《运筹学思想方法及应用》课件ch6 试验最优化方法.ppt
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1、试验最优化方法也称为试验最优化方法也称为试验设计试验设计(Experimental Experimental DesignDesign),是以概率论和数理统计为理论基础,经),是以概率论和数理统计为理论基础,经济地、科学地安排试验的一项技术济地、科学地安排试验的一项技术.在自然科学中,在自然科学中,有些规律尚未被人们所认识,开始往往通过试验获有些规律尚未被人们所认识,开始往往通过试验获得其统计规律,在此基础上提出科学猜想得其统计规律,在此基础上提出科学猜想,再从理再从理论或实践上证明这些猜想论或实践上证明这些猜想.例如在工农业生产中希例如在工农业生产中希望通过试验达到高质、优产、低消耗;新产品
2、开发,望通过试验达到高质、优产、低消耗;新产品开发,未 知 的 东 西 很 多,要 通 过 试 验 来 摸 索未 知 的 东 西 很 多,要 通 过 试 验 来 摸 索 工艺条件或配方等工艺条件或配方等.如何安排试验,能达到好的试验效果,而又使试如何安排试验,能达到好的试验效果,而又使试验次数尽量少呢?这是经常会碰到的问题验次数尽量少呢?这是经常会碰到的问题.由于这由于这类问题没有用数学公式表示的目标函数,所以不类问题没有用数学公式表示的目标函数,所以不能直接使用微积分中的求解约束极值问题的最优能直接使用微积分中的求解约束极值问题的最优化方法化方法.解决这类问题的方法,称为试验最优化方解决这类
3、问题的方法,称为试验最优化方法,也称为法,也称为“试验设计试验设计”.如何做试验,其中大有如何做试验,其中大有学问学问.试验设计得好,会事半功倍;反之会事倍功试验设计得好,会事半功倍;反之会事倍功半,甚至劳而无功半,甚至劳而无功.6.1 6.1 什么是优选法什么是优选法6.2 6.2 单因素优选法单因素优选法6.3 6.3 多因素优选法多因素优选法6.4 6.4 优选法的本质优选法的本质函数极值问题函数极值问题6.5 6.5 什么是试验设计什么是试验设计6.6 6.6 正交表及其应用正交表及其应用6.7 6.7 进一步思考的问题进一步思考的问题6.8 6.8 有交互作用的试验有交互作用的试验第
4、六章 试验最优化方法6.1 6.1 什么是优选法什么是优选法6.1 什么是优选法什么是优选法概述优选法亦称试验最优化方法,是一类实用的直接最优化方法.在生产实践和科学试验中,人们为了达到优质、高产、低消耗的目的,需要对有关因素的最优点进行选择.这类问题统称为选优问题。优选法就是针对选优问题,利用数学原理,合理地安排试验点,使之较快地找到最优点或近似最优点的一类方法。优选法中比较成熟和著名的方法是解决单因素优选法中比较成熟和著名的方法是解决单因素(指影响试验结果的因素只有一个)选优问题的(指影响试验结果的因素只有一个)选优问题的斐斐波那契法波那契法和和近似黄金分割法近似黄金分割法(0.6180.
5、618法法)。在目标)。在目标函数(尽管该目标函数不能用数学公式表示)为单函数(尽管该目标函数不能用数学公式表示)为单峰函数(指的是只有一个最优点)的条件下,峰函数(指的是只有一个最优点)的条件下,19531953年美国数学家基弗(年美国数学家基弗(J.C.KieferJ.C.Kiefer)证明了这两种方)证明了这两种方法在减少试验次数方面是最优的方法,以后欧美和法在减少试验次数方面是最优的方法,以后欧美和中国的一些学者又进一步给出其他的证明方法。除中国的一些学者又进一步给出其他的证明方法。除此之外还有常用的二分法、分批试验法等。此之外还有常用的二分法、分批试验法等。6.1 什么是优选法什么是
6、优选法单因素优选法的核心是比较与鉴别。单因素优选法的核心是比较与鉴别。0.6180.618法和法和斐波那契法的比较对象是两个试验点上的试验结斐波那契法的比较对象是两个试验点上的试验结果;二分法的比较对象是试验点上的试验结果与果;二分法的比较对象是试验点上的试验结果与标准;分批试验法的比较对象是每批试验中的所标准;分批试验法的比较对象是每批试验中的所有试验结果。有试验结果。6.1 什么是优选法什么是优选法6.1 什么是优选法什么是优选法华尔特(华尔特(D.J.WildeD.J.Wilde)把优选法分为两类:一类是)把优选法分为两类:一类是区间缩小法区间缩小法,即通过试验将最优值所在的范围逐,即通
