（精品课件）31不等式与不等关系.ppt

1、引例：引例：1、三角形三边之间的关系。三角形三边之间的关系。2、同班同学身高之间的关系。同班同学身高之间的关系。3、公路上各种车辆的速度之间的关系。公路上各种车辆的速度之间的关系。同学们，你能不能再举出一些同学们，你能不能再举出一些存在着不等关系的例子呢存在着不等关系的例子呢?1、今天的天气预报说：明天白天的最高今天的天气预报说：明天白天的最高温度为温度为13；2、a是一个非负实数。是一个非负实数。白天的气温白天的气温t t与与1313之间存在不等关系之间存在不等关系请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等请同学们指出下列问题中哪两者之间存在着不等关系？关系？a的取值与的取值与0 0之间存在

2、不等关系之间存在不等关系3、右图是限速右图是限速40km/h的路标，指示的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度速度v不超过不超过40km/h。40汽车的速度汽车的速度v v 与与40km/h40km/h之间存在不等关系之间存在不等关系 这样的一些符号来表示。那么这样的一些符号来表示。那么同学们，你能不能用这些符号把上述关系表示同学们，你能不能用这些符号把上述关系表示出来呢？出来呢？，现实生活中的这些不等关系我们常用现实生活中的这些不等关系我们常用1、今天的天气预报说：明天白天的最高今天的天气预报说：明天白天的最高温度为温度为13；2、a是一个非负实数。

3、是一个非负实数。白天的气温白天的气温t t与与1313之间存在不等关系之间存在不等关系a的取值与的取值与0 0之间存在不等关系之间存在不等关系3、右图是限速右图是限速40km/h的路标，指示的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度速度v不超过不超过40km/h。40汽车的速度汽车的速度v v 与与40km/h40km/h之间存在不等关系之间存在不等关系t13a0v40不等式的定义：不等式的定义：像这样用不等号表示不等关系的式子就叫不像这样用不等号表示不等关系的式子就叫不等式。等式。小常识：小常识：“不等号不等号”是英国数学家哈里奥特是英国数学家哈里奥特（

4、T.Harriot）于于1631年开始使用的，但当时并没年开始使用的，但当时并没有被数学界所接受，直到有被数学界所接受，直到100多年后，才逐渐成为多年后，才逐渐成为标准的应用符号。标准的应用符号。其中其中“”连结的不等式叫严格不等式。连结的不等式叫严格不等式。用用“”“”或或“”“”连结的不等式叫非严格不等式。连结的不等式叫非严格不等式。感悟体验感悟体验1 1：2008年年9月月25日日9时，我国时，我国“神舟七号神舟七号”载载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的又一飞天梦想，这是自华民族千年的又一飞天梦想，这是自1970年年4月月

5、4日成功发射日成功发射“东方红一号东方红一号”人造卫星以来，我国人造卫星以来，我国航天史上又一新的里程碑，我国已成为继俄、美航天史上又一新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家。射载人飞船的国家。ssabss近地点远地点a与b进行比较800090347200“神舟七号”（b）1731142384439“东方红一号”（a）质量m/kg绕地球一周t/min/km/km“东方红一号东方红一号”与与“神舟七号神舟七号”部分参数对比表部分参数对比表“东方红一号东方红一号”与与“神舟七号神舟七号”部分参数的对比见下表

6、，请把表格部分参数的对比见下表，请把表格补充完整。补充完整。abssabttabmmabssabssabttabmm分析：分析：观察参数对比可以发现观察参数对比可以发现，这些不等式关系，从而说明这些不等式关系，从而说明“神舟七号神舟七号”飞飞船比船比“东方红一号东方红一号”卫星在很多方面都有了卫星在很多方面都有了较大的发展。较大的发展。感悟体验感悟体验2 2 设点设点A与平面的距离为与平面的距离为d，B为为平面上的任意一点，你能用不等式平面上的任意一点，你能用不等式表示表示 AB 与与d之间的不等关系吗？之间的不等关系吗？分析：分析：dAB 生活小实验：生活小实验：b b克糖水中有克糖水中有a

