《运筹学思想方法及应用》课件ch8 马尔可夫预测方法.ppt

1、2023-4-251马尔可夫预测（Markov Forecast）也称为马尔可夫分析，作为一种企业管理的工具,已经成功地应用到许多场合.它的优点在于依靠现在资料推知未来,计算比较精确,适用于中、长期预测.因此，较多地应用于市场需求等诸多领域的预测.2023-4-2528.1 8.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质8.2 8.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测8.3 8.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用8.4 8.4 WinQSB软件应用软件应用2023-4-2538.1 8.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质2023-4-2548.1

2、马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质 1.1.马尔可夫及其马尔可夫过程马尔可夫及其马尔可夫过程 马尔可夫马尔可夫（A.Markov，18561922）俄国数学俄国数学家家.1878.1878年大学毕业于彼得堡大学数学系，年大学毕业于彼得堡大学数学系，18841884年获物理数学博士学位，年获物理数学博士学位，18861886年成为教授，年成为教授，18961896年当选为彼得堡院士年当选为彼得堡院士.对概率论、数理统计、数对概率论、数理统计、数论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建论、函数逼近论、微分方程、数的几何等都有建树树.他开创了一种无后效性随机过程的研究，即他开创了一种

3、无后效性随机过程的研究，即在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其在已知当前状态的情况下，过程的未来状态与其过去状态无关，这就是现在大家熟悉的马尔可夫过去状态无关，这就是现在大家熟悉的马尔可夫过程过程.马尔可夫的工作极大的丰富了概率论的内马尔可夫的工作极大的丰富了概率论的内容，促使它成为自然科学和技术直接有关的最重容，促使它成为自然科学和技术直接有关的最重要的数学领域之一要的数学领域之一.2023-4-2558.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质我们先介绍几个与马尔科夫过程相关的概念我们先介绍几个与马尔科夫过程相关的概念.随机变量与随机过程随机变量与随机过程 把随机现象的每

4、个结果对应一个数，把随机现象的每个结果对应一个数，这种对应关系称为随机变量这种对应关系称为随机变量.例如某一时间内公共汽车站例如某一时间内公共汽车站等车乘客的人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次等车乘客的人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例数等等，都是随机变量的实例.随机过程随机过程 随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述述.马尔科夫过程与马尔科夫链马尔科夫过程与马尔科夫链 设设x(t)是一随机过程，当过是一随机过程，当过程在时刻程在时刻t t0 0所处的状态为已知时，时刻所处的状态为已知时，时刻t t（t t t

5、t0 0）所处的状）所处的状态与过程在时刻态与过程在时刻t t0 0之前的状态无关，这个特性成为无后效之前的状态无关，这个特性成为无后效性性.无后效的随机过程称为马尔科夫过程无后效的随机过程称为马尔科夫过程(Markov(Markov Process).Process).马尔科夫过程中的时间和状态既可以是连续的，马尔科夫过程中的时间和状态既可以是连续的，又可以是离散的又可以是离散的.我们称时间离散、状态离散的马尔科夫我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为过程为马尔科夫链马尔科夫链.()x t()x t2023-4-2568.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质为了形象说明为了

6、形象说明“状态状态”和和“状态的转状态的转移移”的概念，假设在一个水池中有三的概念，假设在一个水池中有三片荷叶，一只青蛙在三片荷叶之间跳片荷叶，一只青蛙在三片荷叶之间跳跃玩耍，见图跃玩耍，见图.观察青蛙的活动会发现青蛙的动作是随意的观察青蛙的活动会发现青蛙的动作是随意的.为讨论方便，我为讨论方便，我们给荷叶编号，我们关心的是在一定时间内，它从一片荷叶跳们给荷叶编号，我们关心的是在一定时间内，它从一片荷叶跳到其他两片荷叶的转移结构到其他两片荷叶的转移结构.当青蛙在第当青蛙在第1 1片荷叶上时，它下一片荷叶上时，它下一步动作跳跃到第步动作跳跃到第2 2、3 3片荷叶上或原地不动，只与现在的位置片荷

