广西省南宁市2023届高中毕业班第二次适应性测试文科数学试卷+答案.pdf

1、 1 南宁市南宁市 2023 届高中毕业班第二次适应性测试参考答案届高中毕业班第二次适应性测试参考答案 文科数学文科数学 一、选择题一、选择题 12.D 解：依题意解：依题意,因为因为()g x为偶函数为偶函数,所以所以()()g xgx,所以所以()()g xgx,所以所以()g x为奇函数且为奇函数且(0)0g,因为因为()()2,()(4)2 f xg xf xgx,令令2x,则有则有(2)(2)2(2)(42)2 fgfg,解得解得(2)2f.因为因为()(4)2 f xgx,所以所以(4)()2 f xgx,又又()()g xgx,所以所以(4)()2 f xg x 由由()()2(

2、4)()2 f xg xf xg x，得，得()(4)f xf x,所以所以()f x是以是以 4 为周期的周期函数为周期的周期函数,所以所以(2022)(2)2ff,所以所以(2022)24f.故选：故选：D 二、填空题二、填空题 13.4 14.280 xy或或220 xy（正确写出一个方程可给（正确写出一个方程可给 5 分）分）15.7 16.8 23 解解:将将ACD沿沿AD翻折到与翻折到与ABD共面得到平面四边形共面得到平面四边形ABDC如图如图 1 所示所示.设设CDx,由题意得由题意得:10C B,在在 C BD中中,由余由余弦定理得弦定理得:2222cos135C BC DBD

3、C D BD 即即2222(10)(2)222 xx,即即2280 xx,解得解得2x或或4x(舍去舍去),将三棱锥将三棱锥ABCD补成长方体如图补成长方体如图 2 所示所示 该棱锥的外接球即为长方体的外接球该棱锥的外接球即为长方体的外接球,题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 C D B C D B C C A A C D 2 则外接球的半径为则外接球的半径为:2221(2)(2)222R,所以外接球的体积为所以外接球的体积为348 233VR,故答案为故答案为:8 23 三、解答题三、解答题 17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天

4、知识竞为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有赛活动，共有 100 人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间间 50,100，将他们的成绩，将他们的成绩(满分满分 100 分分)分成五组依次为分成五组依次为 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，制成如图所示的频率分布直方图，制成如图所示的频率分布直方图.（1）试估计这）试估计这 100 人的竞赛成绩的平均数；人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩

5、在在80,100 内的学生中随机抽取内的学生中随机抽取 6 人作为航天知识宣讲人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取 2 人作为人作为组长，求这组长，求这 2 人来自同一组的概率人来自同一组的概率.解解:(1)依题意可得依题意可得:(0.0150.0250.0350.005)101a 1 分分 解得解得:0.02a .2 分分(3 分分)【备注【备注 1】结果正确，见】结果正确，见“0.02a”可给可给 3 分；若结果不准确，但写出分；若结果不准确，但写出“(0.0150.0250.0350.005)101a”，可给，可给 1 分。分

6、。根据频率分布直方图知根据频率分布直方图知:平均数的估计值为平均数的估计值为55 0.1565 0.275 0.35 85 0.25 95 0.0573.5 所以这所以这 100 人的竞赛成绩的平均数的估计值为人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.53 分分(6 分分)【备注【备注 2】见】见“55 0.15”、“65 0.2”、“75 0.35”、“85 0.25”、“95 0.05”之一，之一，可给可给 1 分。分。【备注【备注 3】结果正确，见】结果正确，见“73.5”可给可给 2 分。分。(2)由题可知由题可知,竞赛成绩在竞赛成绩在80,90),90,100两个组中两个组中,人数之比为人

