广西省南宁市2023届高中毕业班第二次适应性测试理科数学试卷+答案.pdf

1、1 南宁市南宁市 2023 届高中毕业班第二次适应性测试参考答案届高中毕业班第二次适应性测试参考答案 理科数学理科数学 一、选择题一、选择题 1.C；2.B；3.B；4.B；5.D；6.C；7.A；8.D；9.A；10.D；11.A；12.D【12.详解】因为详解】因为2,2，所以，所以cos2(1,0)，所以，所以cos(cos2)0,sin(cos2)0，可得可得ab.构造函数构造函数()sinf xxx，则，则()cos1 0fxx，所以，所以()f x在在R上单调上单调递减，当递减，当0 x时，时，()(0)0f xf，所以，所以sinxx，可知，可知sin(cos2)cos2，即，即

2、cos2a，又又22cos22cos 1 1cos2ln(cos1)2cos 1 1，c，又，又10,3.所以所以1cos1,12，设函数设函数2()ln21g xxx，则，则211 4()4xg xxxx，当，当1,12x时，时，()0()，g xg x在在1,12上 单 调 递 减，则上 单 调 递 减，则1111()ln1ln202222 g xg，可 知，可 知2ln(cos1)2cos 1 10，所以，所以cos2c.综上，综上，cab.二、填空题二、填空题 13.【答案】【答案】4 14.【答案】【答案】或或（至少正（至少正确写出一个方程）确写出一个方程）15.【答案】答案】112

3、9.16.【答案】【答案】228【16.详解】当详解】当1 1,2 2 x时，有时，有211 24(2)1 2 nxxxx,123333111 nxxxx,则则 21 24(2)nxxx,则则9a为为31(12)xxx展开式中展开式中9x的系数，的系数，8356291(2)(2)(2)228 xxxxxxx,9228a.280 xy220 xy31(12)xxx3631nxxxx2 三、解答题三、解答题 17.记记nS为各项均为正数的等比数列为各项均为正数的等比数列 na的前的前n项和，项和，37S且且324,3,aa a成等成等差数列差数列.（1）求）求 na的通项公式；的通项公式；（2）设

4、）设221lognnnbaa，求，求 nb的前的前n项和项和nT.解解:(1)设数列设数列 na的首项为的首项为1a,公比为公比为q,则则23211317aaaSaqq 1 分分【备注【备注 1】正确写出】正确写出“2117aqq”、“31171aqq”之一，给之一，给 1 分。分。因为因为324,3,aa a成等差数列成等差数列,则则234=+6aaa即即231116aqaqaq1 分分【备注【备注 2】正确写出正确写出“234=+6aaa”、“231116aqaqaq”之一，给之一，给 1 分。分。故联立故联立可得可得260qq,解得解得2q 或或3 q(舍舍).2 分分(4 分分)【备注

5、【备注 3】正确写出】正确写出“260qq”、“2q ”之一，可给之一，可给 2 分。分。111,2nnaa.2 分分(6 分分)【备注【备注 4】正确写出】正确写出“12nna”给给 2 分分.(2)由由221lognnnbaa得得1222 nnnbnn.1 分分 则则12311+1 22 23 2+2nnnTbbbn 1 分分(8 分分)所以所以234121 22 23 22nnTn 1 分分【备注【备注 5】写出能体现将】写出能体现将式两边同乘以式两边同乘以 2 的方法的方法,给给 1 分分.得得.1 分分(10 分分)【备注【备注 6】正确写出正确写出“”、“”、“两式相减两式相减”之

6、一，给之一，给 1 分。分。则则12311112 1 22222222221 2nnnnnnnTnnn 1 分分【备注【备注 7】见见“1232222n”、“12nn”、“11222nnn”之一，给之一，给 1 分。分。3 1(1)22nnTn1分（分（12分）分）【备注【备注 8】正确写出正确写出“1(1)22nn”、“11222nnn”之一，给之一，给 1 分。分。18.如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABMN中，中，PMN是边长为是边长为 1 的正三角形，面的正三角形，面PMN面面,/AMN AN BM，,22,ANNP ANBMC为为PA的中点的中点.（1）求证）求证:/BC平面平面PM

