人教版八年级下册数学《期中考试试卷》含答案.doc

1、人 教 版 数 学 八 年 级 下 学 期期 中 测 试 卷学校_ 班级_ 姓名_ 成绩_一选择题1.下列二次根式中,是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 2.下列四组线段中,能作为直角三角形三条边的是（ ）A. 3,4,5B. 6,8,9C. 1,2,D. 5,12,143.下列二次根式中,与能合并的是（ ）A. B. C. D. 4.如图,A,B两点分别位于一个池塘两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（ ）A. 15mB. 25

2、mC. 30mD. 20m5.下列条件中,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A. A=C,B=DB. ABCD,AB=CDC. AB=CD,ADBCD. ABCD,ADBC6.如图,一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上,设木棍中点为,若木棍端沿墙下滑,且沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点到点的距离（ ）A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断7.下列命题是假命题的为（ ）A. 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方B. 一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形C. 三角形中位线平行于三角形的第三边D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形8.如图,在ABCD中,AB=

3、3,AD=5,ABC的平分线交AD于E,交CD的延长线于点F,则DF=()A. 1B. C. 2D. 39.如图,数轴上的点A所表示的数是（ ）A. B. C. D. 10. 直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为（ ）A. 96B. 49C. 24D. 48二填空题11.要使二次根式有意义,则的取值范围是_12.已知平行四边形ABCD中,A+C200,则B的度数是_13.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC4cm,AOD120,则BC的长为_cm14.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A,B,C的面积分

4、别是8cm2,10cm2,14cm2,则正方形D的面积是_cm215.如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是（8,0）,点C的坐标是（2,6）,则点B的坐标是_.16.如图,ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18,AD的长为5,则OBC的周长为 _17.如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,ACD=3BCD,E是斜边AB的中点,则ECD的度数为_度.18.如图,DE为ABC的中位线,点F在DE上,且AFB90,若AB5,BC8,则EF的长为_19.已知直角三角形的两边长分别为3、4则第三边长为_20.如图,平行四边形的周长为

5、20cm,AEBC于E,AFCD于F,AE2cm,AF3cm,平行四边形ABCD的面积为_cm2三解答题21.22.223.计算：()()24.+（+2）（2）25.如图,每个小正方形的边长为1（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；（2）求证：BCD=9026.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是线段AC上的两点,并且AE=CF求证：DEBF27.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,将矩形ABCD翻折,使得点B落在CD边上点E处,折痕AF交BC于点F,求FC的长28.定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等

6、对边四边形”的名称；（2）如图1,四边形ABCD是“等对边四边形”,其中AB=CD,边BA与CD的延长线交于点M,点E、F是对角线AC、BD的中点,若M=60,求证：EFAB；（3）如图2在ABC中,点D、E分别在边AC、AB上,且满足DBC=ECBA,线段CE、BD交于点求证：BDC=AEC；请在图中找到一个“等对边四边形”,并给出证明29.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B,在直线 AB上截取BB1=AB,过点B1分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A1、C1,得到矩形OA1B1C1；在直线 AB上截取B1B2= BB1,过点B2分别作x、y 轴

7、的垂线,垂足分别为点A2 、C2,得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3= B1B2,过点B3分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A3、C3,得到矩形OA3B3C3；则点B1的坐标是 ；第3个矩形OA3B3C3的面积是 ；第n个矩形OAnBnCn的面积是 （用含n的式子表示,n是正整数）30.阅读下述材料：我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用其实,有一个类似的方法叫做“分子有理化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式比如：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题例如：比较和的大小可以先将它们分子有理

8、化如下： 因为,所以再例如：求的最大值做法如下：解：由可知,而当时,分母有最小值2,所以的最大值是2解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值31.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上一个动点（点P不与点A,C重合）,分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC的中点（1）如图1,当点P与点O重合时,请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时,请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动,恰好使得OEF30时,猜想此时线段CF,AE,OE之间有怎样数量关系,直接写出结论不必证明答案与解析一选