7、数之比为5:1,现采用分层现采用分层 3 抽样从中抽取抽样从中抽取 6 人人,所以每组各抽学生人数分别为所以每组各抽学生人数分别为5,1.2 分分(8 分分)【备注【备注 4】见见“每组各抽学生人数分别为每组各抽学生人数分别为5,1”各给各给 1 分分,共共 2 分分.分别记分别记80,90)中所抽取的中所抽取的 5 人编号依次为人编号依次为1,2,3,4,5,90,100中所抽取的中所抽取的 1 人编人编号为号为A所以从所以从 6 人中随机抽取人中随机抽取 2 人的情况为人的情况为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,),(2,3),(2,4),(2,5),(2,)AA,(

8、3,4),(3,5),(3,),(4,5),(4,),(5,)AAA,共共 15 种结果种结果2 分分(10 分分)【备注【备注 5】结果正确结果正确,见见“共共 15 种结果种结果”或或“共共21015C种种”,可给可给 2 分分;若结果不若结果不正确正确,但能至少列出但能至少列出 1 种情况以上种情况以上,可给可给 1 分分.其中这其中这 2 人来自同一组人来自同一组(记为事件记为事件M)的有的有 10 种种1 分分(11 分分)【备注【备注 6】结果正确结果正确,见见有有 10 种种”,可给可给 1 分分 所以所以102()153P M所以这所以这 2 人来自不同组的概率为人来自不同组的

9、概率为231 分分(12 分分)【备注【备注 7】见见“23”可给可给 1 分分.18.如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABMN中，中，PMN是边长为是边长为 1 的正三角形，平面的正三角形，平面PMN平面平面AMN,/,22ANBM ANNP ANBM,C为为PA的中点的中点.（1）求证求证:/BC平面平面PMN；（2）求）求M到平面到平面PAB的距离的距离.解：解：(1)证明证明:取取PN中点中点E，连接，连接CE和和ME.1 分分 C为为PA中点，中点，/CEAN且且12CEAN.1 分分【备注【备注 1】见】见“/CEAN”给给 1 分。分。/BMAN且且12BMAN/BMCE且且BMC

10、E1 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“/BMCE”给给 1 分。分。四边形四边形BMEC为平行四边形为平行四边形,则则/BM EM 1 分分【备注【备注 3】见】见“/BM EM”给给 1 分。分。4 EM面面，PMNBC面面，PMN/BC面面PMN1 分分(5 分分)【备注【备注 4】若缺少写出】若缺少写出“BC 面面，PMN”扣扣 1 分分.(2)解解:连接连接AM,取取MN中点中点O,连接连接PO1 分分(6 分分)【备注【备注 5】体现作图过程体现作图过程,给给 1 分分.则则等边等边PMN中中,.POMN EMPN 面面PMN面面,AMN MN面面PMN面面AMN,PO面面

11、.AMN1 分分(7 分分)【备注【备注 5】见】见“PO面面.AMN”给给 1 分分.POAN.,ANNP PONPPAN面面PMN,ANMNBMMN.11111331 1.33232212P ABMABMVSPOBM MN PO 1 分分(8 分分)【备注【备注 6】见】见“1.3P ABMABMVSPO”可给可给 1 分分.因直角梯形因直角梯形ABMN中中2AB,连接连接OB,则则225,2POOB OBOMBM,222.PBPOOB.1 分分(9 分分)22,5PBABBCAP APANNP222253(2)22BCABAC 113155.2224ABPSAPBC1 分分(10 分分)

12、【备注【备注 7】见】见“154ABPS”给给 1 分分.设设M到面到面PAB的距离为的距离为h,则则 5-1115333412P ABMMABPABPVVShh,解得解得5.5h.2分分(12分分)【备注【备注 8】结果正确】结果正确,见见“55h”即可即可给给 2 分分;若结果不正确若结果不正确,但能写出但能写出“-P ABMMABPVV”,体现等体积法体现等体积法,可给可给 1 分分.19.记记nS为各项均为正数的等比数列为各项均为正数的等比数列 na的前的前n项和，项和，37S且且324,3,aa a成等成等差数列差数列.（1）求）求 na的通项公式；的通项公式；（2）设）设221lo

