数值分析期末考试复习题及其答案.docx
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1、数值分析期末考试复习题及其答案1.已知 X * = 325413, X * = 0.325413 都有 6 位有效数字,求绝对误差限.(4 分)12解:由已知可知,n=6X * = 0.325413106 , k = 6, k - n = 0, 绝对误差限e11= 1 100 = 0.52 分21X * = 0.325413 100 , k = 0, k - n = -6, 绝对误差限e22=10-62 分21002.已知 A = 024 求 A , A, A12(6 分)0- 2 4解:A= max1,4,8= 8,1 分1A= max1,6,6= 6,1 分()A =l2maxAT A1
2、分100 100100 ATA = 02- 2 024 = 080 2 分 044 0- 2 40032l( AT A) = max1,8,32= 321 分max322A= 423.设 f (x) = (x 2 - a)3(6 分) 写出 f(x)=0 解的Newton 迭代格式2 当 a 为何值时, x= j (x ) (k=0,1)产生的序列x 收敛于k +1kk解:f (x )(x 2 - a)35xax= x -k= x -k=k +Newton 迭代格式为:k +1kf (x )kk6xk(x 2 - a)2k66xk3 分j (x) = 5x + a66x10 - a12j(x)
3、 = 5 - a ,当j( 2 ) = 1,即- 2 a 22时迭代收敛3 分66x 24. 给 定 线 性 方 程 组 Ax=b , 其 中 : A = 32, b = 3 用 迭 代 公 式12-1x ( k +1) = x ( k ) + a (b - Ax ( k ) )(k=0,1)求解Ax=b,问取什么实数a ,可使迭代收敛(8 分)解:-aa1 - 2所给迭代公式的迭代矩阵为B = I -aA = 1 - 3a - 2a 2 分其特征方程为 lI - B = l - (1 - 3a)2a= 02 分al - (1 - 2a)即,解得l1= 1 - a, l2= 1 - 4a2 分
4、要使其满足题意,须使r (B) 1 ,当且仅当0 a 0.52 分12- 255. 设方程Ax=b,其中 A = 111 ,b = 6 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收敛 2217性,并建立GaussSeidel 迭代格式(9 分)解:A = L + D + U0- 22 B = -D -1 (L + U ) = - 10- 13 分J- 2- 20 lI - BJ= l3 = 0, l = l12= l = 02 分3即r (B ) = 0 1,由此可知Jacobi 迭代收敛1 分JGauss-Seidel 迭代格式:x(k +1) = 5 - 2x(k ) + 2x(k ) 123
5、x(k +1) = 6 - x(k +1) - x(k )(k=0,1,2,3)3 分 213x(k +1) = 7 - 2x(k +1) - 2x(k +1) 3126. 用 Doolittle 分解计算下列 3 个线性代数方程组: Axi= b (i=1,2,3)其中i211 4A = 232 , b = 7, b = x , b = x(12 分)1 21322349解: Ax = b11211 232 x4= 7 1 2349100 211 A= 110 021 =LU3 分 111 00210044由 Ly=b1,即110 y= 7得 y= 31 分 111 92211 4由 Ux1
6、=y,即021 x1= 31得 x1= 12 分 00221 Ax = b22211 1232 x2= 1 234110011 由 Ly=b2=x1,即110 y= 1得 y= 01 分 111 10211 1 0.5由 Ux2=y,即021 x2= 0得 x2= 0 2 分 Ax = b3300200 211 0.5232 x3= 0 2340 1000.50.5 由 Ly=b3=x2,即110 y= 0 得 y= - 0.51 分111 0 0211 0.5 0.375 由 Ux3=y,即021 x3= - 0.5得 x3= - 0.252 分002007. 已知函数 y=f(x)有关数据
7、如下:要求一次数不超过 3 的 H 插值多项式,使H (x ) = y , H (x ) = y (6 分)解:作重点的差分表,如下:3ii3113 分H (x) = f x + f x , x (x - x) + f x, x , x (x - x )(x - x ) + f x, x , x , x (x - x )(x - x )23001001101011201=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)= 2x3 + x 23 分8. 有如下函数表:试计算此列表函数的差分表,并利用 Newton 前插公式给出它的插值多项式 (7 分)解:由已知条件可作差分表,3 分x = x
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