7、 a克糖（克糖（b ba a0 0），），若再添上若再添上m m克糖（克糖（m m0 0），），未达到饱和的情况下，未达到饱和的情况下，糖水变甜了。糖水变甜了。你你能根据这一事实提炼一个不等式吗？能根据这一事实提炼一个不等式吗？amabmb分析：分析：感悟体验感悟体验3 3 典型例题：典型例题：例例1、某运输公司接受了向抗震救灾地区每某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送天至少送180吨支援物资的任务。已知该公吨支援物资的任务。已知该公司有司有8辆载重辆载重6吨的吨的A型卡车和型卡车和4辆载重为辆载重为10吨的吨的B型卡车，有型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数

8、为天往返的次数为A型卡车型卡车4次，次，B型卡车型卡车3次。次。列出调配车辆的数学关系式。列出调配车辆的数学关系式。分析：分析：设需设需A型卡车型卡车x辆，辆，B型卡车型卡车y辆，依据题意应有如辆，依据题意应有如下不等关系：下不等关系：（1）出车辆数不得超过）出车辆数不得超过10辆；辆；（2）运输物资不得少于）运输物资不得少于180吨；吨；（3）每种类型的车辆数受实际条件限制。）每种类型的车辆数受实际条件限制。我们还可以借助表格使问题明朗化，表格我们还可以借助表格使问题明朗化，表格如下如下:A型B型限制车辆数xy10运输物资24x30y18010243018084xyxyxy答案：答案：说明：

9、说明：1 1、分析好各不等关系的内在联系，是用分析好各不等关系的内在联系，是用不等式（组）表示不等式（组）表示不等关系不等关系的前提。的前提。2 2、在不等关系不容易提炼的情况下，可在不等关系不容易提炼的情况下，可以借助表格使问题明朗化。以借助表格使问题明朗化。感悟体验感悟体验4 4 某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4000mm4000mm的钢的钢管截成管截成500mm500mm和和600mm600mm的两种规格。按照生产的两种规格。按照生产的要求，的要求，600mm600mm的钢管的数量不能超过的钢管的数量不能超过500mm500mm钢管的钢管的3 3倍。怎样写出满足上述所有不等关系倍。

10、怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？的不等式呢？分析：设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根5006004000300 xyxyxy500mm 600mm限制条件根数xyy不能超过x的3倍长度500 x600y4000 感悟体验感悟体验5、某厂使用两种零件某厂使用两种零件A、B，装配两种产，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多品甲、乙，该厂的生产能力是月产量甲最多2500件，件，月产量乙最多月产量乙最多1200件，而组装一件甲需要件，而组装一件甲需要4个个A，2个个B；组装一件乙需要；组装一件乙需要6个个A，8个个B。某个月，该厂能用。某个月，该厂能用的的A最多有

11、最多有14000个，个，B最多有最多有12000个。用不等式将个。用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来。甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来。分析：分析：设甲、乙两种产品产量分别为设甲、乙两种产品产量分别为x，y件，则件，则甲x乙y限制需要A 4x6y14000需要B2x8y12000限制25001200025000120046140002812000 xyxyxy025000120023700046000 xyxyxy 即即 由表格可知由表格可知yx yg x例例2 2、如图，如图，反映了某公司产品的销售收入反映了某公司产品的销售收入万元与销售量吨的函数关系吨的函数关系，反映了该公

12、司产品的销售成本与销售量反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，的函数关系，试问：（试问：（1）当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于）当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成本）；成本）；（2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）？yf xxxy yfx yg xabO分析：分析：公司的赢亏问题实质是销售收入与销售成公司的赢亏问题实质是销售收入与销售成本的问题。找出销售量为多少时，该公司的销售本的问题。找出销售量为多少时，该公司的销售收入与销售成本相等，依据图象容易得到。收入与销售成本相等，依据图象容易得到。xa f xg x0 xa

13、 f xg x1、当销售量大于当销售量大于a 吨时，即吨时，即时，公司盈利，即时，公司盈利，即2、当销售量小于当销售量小于a 吨时，即吨时，即时，公司亏损，即时，公司亏损，即。答案：答案：说明：说明：函数图象容易得到，特别是函数图象容易得到，特别是函数图象已经给出的时候，利用数函数图象已经给出的时候，利用数形结合的思想可以简化解题步骤。形结合的思想可以简化解题步骤。()yf xx感悟体验感悟体验6 6：反映了某种杂志的销售总收入与反映了某种杂志的销售总收入与市场价格市场价格 的函数关系，试问当市场价格的函数关系，试问当市场价格为多少时，该杂志的销售总收入不低于为多少时，该杂志的销售总收入不低于