7、叶上或原地不动，只与现在的位置1 1有关，而与它以前跳过的路径无关有关，而与它以前跳过的路径无关.我们给出这只青蛙从各片我们给出这只青蛙从各片荷叶上向另一片荷叶移动的转移图，见图荷叶上向另一片荷叶移动的转移图，见图.2023-4-2578.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质箭头表示跳跃的方向，数字表示跳跃的概箭头表示跳跃的方向，数字表示跳跃的概率，白环表示青蛙保持不动率，白环表示青蛙保持不动.此图表明：在一定时间内，此图表明：在一定时间内，当青蛙开始时刻在第当青蛙开始时刻在第1 1片荷叶上时，它保持不动的概率为片荷叶上时，它保持不动的概率为0.30.3，它，它跳跃到第跳跃到第

8、2 2片荷叶上的概率为片荷叶上的概率为0.60.6，跳跃到第，跳跃到第3 3片荷叶上的概率为片荷叶上的概率为0.10.1；当青蛙开始时刻在第当青蛙开始时刻在第2 2片荷叶上时，它保持不动的概率为片荷叶上时，它保持不动的概率为0.40.4，它，它跳跃到第跳跃到第1 1片荷叶上的概率为片荷叶上的概率为0.20.2，跳跃到第，跳跃到第3 3片荷叶上的概率为片荷叶上的概率为0.40.4；当青蛙开始时刻在第当青蛙开始时刻在第3 3片荷叶上时，它保持不动的概率为片荷叶上时，它保持不动的概率为0.50.5，它，它跳跃到第跳跃到第1 1片荷叶上的概率为片荷叶上的概率为0.20.2，跳跃到第，跳跃到第2 2片荷

9、叶上的概率为片荷叶上的概率为0.3.0.3.2023-4-2588.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质我们以我们以x(t)表示青蛙跳跃表示青蛙跳跃t次后所处的位置次后所处的位置,x(t)的取值叫做状态，的取值叫做状态，S=1,2,3叫状态空间叫状态空间.我们称我们称x(t)(t0)为一个随机过程为一个随机过程.当从当从x(0)到到x(t)已知时，青蛙在已知时，青蛙在t+1时处在时处在x(t+1)状态上的概率仅与状态上的概率仅与t时刻状时刻状态有关，即满足以下关系式态有关，即满足以下关系式 01(1)(0),(1),.,()(1)()P x tj xixix tiP x tj

10、x ti（8.1）我们称满足（我们称满足（8.18.1）式的随机过程）式的随机过程x(t)(t0)为马尔可夫过程或马为马尔可夫过程或马尔可夫链，而把（尔可夫链，而把（8.18.1）式）式的的随机过程随机过程x(t)称为马尔可夫性，它称为马尔可夫性，它反映了前一状态反映了前一状态x(t-1)、现状态、现状态x(t)和后一状态和后一状态x(t+1)之间的链接之间的链接.因此，用马尔可夫链描述随机性状态变量的变化时，只需求在因此，用马尔可夫链描述随机性状态变量的变化时，只需求在某一点上两个相邻随机变量的条件分布就可以了某一点上两个相邻随机变量的条件分布就可以了.2023-4-259我们称我们称 为转

11、移概率为转移概率.由于这种转由于这种转移概率不依赖于时间，因此具有稳定性，我们用常数移概率不依赖于时间，因此具有稳定性，我们用常数 来表示来表示.将各个状态之间的转移概率用一个矩阵表将各个状态之间的转移概率用一个矩阵表示出来，就得到一个马尔科夫问题（有限状态稳定的示出来，就得到一个马尔科夫问题（有限状态稳定的马尔可夫过程问题）的数学模型：马尔可夫过程问题）的数学模型：(1)()P x tj x tiijp2023-4-25108.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质称矩阵为称矩阵为一步概率转移矩阵一步概率转移矩阵，简称，简称转移矩阵转移矩阵.由于转移矩阵的每由于转移矩阵的每行都