7、N;（2）线段）线段PA上是否存在点上是否存在点F，使二面角，使二面角FMNP的余弦值为的余弦值为20167，若存在，求，若存在，求PF.若不若不存在，请说明理由。存在，请说明理由。解：解：(1)证明证明:取取PN中点中点E，连接，连接CE和和ME.1 分分 C为为PA中点，中点，/CEAN且且12CEAN.1 分分【备注【备注 1】见】见“/CEAN”给给 1 分。分。/BMAN且且12BMAN/BMCE且且BMCE1 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“/BMCE”给给 1 分。分。四边形四边形BMEC为平行四边形为平行四边形,则则/BCEM 1 分分 4 【备注【备注 3】见】见“

8、/BCEM”给给 1 分。分。EM面面，PMNBC面面，PMN/BC面面PMN1 分分(5 分分)【备注【备注 4】若缺少写出】若缺少写出“BC 面面，PMN”扣扣 1 分分.(2)取取MN中点中点O，连接，连接PO,则等边则等边PMN中中POMN.面面PMN面面AMN,面面PMN面面AMNMN PO面面AMN,可得可得POAN.又又,ANNP PONPPAN面面PMN.1 分分【备注【备注 5】正确写出】正确写出“AN面面PMN”，才给，才给 1 分。分。以以N为坐标原点，为坐标原点，,NA NM Nz为为,x y z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，13(0,0,0),(0,1,

9、0),(2,0,0),0,22NMAP1 分分(7 分分)【备注【备注 6】至少正确写出非原点外】至少正确写出非原点外 1 个点坐标个点坐标,可给可给 1 分分.设设PFPA，则，则11332,2222F 依题意可得平面依题意可得平面PMN的法向量为的法向量为(1,0,0)m，1 分分(8 分分)设平面设平面MNF的法向量为的法向量为(,)nx y z，则，则0 0NM nNF n 取取(3(1),0,4)n.2 分分(10 分分)【备注【备注 7】正确写出】正确写出“(3(1),0,4)n”给给 2 分分;若法向量结果不正确若法向量结果不正确,但前面但前面出现出现“0 0NM nNF n”可

10、给可给 1 分。分。二面角二面角FMNP为为，则，则|cos|m nm n1 分分【备注【备注 8】正确写出公式】正确写出公式“|cos|m nm n”、“cos|m nm n”之一，给之一，给 1 分。分。5 2|3(1)|2016719632,23（舍）（舍）则则2 53PF.1 分分(12 分分)【备注【备注 9】正确写出】正确写出“2 53PF”给给 1 分。分。解法二：（解法二：（1）如图所示：取）如图所示：取AN的中点的中点Q，连接，连接BQCQ，.1 分分 在在ANP，CAPQAN为中点，为中点,/CQPN PNPNM 平面/CQPNM平面.1 分分(2 分分)/1CQPNM（说

11、明1：见平面给 分）/,22,ABMNANBM ANBMQAN在四边形中，为中点,1,/QNBNQNBM BMNQ四边形为平行四边形/BQMN/BQPMN平面.1 分分(3 分分)/1BQPMN（说明2：见平面给 分）BQCQQ又/CQBPMN平面平面.1 分分/BCPMN平面.1 分分(5 分分)/1CQBPMN（说明3：若是没有平面平面，则扣 分）（2）取）取MN的中点的中点O，连接，连接PO，则在等边，则在等边PMNPOMN中，PMNAMNPMNAMNMN平面平面，平面平面 POAMNPOAN平面，可得 ANNPPONPP，ANPMN 平面.1 分分(6 分分)1ANPMN（说明4：见平