14、20万元。万元。Oab20 x/元y/万元 yfx分析分析：找出市场价格是多少时，该杂志的销找出市场价格是多少时，该杂志的销售总收入为售总收入为20万元，依据图象容易得到。万元，依据图象容易得到。答案：答案：当当 时，该杂志的销时，该杂志的销售总收入不低于售总收入不低于20万元。万元。axb1、像、像“神舟七号神舟七号”的质量大于的质量大于“东方红一号东方红一号”的质量是常量与常量之间的不等关系；的质量是常量与常量之间的不等关系；4、像截得两种钢管的总长度不能超过、像截得两种钢管的总长度不能超过4000mm是一组变量之间的不等关系。是一组变量之间的不等关系。说明：在数学意义上，不等关系主要体说

15、明：在数学意义上，不等关系主要体现在如下四个方面；现在如下四个方面；0 a x f x g x3、像产品销量、像产品销量 时时 ，销售收销售收入入 大于销售成本大于销售成本 是变量与变量之是变量与变量之间的不等关系；间的不等关系；2、像汽车的速度、像汽车的速度v不超过不超过40km/h是变量是变量与常量之间的不等关系；与常量之间的不等关系；课堂小结课堂小结：1不等关系是普遍存在的不等关系是普遍存在的2用不等式（组）来表示不等关系用不等式（组）来表示不等关系注意分析各不等关系之间的内在联系，注意分析各不等关系之间的内在联系，必要时可以借助表格。必要时可以借助表格。学习研究不等式的意义在于客观现实

16、中存在大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。不等式中的量可以是常量也可以是变量。如果如果 a-b 是正数，则是正数，则 a b；如果；如果 a b，则，则a-b为正数；为正数；如果如果 a-b 是负数，则是负数，则 a b；如果；如果 a x2.练习练习1：比较比较(a+3)(a-5)与与(a+2)(a-4)的大小的大小.(a+3)(a-5)0，即即 (x2x)(x2)0，作差作差 变形变形 判断符号判断符号 确定大小确定大小性质性质12.2.不等式的性质：不等式的性质：abba证明：证明：，所以因为0,baba,0)(ba所以,0 ab即.ab 所以abba（对称性）

17、（对称性）性质性质2,a bb ca c 00cbbacbba，0)()(cbba.0caca证明：证明：cacbba,（传递性）（传递性）.,acabbc练习练习2：求证：求证：性质性质3a ba c b c ,ba 因为证明：证明：,0)()(bacbca所以.cbca所以cbcaba练习练习3：求证：求证：.bcacba(可加性可加性),0a bcac bc,0a bcac bc 性质性质4证明：证明：,0,0,cbaba又得由,0,0)(bcaccba即所以.bcac 所以bcacba(可乘性可乘性)性质性质5：如果：如果 且且 ，那么那么 （相加法则）（相加法则）证：证：ba dc

18、dbcadbcadbcbdccbcaba性质性质6：如果如果ab0，cd0，则，则acbd.证明：因为证明：因为ab，c0，所以，所以acbc，又因为又因为cd，b0，所以，所以bcbd，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 acbd。._0,0bdacdcba练习练习4：b0，则，则anbn，(nN+，n1).证明：因为证明：因为 000ababnab 个，个，根据性质根据性质6，得，得anbn.性质性质8：如果如果ab0，则，则，(nN+，n1).nnab证明：用反证法，假定证明：用反证法，假定 ，即，即 或或 ，nnabnnabnnab 根据性质根据性质4的推论的推论2和根式性质，得和根式性质，得ab矛盾，因此矛盾，因此nnab例例2.已知已知 a b 0,c b 0,于是于是,11abbaba即即.11ab由由 c 0,ab10.思考？能否用作差法证明？小小 结结1.现实世界和日常生活中存在着大量的现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系不等关系.2.用不等式或不等式组表示不等关系用不等式或不等式组表示不等关系.3.对比等式性质得到不等式的性质，并对比等式性质得到不等式的性质，并给予证明给予证明.