12、是独立的分布，所有每行的元素满足下列性质：行都是独立的分布，所有每行的元素满足下列性质：111212122212.nnnnnnppppppPppp10(,1,2,.,)1(1,2,.,)ijnijjpi jnpin（8.2）（8.3）2023-4-25118.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质 2.2.马尔可夫链的基本方程马尔可夫链的基本方程 马尔可夫性质的数学描述是：对任意的时间马尔可夫性质的数学描述是：对任意的时间及任意的状态及任意的状态i,j,i1，it,都有都有由图由图8.28.2，青蛙跳跃的一步转移矩阵为，青蛙跳跃的一步转移矩阵为111213212223313233

13、0.30.60.10.20.40.40.20.30.5pppPpppppp11()(),(),()()().ttp x mLjx mix mix mip x mLjx mi+=+=L12,0,0,tm Lmmmm0，则极限，则极限 1.1.遍历性与遍历性定理遍历性与遍历性定理设齐次马尔可夫链的状态空间为 I，若对所有的,i jI转移概率()ijPn都存在极限 jnl i m()ijPnp=（不依赖于 i），则称该马尔可夫链具有遍历性遍历性.lim()ijjmpmp对任意状态对任意状态 i或或 j存在（注意：极限与起始状态存在（注意：极限与起始状态 无关）无关）,同时同时,这些极限这些极限 i(

14、1,2,)jpjn是是1(1,2,.,)njijijpp pjn（8.10）2023-4-25248.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测（8.11）及条件及条件i 10(1,2,),1njjpjnp的唯一解（证明略）的唯一解（证明略）.方程组（方程组（8.10）式用矩阵表示）式用矩阵表示,即即1112121222121212.(,.,)(,.,).nnnnnnnnppppppp ppp ppppp2023-4-25258.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测12(,)nupppuuP 记记（8.128.12）uPu我们称我们称为转移矩阵为转移矩阵的固有概率向量固有概率

15、向量,应满足条件（应满足条件（8.118.11）2.2.平衡预测态平衡预测态遍历性定理告诉我们遍历性定理告诉我们,如无新的外界影响改变转移概率如无新的外界影响改变转移概率,则系统则系统早晚会进入平衡状态早晚会进入平衡状态.这对管理决策十分有用这对管理决策十分有用.2023-4-25268.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测.设设【例例8.38.3】（例（例8.28.2续）求稳定状态时续）求稳定状态时A A、B B、C C三种洗衣粉三种洗衣粉的市场占有率的市场占有率,也就是求出最终市场占有率也就是求出最终市场占有率.解解 由遍历性定理由遍历性定理,我们只需求出方程组（我们只需求出方

16、程组（8.12）满足条件（）满足条件（8.11）的唯一解的唯一解.这等价于求出转移矩阵这等价于求出转移矩阵P的满足条件（的满足条件（8.11）的固有）的固有概率向量概率向量u1212(,1),0(1,2,3)iuu uuuui=-=则由（则由（8.12）式）式 2023-4-25278.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测,uPu=即由即由 121212120.60.20.2(,1)0.10.70.2(,1)0.10.10.8u uuuu uuu解出解出(0.2,0.3,0.5)u=2023-4-25288.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测这表明A、B、C三种洗衣粉

17、的最终市场占有率分别为20%,30%,50%.如果生产A牌洗衣粉的A厂对此严峻的市场局面,决定采取竞争手段.经过分析认为,采取加强广告宣传的手段,可以改变转移概率,使得买B和C牌的顾客有一部分转而购买A牌.假设改变后的转移概率为3122233132330.2,0.6,0.2,0.2,0.1,0.7.pppppp即得新的转移矩阵即得新的转移矩阵2023-4-25298.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测7.01.02.02.06.02.02.02.06.01P利用上述同样方法利用上述同样方法,可求出最终市场占有率为可求出最终市场占有率为A牌占33.3%,B牌占26.7%,C牌占40

18、%.这正是这正是A 厂利用马尔可夫预测进行决策的优势厂利用马尔可夫预测进行决策的优势.2023-4-25308.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测【例8.4】某市场销售A、B、C三厂家生产的汽车备件,经过市 场调查分析得知：市场容量为10万户；转移矩阵P为 问题：A厂通过加强广告宣传的手段,使最终市场占有率提高了13.3%,所带来的经济效益是否大于广告费用？因为只有此种手段带来的经济效益大于广告费用时,采用此种手段竞争才是可行的.这类问题又如何分析呢？请看下例.本 月 上上月月3.01.06.01.03.06.03.03.04.0 A B C A B C2023-4-25318.