12、面可给 分）取取AB的中点的中点E，以，以O为原点，分别以为原点，分别以OEOMOP、为为x轴、y轴、z轴建立空间建立空间 直角坐标系，如图所示：直角坐标系，如图所示：y6 则则11311(0,0),(0,0),(0,0,),(2,0),(1,0)22222MNPAB 13(0,1,0),(2,),(1,0,0)22MNAPMB.1 分分(7 分分)（说明（说明 5：正确建立空间直角坐标系，且至少正确写出非原点外的一个点坐：正确建立空间直角坐标系，且至少正确写出非原点外的一个点坐标，可给标，可给 1 分）分）由已知由已知(1,0,0)MB是平面是平面PMN的一个法向量，记为的一个法向量，记为(

13、1,0,0)m.1 分分(8 分分)假设线段假设线段PAF上存在点 满足已知条件，则有，则有,1AFAP且0 设设000(,)F xyz，有，有0001(2,)2AFxyz000113(2,)(2,)222xyz 00011322,222xyz，即，即113(22,)222F 113(22,)222OF 设平面设平面FMN的一个法向量为的一个法向量为(,)nx y z，则，则00MN nOF n 3(,0,22)2取n.2 分分(10 分分)3(,0,22)2201)0nMN nOF n说明6：正确写出给 分；若法向量结果不正确，但前面出现可给 分 223002012cos,6731(22)4

14、m n 由已知得 整理得整理得2241216088040，即化简得，即化简得23210 解得解得11()3，舍去.1 分分 7 13PAFAFAP线段上存在点，当时，已知条件成立 134544AP22 5533PF.1 分分(12 分分)求平面求平面FMN的一个法向量的另一种解法：的一个法向量的另一种解法：3010(,0,22)211322222ijkMNOF 3(,0,22)2MNFn平面的一个法向量可取（说明（说明 7：得出正确法向量给：得出正确法向量给 2 分；若是正确列出行列式，但法向量结果不分；若是正确列出行列式，但法向量结果不正确可给正确可给 1 分）分）第（第（2）小题的另一种解

15、法：几何法）小题的另一种解法：几何法/EANEGNM作F，,MNFE MNEG EFEGEMNFNGMNFGFGEFMNP平面为二面角的平面角.1 分分(7 分分)（说明（说明 8：正确做出二面角的平面角和证明给：正确做出二面角的平面角和证明给 2 分，若只是正确做出平面角分，若只是正确做出平面角可给可给 1 分）分）,2,1EFPEPEaANPEFaNEaNAPN 设在中，32NEEQaNOPEQNPPO（1-）在中，由得=.1 分分(8 分分)2018costan673FGEFGE由已知得.1 分分(9 分分)28tan3(1)32EFaFEGFGEEGa在直角三角形中，8 23a.1 分

16、分(10 分分)145ANPAP 在直角三角形中，.1 分分 2 53PEPEANPPFPAPN所以在中，由得.1 分分(12 分分)19.随着科技的不断发展，随着科技的不断发展，“智能手机智能手机”已成为人们生活中不可缺少的必需品，已成为人们生活中不可缺少的必需品，下表是年广西某地市手机总体出货量下表是年广西某地市手机总体出货量(单位：万部单位：万部)统计表统计表.并计算求得并计算求得513.7 iiixxyy.（1）已知该市手机总体出货量）已知该市手机总体出货量y与年份代码与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，之间可用线性回归模型拟合，求求y关于关于x的线性回归方程；的线性回归方程；（2）

17、预测）预测 2023 年该市手机总体出货量年该市手机总体出货量.附附:线性回归方程线性回归方程yabx中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为121,niiiniixxyybxx aybx.解：（解：（1）由题中统计表得）由题中统计表得1(1 2345)35 x 1 分分 1(4.94.1 3.93.23.5)3.925y.1 分分 52110iixx.2 分分(4 分分)【备注【备注 1】写出正确结果】写出正确结果“3”、“3.92”、“10”，依次各给，依次各给 1 分、分、1 分、分、2 分。分。9 由题意得由题意得515213.70.3710 iiiii