7、过试验将最优值所在的范围逐步缩小,直至缩小到要求的精度为止步缩小,直至缩小到要求的精度为止.前面提到的前面提到的斐波那契法、近似黄金分割法(斐波那契法、近似黄金分割法(0.6180.618法)、二分法)、二分法等都属于这类方法法等都属于这类方法.另一类是另一类是爬山法爬山法,如爬山一,如爬山一样,从已知的信息逐步向更加好的方向移动,爬样,从已知的信息逐步向更加好的方向移动,爬山法的比较对象是前后两个试验点上的试验结果。山法的比较对象是前后两个试验点上的试验结果。对极大化问题使目标函数值逐步上升,对极小化对极大化问题使目标函数值逐步上升,对极小化问题使目标函数值逐步下降,直到不能再改进目问题使目
8、标函数值逐步下降,直到不能再改进目标值为止标值为止 。6.2 6.2 单因素优选法单因素优选法6.2 单因素优选法单因素优选法在生产实践和科学试验中存在大量的单因素选优问题。在生产实践和科学试验中存在大量的单因素选优问题。.某炼钢车间要炼一种特种钢,用某种化学元素某炼钢车间要炼一种特种钢,用某种化学元素来加强其强度,太少不好,太多也不好。例如,碳太多来加强其强度,太少不好,太多也不好。例如,碳太多了成为生铁,碳太少了成为熟铁,都不成钢材,每吨要了成为生铁,碳太少了成为熟铁,都不成钢材,每吨要加多少碳才能达到强度最高?假定已经估计出(或从理加多少碳才能达到强度最高?假定已经估计出(或从理论上算出
9、)每吨的加碳量在论上算出)每吨的加碳量在10001000克到克到20002000克之间,如何克之间,如何又好又快地找到最适当的加碳量?又好又快地找到最适当的加碳量?卡那霉素发酵液的生物测定,国内外卡那霉素发酵液的生物测定,国内外都规定培养温度为都规定培养温度为,培养时间培养时间1616小时以上小时以上.某某制药厂为缩短时间,决定优选培养温度。试制药厂为缩短时间,决定优选培养温度。试验范围定为验范围定为29295050,精确度要求为。应该如,精确度要求为。应该如何安排试验,能又好又快地找到最佳培养温何安排试验,能又好又快地找到最佳培养温度?度?6.2 单因素优选法单因素优选法 某炼油厂试制硫酸钡
10、,其原料硫酸是某炼油厂试制硫酸钡,其原料硫酸是1818号号硫化油经乙醇水溶液萃取出来的硫化油经乙醇水溶液萃取出来的.试验目的是选择试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓度和用量,使分离出的白油乙醇水溶液的合适浓度和用量,使分离出的白油最多最多.根据经验,乙醇水溶液浓度的变化范围是根据经验,乙醇水溶液浓度的变化范围是50%90%50%90%(体积百分比,指乙醇体积占全部乙醇(体积百分比,指乙醇体积占全部乙醇水溶液体积的百分比),用量变化范围是水溶液体积的百分比),用量变化范围是30%30%70%70%(重量百分比,指乙醇水溶液重量占原料总重(重量百分比,指乙醇水溶液重量占原料总重量的百分比),精度为量
11、的百分比),精度为%应该如何安排试验,能又应该如何安排试验,能又好又快地找到乙醇水溶液的合适浓度和用量?好又快地找到乙醇水溶液的合适浓度和用量?6.2 单因素优选法单因素优选法6.2 单因素优选法单因素优选法1.0.6181.0.618法法0.618这个数来源于黄金分割数 6180339887.0215的近似值。的近似值。三种常见方法:6.2 单因素优选法单因素优选法结合问题1,介绍0.618法的实施过程:用一张有刻度的纸条表达问题1的试验范围10002000克,在这张纸条长度的0.618处画一条竖线,该刻度代表1618克,按照加碳量1618克做第一次试验,并记下试验结果.然后把纸条对折,16
12、18点关于折痕(即纸条的中点)的对称点就是1382点,按照加碳量1382克做第二次试验,并记下试验结果。把两次试验结果加以比较:如果把两次试验结果加以比较:如果13821382克处的效果较好(称为克处的效果较好(称为好点),我们在好点),我们在16181618处把纸条的右边一段剪掉,得到下图:处把纸条的右边一段剪掉,得到下图:(如果(如果16181618克的效果较好,我们在克的效果较好,我们在13821382处把纸条的左边一段处把纸条的左边一段剪掉)。如果剪掉)。如果13821382克处的效果达到要求,优选到此为止;否克处的效果达到要求,优选到此为止;否则,继续优选。再把留下的纸条对折,找到与