19、2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测矩阵中第1行元素0.4，0.3，0.2分别表示：上月为A厂的客户，本月仍为A厂的客户占40%，本月转为B厂的客户占30%，本月转为C厂的客户占30%.第2，3行元素的意义类同.求：（1）在三厂家都不采取竞争措施时的最终市场占有率；（2）若B厂采取竞争措施,如提高产品质量、适当降低价格、加强广告宣传及售后服务等,以提高市场占有率.具体方案有方案一：采取上述措施,投资50万元,使转移矩阵为2023-4-25328.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测10.40.30.30.40.50.10.60.10.3P轾犏犏=犏犏犏犏臌可以使老用户保

20、留到50%,使厂从厂争取用户从60%下降为40%.方案二：投资60万元,使转移矩阵为20.40.50.10.60.30.10.50.20.3P轾犏犏=犏犏犏犏臌2023-4-25338.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测可以从C厂争取20%客户,从厂争取10%客户.若每个用户使用B厂汽车备件能为B厂提供100元盈利,试问B厂应采用哪一个方案？解(1)记转移矩阵P的固有概率向量为1212(,1)uu uuu则由方程组则由方程组 uPu解出解出(0.5,0.25,0.25)u 2023-4-25348.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测换言之换言之,在三厂家都不采取竞争

21、措施时在三厂家都不采取竞争措施时,最终市场占有率为：最终市场占有率为：A厂占厂占50%,B厂占厂占25%,C厂占厂占25%.（2）B厂若采用方案一厂若采用方案一,此时转矩阵为此时转矩阵为(0.447,0.316,0.237)u,1PuuP 1由由.解得解得 在此方案下在此方案下,B厂可增加厂可增加新用户新用户(0.3160.25)10()6600万户户）（盈利盈利165000001006600（万元）（万元）2023-4-25358.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测110.6p=B2PuuP 2(0.489,0.385,0.126)u（3 3）厂若采用方案二厂若采用方案二,此时

22、转移矩阵为此时转移矩阵为,由由解得解得.在此方案下在此方案下,B厂可厂可10)25.0385.0(135007560000010013500增加新用户增加新用户 (万户万户)增加盈利增加盈利 (万元万元).).(户户),显然显然,从经济效益看从经济效益看,B厂应采取第二个方案厂应采取第二个方案.2023-4-25368.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测110.6p=从以上例子可以看到从以上例子可以看到,马尔可夫分析不仅可以用于预测马尔可夫分析不仅可以用于预测,也也可以用于对策分析可以用于对策分析.如上例中企业为争取顾客、提高市场如上例中企业为争取顾客、提高市场占有率占有率,可根

23、据预测结果采取不同竞争方案（也称策略）可根据预测结果采取不同竞争方案（也称策略）例如：例如：第一种方案是设法保留住老顾客；第一种方案是设法保留住老顾客；第二种方案是尽量争取其他新顾客；第二种方案是尽量争取其他新顾客；第三种方案是既设法保留住顾客第三种方案是既设法保留住顾客,又尽量争取新顾客又尽量争取新顾客.第三种方案的效果比前两种收效好第三种方案的效果比前两种收效好,但所需费用也高但所需费用也高.此外此外,当各方竞争力量旗鼓相当时当各方竞争力量旗鼓相当时,竞争结果竞争结果,顾客往往没顾客往往没有多大变动有多大变动.所以所以,当市场占有率接近平衡状态时当市场占有率接近平衡状态时,各种方各种方案的

24、效果都不会太好案的效果都不会太好,只有等打破平衡时再做工作只有等打破平衡时再做工作.2023-4-25378.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测110.6p=由此可见由此可见,运用马尔可夫分析运用马尔可夫分析,可以预测得两项重要信息：可以预测得两项重要信息：其一其一,可以预测出事物各状态经过一段时间后可以预测出事物各状态经过一段时间后,转入其他状转入其他状态时所占的比例；其二态时所占的比例；其二,可根据某些转移矩阵确定出在远可根据某些转移矩阵确定出在远期（即平衡状态时）各状态所占的比例期（即平衡状态时）各状态所占的比例,即最终市场占有即最终市场占有率率.若能早期求得最终市场占有率