18、xxyybxx.2 分（分（6 分）分）【备注【备注 2】见】见“3.710”、“0.37”之一，给之一，给 2 分。分。5.03 aybx.1 分分【备注【备注 3】结果正确，见】结果正确，见“5.03 a”给给 1 分。分。所以所以y关于关于x的线性回归方程为的线性回归方程为0.375.03 yx.1 分（分（8 分）分）【备注【备注 4】结果正确，见】结果正确，见“0.375.03 yx”给给 1 分。分。(2)由题意得由题意得 2023 年对应的年份代码年对应的年份代码6x.1 分分(9 分分)【备注【备注 5】见】见“6x”给给 1 分。分。代人代人0.375.03 yx，得，得2.

19、81y2 分分(11 分分)【备注【备注 6】见】见“2.81y”给给 2 分。分。所以预测所以预测 2023 年该市手机总体出货量为年该市手机总体出货量为 2.81 万部万部1 分分(12 分分)【备注【备注 7】见】见“2.81 万部万部”给给 1 分。分。20.已知抛物线已知抛物线2:2(0)C ypx p经过点经过点(1,2)P，过点，过点(0,1)Q的直线的直线l与抛物线与抛物线C有两个不同交点有两个不同交点，A B，且直线，且直线PA交交y轴于轴于M，直线，直线PB交交y轴于轴于N.（1）求直线）求直线l斜率的取值范围斜率的取值范围;（2）证明）证明:存在定点存在定点T，使得，使得

20、,QMQT QNQT且且114.解解:(1)解法解法 1:将将(1,2)P代人抛物线得代人抛物线得22,4pyx.2 分分【备注【备注 1】写出】写出“24yx”,给给 2 分分.若结果不准确若结果不准确,但写出但写出“2p”,可给可给 1 分分 依题意可设依题意可设1111,A x yB x y,直线直线:1(0)l ykxk.1 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“1ykx”,可给可给 1 分分 联立直线联立直线l与抛物线与抛物线24yx得得:22(24)10 k xkx,10 则则122122421kxxkx xk.1 分分【备注【备注 3】正确写出】正确写出“12242kxxk”

21、、“1221x xk”之一，给之一，给 1 分。分。由由00002121xxxxk得得01kk且1 分分(5 分分)【备注【备注 4】正确写出】正确写出“00k ”、“10kk 且”之一，给之一，给 1 分。分。又直线又直线PA交交y轴于轴于M，直线，直线PB交交y轴于轴于N，所以直线不能，所以直线不能 过过(1,2)P及及(1,2),1 k且且3k，综上综上(1,0)(0,3)(3,)k 1 分（分（6 分）分）【备注【备注 5】见】见“(1,0)(0,3)(3,)k”、“10k 或或03k或或3k”之一，之一，可给可给 1 分。分。(1)解法解法 2：将：将(1,2)P代人抛物线得代人抛物

22、线得22,4pyx.2 分分【备注【备注 1】写出】写出“24yx”,给给 2 分分.若结果不准确若结果不准确,但写出但写出“2p”,可给可给 1 分分 依题意可设依题意可设1111,A x yB x y,直线直线:1(0)l ykxk.1 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“1ykx”,可给可给 1 分分 =，得得：=，.1 分分(4 分分)【备注【备注 3】只要联立方程消去】只要联立方程消去 x 后的方程正确即可得这后的方程正确即可得这 1 分。分。则则 =+,得得 且且 .1 分分(5 分分)【备注【备注 4】写出】写出 =+,或或 且且 其中之一给其中之一给 1 分分 又直线又直