13、gnnnbaa，求，求 nb的前的前n项和项和nT.解解:(1)设数列设数列 na的首项为的首项为1a,公比为公比为q,则则23211317aaaSaqq.1 分分【备注【备注 1】正确写出】正确写出“2117aqq”、“31171aqq”之一，给之一，给 1 分。分。因为因为324,3,aa a成等差数列成等差数列,则则234=+6aaa即即231116aqaqaq1 分分【备注【备注 2】正确写出正确写出“234=+6aaa”、“231116aqaqaq”之一，给之一，给 1 分。分。故联立故联立可得可得260qq,解得解得2q 或或3 q(舍舍)2 分分(4 分分)【备注【备注 3】正确

14、写出】正确写出“260qq”、“2q ”之一，可给之一，可给 2 分。分。111,2nnaa.2 分分(6 分分)【备注【备注 4】正确写出】正确写出“12nna”给给 2 分分.(2)由由221lognnnbaa得得1222 nnnbnn.1 分分 则则12311+1 22 23 2+2nnnTbbbn 1 分分(8 分分)所以所以234121 22 23 22nnTn 1 分分【备注【备注 5】写出能体现将】写出能体现将式两边同乘以式两边同乘以 2 的方法的方法,给给 1 分分.得得.1 分分(10 分分)6【备注【备注 6】正确写出正确写出“”、“”、“两式相减两式相减”之一，给之一，给

15、 1 分。分。则则12311112 1 22222222221 2nnnnnnnTnnn 1 分分【备注【备注 7】正确写出正确写出“1232222n”、“12nn”、“11222nnn”之一，之一，给给 1 分。分。1(1)22nnTn1分（分（12分）分）【备注【备注 8】正确写出正确写出“1(1)22nn”、“11222nnn”之一，给之一，给 1 分。分。20.已知抛物线已知抛物线2:2(0)C ypx p经过点经过点(1,2)P，过点，过点(0,1)Q的直线的直线l与抛物线与抛物线C有两个不同交点有两个不同交点，A B，且直线，且直线PA交交y轴于轴于M，直线，直线PB交交y轴于轴于

16、N.（1）求直线）求直线l斜率的取值范围斜率的取值范围;（2）证明）证明:存在定点存在定点T，使得，使得,QMQT QNQT且且114.解解:(1)解法解法 1:将将(1,2)P代人抛物线得代人抛物线得22,4pyx.2 分分【备注【备注 1】写出】写出“24yx”,给给 2 分分.若结果不准确若结果不准确,但写出但写出“2p”,可给可给 1 分分 依题意可设依题意可设1111,A x yB x y,直线直线:1(0)l ykxk.1 分分(3 分分)7【备注【备注 2】见】见“1ykx”,可给可给 1 分分 联立直线联立直线l与抛物线与抛物线24yx得得:22(24)10 k xkx,则则1

17、22122421kxxkx xk.1 分分【备注【备注 3】正确写出】正确写出“12242kxxk”、“1221x xk”之一，给之一，给 1 分。分。由由00002121xxxxk得得01kk且1 分分(5 分分)【备注【备注 4】正确写出】正确写出“00k ”、“10kk 且”之一，给之一，给 1 分。分。又直线又直线PA交交y轴于轴于M，直线，直线PB交交y轴于轴于N，所以直线不能，所以直线不能 过过(1,2)P及及(1,2),1 k且且3k，综上综上(1,0)(0,3)(3,)k 1 分（分（6 分）分）【备注【备注 5】见】见“(1,0)(0,3)(3,)k”、“10k 或或03k或