13、则,继续优选。再把留下的纸条对折,找到与13821382点对称的点对称的12361236点,如下图:点,如下图:6.2 单因素优选法单因素优选法按照加碳量按照加碳量12361236克做第三次试验,将试验结果与克做第三次试验,将试验结果与13821382克处克处的结果比较的结果比较.如果仍是如果仍是13821382克处的效果较好,我们在克处的效果较好,我们在12361236处把纸条的左边一段剪掉,如此等等处把纸条的左边一段剪掉,如此等等.15(1 0.382)10000.73251克克克这样,经过试验、比较,再试验、再比较,逐步找到最好的这样,经过试验、比较,再试验、再比较,逐步找到最好的加碳量
14、或达到生产要求加碳量或达到生产要求.在这个过程中,最多做在这个过程中,最多做1515次试验,就次试验,就可以找出最好的加碳量可以找出最好的加碳量.这是因为这是因为6.2 单因素优选法单因素优选法也可以通过两个基本公式直接算出试验点:设试验范围是区间 ,第一次试验点(简称分割点)的计算公式:分割点 以后各次试验点(简称对称点)的计算公式:对称点 分割点 使用这两个公式时需要注意:随着试验范围的缩小,大头、小头、分割点的取值也在变化。,a b()0.618baa()ba6.2 单因素优选法单因素优选法如上例:试验范围是区间,第一次试验点(分割点)第二次试验点(对称点)由于第二次试验效果比第一次好,
15、去掉子区间,新的试验范围是区间 ,故第三次试验点,1000,2000a b(2000 1000)0.618 1000 1618(20001000)16181382(1618,20001000,161810001618 13821236 这就是这就是0.618法的全过程法的全过程.6.2 单因素优选法单因素优选法2 2、斐波那契法(分数法)数学的各个领域常常出乎意料地奇妙的联系在一起。斐波数学的各个领域常常出乎意料地奇妙的联系在一起。斐波那契数列那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,233,从
16、第三项开始,每个数都是它前面两个数的和从第三项开始,每个数都是它前面两个数的和 。若第个斐波那契数记为,则这个数列有下面的递推关系若第个斐波那契数记为,则这个数列有下面的递推关系 由此出发,借助于数学归纳法可以导出通项公式由此出发,借助于数学归纳法可以导出通项公式 这个公式是由法国数学家比内(这个公式是由法国数学家比内(BinetBinet)求出的。)求出的。nnnFFF121125125151nnnF6.2 单因素优选法单因素优选法如果按照公式 构造数列,得到:随着的增大,它们越来越接近于黄金分割数 1nnnFuF,2,3,.n 1235813,.235813216180339887.021
17、56.2 单因素优选法单因素优选法事实上,极限 分数列(分数列(6.16.1)是黄金分割数)是黄金分割数 的近似值数列的近似值数列.nlimnu1nnFFnlimnlim22112512515125125151nnnnlimn 11515125125151511nn510.618033988722156.2 单因素优选法单因素优选法 分数法优选的步骤:分数法优选的步骤:(1 1)根据经验确定试验范围和试验总次数;)根据经验确定试验范围和试验总次数;(2 2)在分数列()在分数列(6.16.1)中选取分母与试验总次数相同或最)中选取分母与试验总次数相同或最接近的分数;接近的分数;(3 3)以所取
18、分数的分子的数值为第一个试验点,取该点的)以所取分数的分子的数值为第一个试验点,取该点的对称点为第二个试验点进行试验,并记录两次试验结果;对称点为第二个试验点进行试验,并记录两次试验结果;(4 4)比较两次试验结果,按照)比较两次试验结果,按照0.6180.618法决定取舍法决定取舍.在留下的在留下的范围内,取好点的对称点继续进行试验;范围内,取好点的对称点继续进行试验;(5 5)重复上述步骤,直至找到满意点为止)重复上述步骤,直至找到满意点为止.6.2 单因素优选法单因素优选法【例6.1】某企业机加工车间为提高一种工件的质量,对车床转速进行优选.在C6140车床上,转速分为12挡,排列次序见
19、下表:档档 次次1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12转速(转转速(转/分)分)23 33 48 67 95 135 170 240 350 485 690 1000 第一次试验在第第一次试验在第8档做;第二次试验在对称的第档做;第二次试验在对称的第5档做;档做;然后比较结果然后比较结果.如果用第如果用第8档加工质量较好,就去掉第档加工质量较好,就去掉第5档以下档以下各档(否各档(否 则,就去掉第则,就去掉第8档以上各档)档以上各档).第三次试验在对称的第第三次试验在对称的第10档做;如果用第档做;如果用第10档加工质量较好,档加工质量较好,就去掉第就去掉第8档以下各档(否则,就