23、线PA交交y轴于轴于M，直线，直线PB交交y轴于轴于N，所以直线不能，所以直线不能 过过(1,2)P及及(1,2),1 k且且3k，11 综上综上(1,0)(0,3)(3,)k 1 分（分（6 分）分）【备注【备注 5】见】见“(1,0)(0,3)(3,)k”、“10k 或或03k或或3k”之一，之一，可给可给 1 分。分。(2)设点设点0,0,MNMyNy，由，由,(0,1)QMQTQNQTQ，则可设则可设(0,)Tt0,1,(0,1).MQMyQTt,1(1)MQMQTyt 故故111Mty 1 分分 同理同理:111Nty.1 分分(8 分分)【备注【备注 6】见】见“111Mty”、“

24、111Nty”各给各给 1 分。分。11124,12PAykxy直线直线14:2(1)2PA yxy，令令0 x得得1122Myyy1 分分 同理同理2222Nyyy，1 分（分（10 分）分）【备注【备注 7】见】见“1122Myyy”、“2222Nyyy”各给各给 1 分。分。2121221111(1)(1)12 2 1NMyyttttyyyy，12121212222811(1)12222yyy yttyyyy（）1 分分(11 分分)【备注【备注 8】若】若+最终表达式不准确最终表达式不准确,但表达式中出现但表达式中出现+或或 其中其中之一之一,也可给也可给 1 分。分。12 88(1)

25、2(1)444kttk 3 t 所以存在点所以存在点(0,3)T满足题意满足题意.1 分分(12 分分)【备注【备注 9】见】见“(0,3)T”即给即给 1 分分;21.已知函数已知函数2()21xf xeaxax，其中，其中a为常数，为常数，e为自然对数底数，为自然对数底数，2.71828e，若函数，若函数()f x有两个极值点有两个极值点12,x x.（1）求实数）求实数a的取值范围的取值范围;（2）证明证明:12112xx .解：解：(1)2()21()22，xxf xeaxaxf xeaxa，1 分分【备注【备注 1】求导结果正确】求导结果正确,见见“()22xfxeaxa”给给 1

26、分分.令令()()22xxfxeaxa，则，则()2xxea.因因()f x有两个极值点有两个极值点12,x x，故，故()22xxeaxa有两个零点有两个零点.1 分分(2 分分)若若0a，则，则()0()，xx单调递增，不可能有两个零点单调递增，不可能有两个零点.1 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“若若0a,不可能有两个零点不可能有两个零点”可给可给 1 分分.所以所以0a，令，令()20 xxea得得ln2xa 当当(,ln2)xa时，时，()0()，xx单週递减；单週递减；当当(ln2,)xa时，时，()0()，xx单调递增；单调递增；所以所以min()(ln2)42 ln

27、2（）xaaaa.1 分分(4 分分)【备注【备注 3】见】见“min()42 ln 2（）xaaa”给给 1 分分.因为因为()x有两个零点，所以有两个零点，所以42 ln 20（）aaa，则，则212ae.又又21(0)20,(1)02aeae.1 分分(5 分分)【备注【备注 4】见】见“212ae”给给 1 分分.(2)设设12xx，因为，因为2(1)0,(2)20eea，则，则1212xx.1 分分(6 分分)13 因为因为 120 xx，所以，所以12122222，xxeaxaeaxa.1 分分 则则212111xxxeex，取对数得，取对数得2121ln1ln1xxxx.令令11

28、221,1 xt xt，则，则221211lnln2lntttttt1 分分(8 分分)【备注【备注 5】见】见“221211lnln2lntttttt”给给 1 分分.今今2(1)()ln(1)1tF tttt.1 分分(9 分分)【备注【备注 6】构造函数】构造函数,见见“2(1)()ln(1)1tF tttt”给给 1 分分.则则2(1)2(1)()0()ln(1)1，ttF tF ttt tt在在(1,)上单週递增上单週递增.则则2(1)2(1)()ln(1)0,ln11ttF ttFttt.1 分分(10 分分)【备注【备注 7】见】见“2(1)ln1ttt”给给 1 分分.则则21