25、若能早期求得最终市场占有率,就可据此选择经营策略就可据此选择经营策略,制定分阶段的最优对策，避免制定分阶段的最优对策，避免“青蛙效应青蛙效应”。马尔可夫预测法的工作流程如图马尔可夫预测法的工作流程如图8.3所示：所示：2023-4-2538110.6p=图图8.3 马尔可夫预测法的工作流程马尔可夫预测法的工作流程8.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测2023-4-25398.3 8.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用 2023-4-25408.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用 110.6p=11()0.7pA 1.1.设备状态预测设备状态预测【例例8.58.5】设有

26、设有A,BA,B而一周后仍无故障的概率为而一周后仍无故障的概率为0.7,即即对设备对设备A A,若已知现在无故障（状态若已知现在无故障（状态1 1）,.两种设备两种设备,其功能、价格、使用成本其功能、价格、使用成本均相同均相同.对设备对设备B B,相应的概率假设是相应的概率假设是11()0.8pB 因此因此,从无故障而一周后有故障（状态从无故障而一周后有故障（状态2）的概率）的概率,对设备对设备A而言而言,应为应为 ；对设备；对设备B而言而言,应为应为 12()0.3pA=12()0.3pA=12()0.2pB=2023-4-25418.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用110.6p=再

27、假设再假设21222122()0.6,()0.4,()0.5,()0.5.pApApBpB我们的问题是：从长远看我们的问题是：从长远看,选择哪一种设备更合适？选择哪一种设备更合适？由遍历性定理由遍历性定理,可假设设备可假设设备A和和B的固有概率向量分别为的固有概率向量分别为 及及AuBu由于设备由于设备A与与B的一周转移概率分别是的一周转移概率分别是 0.70.30.80.2,0.50.50.60.4ABPP轾轾犏犏=犏犏犏犏臌臌2023-4-25428.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用110.6p=对设备对设备A,由由 ,解出解出 .即当系统处于稳定状即当系统处于稳定状态时态时,设备

28、设备A无故障的概率为无故障的概率为 ,有故障的概率为有故障的概率为 .对设备对设备B,由由 解出解出 ,即当系统处于稳定状态时即当系统处于稳定状态时,设备设备B无故障的概率为无故障的概率为 ,有故障的概率为有故障的概率为 .由于设备由于设备B无故障的概率无故障的概率大于设备大于设备A无故障的概率无故障的概率,应选购设备应选购设备B.AAAuPu2 1,3 3Au2313BBBuPu5 2,7 7Au57272023-4-25438.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用110.6p=2.2.企业设备更新决策企业设备更新决策【例例8.6】对某种设备每周检查一次对某种设备每周检查一次,并将它们的

29、状态分为新并将它们的状态分为新,优优,良良,坏坏,分别用状态分别用状态1,2,3,4表示表示.若发现已坏需要一周时间更新若发现已坏需要一周时间更新.经经统计统计,转移矩阵为转移矩阵为 P00016.04.00005.05.0002.08.00新新 优优 良良 坏坏新新 优优 良良 坏坏=2023-4-25448.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用110.6p=假设更新一台设备需要假设更新一台设备需要2525元；若发现已坏元；若发现已坏,生产损失为生产损失为2020元元.试问试问,每周更新设备的费用和设备损坏造成的生产损失是多少？每周更新设备的费用和设备损坏造成的生产损失是多少？这个问题可

30、用平衡分析解决这个问题可用平衡分析解决.由遍历性定理由遍历性定理,只需求出矩阵的只需求出矩阵的固 有 概 率 向 量固 有 概 率 向 量.由 方 程 组由 方 程 组 解 出解 出(新新,优优,良良,坏坏)=(0.19,0.30,0.32,0.19),于是对每台设备而言于是对每台设备而言,每周的更新费每周的更新费用和生产损失费分别为用和生产损失费分别为更更新费新费=0.1925=4.75(元元)，损失费损失费=0.1920=3.80(元元)，共计共计8.55元元.2023-4-25458.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用110.6p=现在若采取另一种更新策略：一经检查发现设备处于现在

