：事件发生在S 系上且在S 系上测得所经历的时间为 8.0s，这个时间为固有时间Dt = 8s0t01- v2 c2S系上测测事件所经历的时间为Dt ，在根据时间延缓公式Dt =8= 10(s)1- 0.6212.16 牛郎星距离地球约 16 光年，若将用 4 年的时间(宇宙飞船上的钟指示的时间)抵达牛郎星，宇宙飞船要以多大的速度飞行？解：设宇宙飞船以速度为 v 飞行，地球-牛郎星为 S 系，宇宙飞船 S系，牛郎星距离地球1- v2c2l

19、= 16 y c ，在宇宙飞船S系上观测长度收缩为l = l001- v2c2中飞行距离为l = 4 yv ，所以，宇宙飞船在S系1- v2c2l = 4 yv = l0解 得 v = 16 17c= 16 yc12.17 在 S 惯性系中，相距X5106 m 的两个地方发生两事件，时间间隔t10-2 s； 而在相对于S 系沿正X 方向匀速运动的S系中观测到这两事件却是同时发生的。试计算在 S系中发生这两事件的地点间的距离x是多少？解：根据洛仑兹变换公式Dt - vDxDt =c21- v2c2在 S系中观测到这两事件却是同时发生，则Dt = 0所 以 Dt =vDx c2，解得v =c2Dt

20、 = (3108 )2 10-2 = 0.6cDx51061- 0.62代入1- v2 / c2Dx =Dx - vDt= 5106 - 0.6 3108 10-2= 4106 (m)12.18 观察者甲和乙分别静止于两个惯性系S 和 S(S系相对于 S 系作平行于X 轴的匀速运动)中。甲测得在 X 轴上两点发生的两个事件的空间间隔和时间间隔分别为 500 m 和2 10-7 s，而乙测得这两个事件是同时发生的。问：S系相对于 S 系以多大速度运动？解：根据洛仑兹变换公式Dt - vDxDt =c2, Dt = 0, Dt = vDx , v = c2Dt = (3108 )2 210-7 =

21、 0.12c1- v2c2c2Dx510212.19 一颗人造卫星静止质量为5104 kg ，当它以第二宇宙速度飞行时，它的质量增加了多少？解：人造卫星以第二宇宙速度飞行，由于v = 11.2 103 m / s, v c ，所以人造卫星的动能1E = mc2 - m c2 =m v211k020m v2 5104 (11.2103 )2=Dm = m - m0Ek c2= 20c2= 2= 3.48510-5 kg9 101612.20 求一个质子和一个中子结合成一个氘核时释放出的能量（分别用J 和eV 为单位表示）。已 知 质 子 、 中 子 和 氘 核 的 静 质 量 分 别 为 mp=

22、 1.6726210-27 kg 、m = 1.67493 10-27 kg 和 mnD= 3.34359 10-27 kg 。解：质量亏损Dm = (m+ m ) - m= (1.67262+1.67493 - 3.34359) 10-27 kgpnD= 0.00396 10-27 kg释放的能量E = Dmc2 = 3.564 10-13 J = 2.2275 106 eV12.21 太阳的辐射能来自其内部的核聚变反应。太阳每秒向周围空间辐射的能量为51026 J / s ，求太阳因辐射能量而减少的质量是多少？ 解：太阳因辐射能量而减少的质量Dm = E / c2 = 51026 / 9

23、1016 = 5.6 109 kg而太阳的质量为m = 2 1030 kgDm5.6 109= 2.810-21m2 1030可见太阳因辐射能量而减少的质量所占的比例是很小的。12.22 氢弹是核聚变反应，各氢原子核和中子聚变成质量较大的核，每用1g 氢约损失0.006g 静止质量。求氢聚变反应释放出的能量是同质量氢被燃烧成水时释放能量多少倍？已知1g 氢完全燃烧释放1.3105 J 的能量。解：1g 氢核聚变反应释放出能量E = Dmc2 = 0.006 10-3 9 1016 = 5.4 1011 J1g 氢完全燃烧释放 E = 1.3105 J 的能量E / E = 5.4 1011 /1.3 105 = 4.1106 。