18、或3k”之一，之一，可给可给 1 分。分。(1)解法解法 2：将将(1,2)P代人抛物线得代人抛物线得22,4pyx.2 分分【备注【备注 1】写出】写出“24yx”,给给 2 分分.若结果不准确若结果不准确,但写出但写出“2p”,可给可给 1 分分 依题意可设依题意可设1111,A x yB x y,直线直线:1(0)l ykxk.1 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“1ykx”,可给可给 1 分分 =12=4，得得：2 4 4=0，.1 分分(4 分分)【备注【备注 3】只要联立方程消去只要联立方程消去 x 后的方程正确即可得这后的方程正确即可得这 1 分。分。则则 0=16+16

19、 0,得得 1 且 0 .1 分分(5 分分)8【备注【备注 4】正确写出正确写出 0=16+16 0,或或 1 且 0其中之一给其中之一给 1 分分 又直线又直线PA交交y轴于轴于M，直线，直线PB交交y轴于轴于N，所以直线不能，所以直线不能 过过(1,2)P及及(1,2),1 k且且3k，综上综上(1,0)(0,3)(3,)k 1 分（分（6 分）分）【备注【备注 5】见】见“(1,0)(0,3)(3,)k”、“10k 或或03k或或3k”之一，之一，可给可给 1 分。分。(2)设点设点0,0,MNMyNy，由，由,(0,1)QMQTQNQTQ，则可设则可设(0,)Tt0,1,(0,1).

20、MQMyQTt,1(1)MQMQTyt 故故111Mty 1 分分 同理同理:111Nty.1 分分(8 分分)【备注【备注 6】见】见“111Mty”、“111Nty”各给各给 1 分。分。11124,12PAykxy直线直线14:2(1)2PA yxy，令令0 x得得1122Myyy1 分分 同理同理2222Nyyy，1 分（分（10 分）分）【备注【备注 7】见】见“1122Myyy”、“2222Nyyy”各给各给 1 分。分。2121221111(1)(1)12 2 1NMyyttttyyyy，12121212222811(1)12222yyy yttyyyy（）1 分分(11 分分)

21、【备注【备注 8】若】若1+1最终表达式最终表达式不准确不准确,但但表达式中出现表达式中出现1+1或1 2其中 9 之一,也也可给可给 1 分。分。88(1)2(1)444kttk 3 t 所以存在点所以存在点(0,3)T满足题意满足题意.1 分分(12 分分)【备注【备注 9】见】见“(0,3)T”即给即给 1 分分;21.已知函数已知函数2()e,02xaxf xa.(1)若若()f x过点过点(1,0)，求，求()f x在该点处的切线方程；在该点处的切线方程；(2)若若()f x有两个极值点有两个极值点12,x x，且，且120 xx，当，当2ee2a时，证明时，证明:122xx.解解:

22、(1)已知已知2(),02xaxf xea,将将(1,0)代人得代人得02ae.则则2.ae.1 分分【备注【备注 1】见】见“2.ae”给给 1 分分.所以所以2(),()2.xxf xeexfxeex.1 分分(2 分分)【备注【备注 2】见】见“”、“().xfxeaex”之一，给之一，给 1 分分.所以所以(1)2.feee 1 分分 所以所求切线方程为所以所求切线方程为(1)ye x,即即0.exye.1 分分(4 分分)(2)(),()xfxeax f x有两个极值点有两个极值点12,x x,且且120 xx 所以所以12,x x是方程是方程0 xeax的两根的两根.1 分分 不妨

23、令不妨令()xeF xx,则则2(1)()xexF xx.令令()0F x解得解得1x.1 分分(6 分分)【备注【备注 3】见】见“令令()xeF xx”、“令令()0F x解得解得1x.”之一，给之一，给 1 分分.所以所以()F x在在(0,1)单调递减单调递减,在在(1,)单调递增单调递增.1 分分(7 分分)()2xfxeex 10【备注【备注 4】见】见“在在(0,1)单调递减单调递减”、“在在(1,)单调递增单调递增”之一，给之一，给 1 分分.其大致图像如图所示其大致图像如图所示,由图像可知当由图像可知当2(,)2eae,由由1112xxeaxeax,两边取对数得两边取对数得1