31、若采取另一种更新策略：一经检查发现设备处于“良良”的的状态状态,就马上更新掉就马上更新掉,以减少因设备损坏给生产造成的损失以减少因设备损坏给生产造成的损失.此时此时,转移矩阵为转移矩阵为 P0015.05.002.08.00 新新 优优 良良=新新 优优 良良由方程组由方程组 解得解得uuP(新新,优优,良良)=(0.28,0.44,0.28).u2023-4-25468.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用110.6p=此时此时,每周更新费增加到每周更新费增加到0.2825=7(元元),但损失费减少到零但损失费减少到零,总费用总费用小于原更新策略小于原更新策略.若一个工厂有一千台这种设备

32、若一个工厂有一千台这种设备,采用新更新策略采用新更新策略,每周可节约每周可节约 1000(8.55-7)元元=1550元元.一年按一年按50周计算周计算,全年可节约全年可节约501550元元=77500元元.这是一笔可这是一笔可观的经济效益观的经济效益.2023-4-25478.4 WinQSB8.4 WinQSB软件应用软件应用 2023-4-25488.4 WinQSB软件应用软件应用 110.6p=马尔可夫过程分析程序需要调用子程序马尔可夫过程分析程序需要调用子程序Markov Process(MKP).当给定一步转移概率矩阵当给定一步转移概率矩阵P、初始状态概率向量、初始状态概率向量

33、后，该程序后，该程序可以计算可以计算 步后的状态概率向量步后的状态概率向量、固有概率向量、固有概率向量 与与 .(0)u(1,2,.)n n()nuu【例例8.7】用用WinQSB软件求解例软件求解例8.1.该问题的该问题的0.60.20.20.10.70.20.10.10.8P(0)(0.3,0.4,0.3)u2023-4-25498.4 WinQSB软件应用软件应用110.6p=解解 （1）建立新问题）建立新问题.启动马尔可夫过程分析子程序，方法：启动马尔可夫过程分析子程序，方法：点击点击“开始开始”“”“程序程序”“”“WinQSB”“Markov Process”,在显示在显示的对话框

34、中输入标题、状态数的对话框中输入标题、状态数.见图见图8.4.图图8.42023-4-25508.4 WinQSB软件应用软件应用110.6p=点击点击“OK”键，在出现的表格中输入一步转移概率矩阵及键，在出现的表格中输入一步转移概率矩阵及初始状态概率向量，如表初始状态概率向量，如表8.1.表表8.18.12023-4-25518.4 WinQSB软件应用软件应用110.6p=（2）求解求解.点击点击“Solve and Analyse”后下拉菜单有三个选项：后下拉菜单有三个选项：“Solve Steady State”(求固有概率向量即稳态概率向量求固有概率向量即稳态概率向量)；“Marko

35、v Process Step”（指定转移步数求概率向量）；（指定转移步数求概率向量）；“Time Parametric Analyse”(参数分析参数分析).点击点击“Solve Steady State”，得到表，得到表8.2，固有概率向量，固有概率向量 (0.2,0.3,0.5)u 表明表明,A、B、C三种洗衣粉的最终市场三种洗衣粉的最终市场占有率分别为占有率分别为:20%,30%,50%2023-4-25528.4 WinQSB软件应用软件应用110.6p=表表8.2点击点击“Markov Process Step”，在图，在图8.5的期数的期数(The number of time periods from initial)中输入中输入2，显示结果表，显示结果表明：明：(2)(0.225,0.347,0.428)u即经过两个月，即经过两个月，A,B,C三种洗衣粉的三种洗衣粉的市场占有率分别为市场占有率分别为22.5%,34.7%,42.8%2023-4-25538.4 WinQSB软件应用软件应用110.6p=图图 8.58.52023-4-25548.1 8.1 马尔可夫过程定义及其性质马尔可夫过程定义及其性质8.2 8.2 遍历性定理与平衡态预测遍历性定理与平衡态预测8.3 8.3 马尔可夫预测的应用马尔可夫预测的应用8.4 8.4 WinQSB软件应用软件应用