20、去掉第档以下各档(否则,就去掉第10档以上各档)档以上各档).第四次试验在对称的第第四次试验在对称的第11档做档做.再比较,如果第再比较,如果第10档好,则在第档好,则在第9档做最后一次(否则,取第档做最后一次(否则,取第11档为最好的档)档为最好的档).这样就可以找到最好的档这样就可以找到最好的档.过程如下:过程如下:6.2 单因素优选法单因素优选法3、黄金分割数的由来黄金分割数的由来 在目标为单峰函数的条件下,在目标为单峰函数的条件下,0.618法与斐波那契法这两种法与斐波那契法这两种方法在减少试验次数方面是最优的方法方法在减少试验次数方面是最优的方法.为了说明这一点,为了说明这一点,我们
21、考虑线段我们考虑线段:图6.1 1 2 3 4 5 6 7 (8)9 10 11 12 6 7 (8)9 (10)11 12 9 (10)(11)12 (9)(10)6.2 单因素优选法单因素优选法_ADABx_2AB xABAB x假定假定D在在A、B之间的位置已经取得最合适,即比例之间的位置已经取得最合适,即比例 最优最优.再取再取D关于中点的对称点关于中点的对称点C,比较比较C、D试验结果后,去掉试验结果后,去掉DB或或AC段。若去掉段。若去掉DB段,即段,即C在在AD段中与段中与D在原试验范围在原试验范围AB段中段中一样,也应有一个最合适位置存在,既然已设定一样,也应有一个最合适位置存
22、在,既然已设定 x 最优,最优,x=?不难导出不难导出整理后得到方程整理后得到方程210.xx 解方程得到解方程得到510.6182x6.2 单因素优选法单因素优选法4.4.一批可以做几个试验的情况一批可以做几个试验的情况1)将试验区间均分五份,在其中四个分点上做试验;如图1:2)比较四个试验中那个效果最好?留下最好的点及其左右的区间.然后将留下的再等分为六份.再在四个新点处做试验.如图2:3)继续留下最好的点及其左右的区间,重复(1)的过程,不断做下去,就能找到最优点.6.2 单因素优选法单因素优选法5.多峰情况的处理 若目标函数是多峰(指的是有多个局部最优点)情况,可以采取以下方法处理:(
23、1)开始找一个峰,若达到要求,先采用,然后再找其它峰.(2)先做一批分布得比较均匀的试验,若发现有多个峰,则在每个可能出现高峰的范围内做试验,把所有峰都找出来.6.2 单因素优选法单因素优选法6.3 6.3 多因素优选法多因素优选法6.3 多因素优选法多因素优选法概述概述 处理多个因素的优选方法称为多因素优选法。特别地,处理两个因素的优选方法称为双因素优选法,其本质上是通过试验找出二元函数的最大值(或最小值)及其对应的最大点(或最小点)。常用的多因素优选法有:纵横对折法,平行线法,坐标轮换法,陡度法,等等。本节我们结合实例介绍双因素优选问题的纵横对折法.6.3 多因素优选法多因素优选法例6.2
24、 考虑6.2中的问题3.记乙醇水溶液浓度为x%,用量为y%,由所给资料可知,(,),)5090,3070 xyxyxy蜽=(先横向对折,即将用量固定在50%,用单因素的0.618法选取最优浓度为80%(图6.5中点3);然后纵向对折,将浓度固定在70%,用单因素的0.618法对用量进行优选,试点9最好.比较点3与点9的试验结果,点3比点9好.于是,丢掉试验范围左边的一半.见图6.6.在剩下的试验范围内再纵向对折,将浓度固定在在剩下的试验范围内再纵向对折,将浓度固定在80%,对用量进行优选对用量进行优选.试验了试验了11,12两个点,结果都不如点两个点,结果都不如点3好,于是找到了好点,就是点好
25、,于是找到了好点,就是点3.试验结束试验结束.我们找到乙醇我们找到乙醇水溶液的最佳浓度为水溶液的最佳浓度为80%,最佳用量为,最佳用量为50%.试验方案试验方案与数据见表与数据见表6.2.6.3 多因素优选法多因素优选法表表6.2试验方案与数据试验方案与数据多于两个因素的情况,可以采用多于两个因素的情况,可以采用“降维法降维法”处理处理.6.3 多因素优选法多因素优选法6.4 6.4 优选法的本质优选法的本质 函数极值问题函数极值问题 1.间接最优化方法 使用条件是:已知目标函数表式 ;目标函数 在可行区域上 连续可微,有许多算法还要求目标函数 具有某种凸性和二次连续可微性.即使求出解,还要判
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