29、2122112211212ln241tttttttttttt.1 分分(11 分分)两边约去两边约去21tt后化简整理后化简整理 得得122tt，即，即12112 xx.1 分分(12 分分)理理 21.21.第一问解法二：第一问解法二：（1 1）()=+,()=+,.1.1 分分 由题意知，由题意知，()=+=0=0 有两个根，即有两个根，即=()设设()=，()=()，即函数即函数()与与()有两个不同交点有两个不同交点.1.1 分（分（2 2 分）分）（注：只要见“两个根”或“两个不同交点”）即可得（注：只要见“两个根”或“两个不同交点”）即可得 1 1 分分 设过点（设过点（1,01,

30、0）的直线与）的直线与y y=h h（x x）相切的切点为）相切的切点为（,）,14 ()=,则有则有=，1 1 分（分（3 3 分）分）解得：解得：=，此时切线斜率为：，此时切线斜率为：()=1 1 分（分（4 4 分）分）当当()=()斜率大于斜率大于时时=()与与=（）有两个交点有两个交点,则则 ，故有故有 1 1 分（分（5 5 分）分）22.在在直角坐标系直角坐标系xOy中已知曲线中已知曲线cos:2sinxCy(为参数为参数)，直线，直线1:32 xtlyt(t为参数为参数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线）

31、求曲线C和直线和直线l的极坐标方程的极坐标方程;（2）点）点P在直线在直线l上，射线上，射线OP交曲线交曲线C于点于点R，点，点Q在射线在射线OP上，且满足上，且满足25|4|OROP OQ，求点，求点Q的轨迹的直角坐标方程的轨迹的直角坐标方程.15 解解:(1)因为曲线因为曲线cos:2sinxCy(为参数为参数),所以曲线所以曲线C的普通方程为的普通方程为2214yx.1 分分 因为因为cos,sinxy1 分分【备注【备注 1】见】见“cosx”、“siny”之一之一,可给可给 1 分。分。所以曲线所以曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为2222sincos14.即即22244cossin

32、.1 分分(3 分分)因为直线因为直线1:32 xtlyt(t为参数为参数)则直线则直线:250lxy.1 分分 直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为2 cossin50.1 分分(5 分分)(2)设点设点Q的极坐标为的极坐标为(,)Q,1 分分 则则22245|,|4cossin2cossinOROP1 分分(7 分分)【备注【备注 2】见】见“2224|4cossinOR”、“5|2cossinOP”之一之一,给给 1 分。分。代人代人25|4|OROPOQ得得225 44 54cossin2cossin1 分分 即即2222 cossin4cossin,则则22224cossin2 c

33、ossin1 分分 所以点所以点Q轨迹直角坐标方程为轨迹直角坐标方程为2242xyxy.1 分分(10 分分)【备注【备注 3】正确写出结果】正确写出结果“2242xyxy”且有一定的过程且有一定的过程,即可给即可给 3 分分.若结果不准确若结果不准确,就按标准给分就按标准给分.23.已知已知,a b c均为正数，且均为正数，且222234abc，证明，证明:（1）若）若ac，则，则22ab;（2）232 6abc.证明证明:(1)222234,abcac22424ab1 分分【备注【备注 1】见】见“22424ab”、“2222ab”之一之一,给给 1 分。分。22422 22abab2 分

34、分(3 分分)16 【备注【备注 2】见】见“22422 22abab”、“2222 2abab”之一之一,可给可给 2 分。分。当且仅当当且仅当2,12ab时取等号时取等号.1 分分【备注【备注 3】见】见“22a”、“1b”之一之一,可给可给 1 分。分。4 2 22ab,即即22ab.1 分分(5 分分)(2),a b c均为正数均为正数,且且222234,abc由柯西不等式得由柯西不等式得 2222222231(2)(3)(23)abcabc.2 分分(7 分分)2(23)4 6abc.1 分分 232 6abc,当且仅当当且仅当63abc时取等号时取等号2 分分(10 分分)【备注【备注 4】漏写】漏写“63abc”扣扣 1 分。分。