24、122lnlnlnlnxaxxax,作差得作差得1212lnln.xxxx.1 分分(8 分分)要证要证122xx,等价于证明等价于证明 1122121112122122212lnln21ln.1xxxxxxxxxxxxxxxx 1 分分(9 分分)【备注【备注 5】体现正确写出同构过程体现正确写出同构过程,给给 1 分分.令令122(1)(0,1),()ln,(0,1).1xtt ttttxt.1 分分(10 分）分）【备注【备注 6】写出构造新的函数】写出构造新的函数,给给 1 分分.2222214(1)4(1)()0.(1)(1)(1)ttttttt tt t故故()t在在(0,1)上单

25、调递增上单调递增.1 分分【备注【备注 7】见】见“()t在在(0,1)上单调递增上单调递增”,给给 1 分分.从而从而()(1)0t,即即122.xx.1 分分(12 分分)【备注【备注 8】见】见“()(1)0t”,给给 1 分分.11 12 22.在直角坐标系在直角坐标系xOy中已知曲线中已知曲线cos:2sinxCy(为参数为参数)，直线直线1:32 xtlyt(t为参数为参数)，以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线）求曲线C和直线和直线l的极坐标方程的极坐标方程;（2）点）点P在直线在直线l上，射线上，射线OP交曲线

26、交曲线C于点于点R，点，点Q在射线在射线OP上，且满足上，且满足25|4|OROP OQ，求点，求点Q的轨迹的直角坐标方程的轨迹的直角坐标方程.解解:(1)因为曲线因为曲线cos:2sinxCy(为参数为参数),所以曲线所以曲线C的普通方程为的普通方程为2214yx.1 分分 因为因为cos,sinxy1 分分【备注【备注 1】见】见“cosx”、“siny”之一之一,可给可给 1 分。分。所以曲线所以曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为2222sincos14.即即22244cossin.1 分分(3 分分)因为直线因为直线1:32 xtlyt(t为参数为参数)则直线则直线:250lxy.1

27、分分 直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为2 cossin50.1 分分(5 分分)(2)设点设点Q的极坐标为的极坐标为(,)Q,1 分分 则则22245|,|4cossin2cossinOROP1 分分(7 分分)【备注【备注 2】见】见“2224|4cossinOR”、“5|2cossinOP”之一之一,给给 1 分。分。代人代人25|4|OROPOQ得得225 44 54cossin2cossin1 分分 即即2222 cossin4cossin,则则22224cossin2 cossin1 分分 所以点所以点Q轨迹直角坐标方程为轨迹直角坐标方程为2242xyxy.1 分分(10 分分

28、)【备注【备注 3】正】正确写出结果确写出结果“2242xyxy”且有一定的过程且有一定的过程,即可给即可给 3 分分.13 若结果不准确若结果不准确,就按标准给分就按标准给分.23.已知已知,a b c均为正数，且均为正数，且222234abc，证明，证明:（1）若）若ac，则，则22ab;（2）232 6abc.证明证明:(1)222234,abcac22424ab1 分分【备注【备注 1】见】见“22424ab”、“2222ab”之一之一,给给 1 分。分。22422 22abab2 分分(3 分分)【备注【备注 2】见】见“22422 22abab”、“2222 2abab”之一之一,可给可给 2 分。分。当且仅当当且仅当2,12ab时取等号时取等号.1 分分【备注【备注 3】见】见“22a”、“1b”之一之一,可给可给 1 分。分。4 2 22ab,即即22ab.1 分分(5 分分)(2),a b c均为正数均为正数,且且222234,abc由柯西不等式得由柯西不等式得 2222222231(2)(3)(23)abcabc.2 分分(7 分分)2(23)4 6abc.1 分分 232 6abc,当且仅当当且仅当63abc时取等号时取等号2 分分(10 分分)【备注【备注 4】漏写】漏写“63abc”扣扣 1 分。分。