9、择题1.下列二次根式中,是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用最简二次根式的定义判断即可【详解】A、=3,不合题意,B、=,不合题意；C、,不合题意；D、是最简二次根式,符合题意.故选：D.【点睛】此题考查了最简二次根式,熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键2.下列四组线段中,能作为直角三角形三条边的是（ ）A. 3,4,5B. 6,8,9C. 1,2,D. 5,12,14【答案】A【解析】【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【详解】A、32+4252,能构成直角三角形,故本选项正确；B、62+8292,不能构成直角

10、三角形,故本选项错误；C、12+22（）2,不能构成直角三角形,故本选项错误；D、52+122142,不能构成直角三角形,故本选项错误故选：A【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理,熟知如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键3.下列二次根式中,与能合并的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】能与合并的二次根式,就是与是同类二次根式根据同类二次根式的被开方数相同的性质解答【详解】的被开方数是3A、2,被开方数是6；故本选项错误；B、4,被开方数是2；故本选项错误；C、3,被开方数是2；故本选项错误；D、,被开方数是3；故本

11、选项正确；故选D【点睛】本题考查同类二次根式的概念,同类二次根式是化为最简二次根式后,被开方数相同的二次根式称为同类二次根式4.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（ ）A. 15mB. 25mC. 30mD. 20m【答案】D【解析】【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果.【详解】解:由题意得AB=2DE=20cm,故选D.【点睛】本题考查的是三角形的中位线,解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：

12、三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半5.下列条件中,不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A. A=C,B=DB. ABCD,AB=CDC. AB=CD,ADBCD. ABCD,ADBC【答案】C【解析】本题考查了平行四边形的判定平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形A、可以得到两组对边分别平行,根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形,判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意；B、可以根据：

13、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项符合题意；D、根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形,判定四边形ABCD是平行四边形,故此选项不符合题意故选C6.如图,一根木棍斜靠在与地面（）垂直的墙（）上,设木棍中点为,若木棍端沿墙下滑,且沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点到点的距离（ ）A. 变小B. 不变C. 变大D. 无法判断【答案】B【解析】【分析】连接OP,易知OP就是斜边AB上的中线,由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,那么OP=AB,由于AB不变,那么OP也就不变【详解】不变连

14、接OP,在RtAOB中,OP是斜边AB上的中线,那么OP=AB,由于木棍的长度不变,所以不管木棍如何滑动,OP都是一个定值故选B【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线,解题的关键是知道木棍AB的长度不变,也就是斜边不变7.下列命题是假命题的为（ ）A. 直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方B. 一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形、平行四边形的判定、三角形中位线和矩形的判定判断即可【详解】A、直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方,是真命题；B、一组

15、对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形,原命题是假命题；C、三角形的中位线平行于三角形的第三边,是真命题；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形,是真命题；故选：B【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理8.如图,在ABCD中,AB=3,AD=5,ABC的平分线交AD于E,交CD的延长线于点F,则DF=()A. 1B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC=5,AB=CD=3,然后求出CBF=CFB,得到CF=CB=5即可【详解】四边形ABCD是平行四边形,ABC

16、D,AD=BC=5,AB=CD=3,ABE=CFEABC的平分线交AD于点E,ABE=CBF,CBF=CFB,CF=CB=5,DF=CFCD=53=2故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,在平行四边形中,当出现角平分线时,一般可构造等腰三角形,进而利用等腰三角形的性质解题9.如图,数轴上的点A所表示的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意,利用勾股定理求出点A到1的距离,即可确定出点A表示的数【详解】根据题意得：数轴上的点A所表示的数为1,故选：A【点睛】此题考查了实数与数轴,弄清点A表示数的意义是解本题的关键10. 直角三角形的周长为24,斜边长为10,

17、则其面积为（ ）A. 96B. 49C. 24D. 48【答案】C【解析】直角三角形的周长为24,斜边长为10,则两直角边的和为24-10=14,设一直角边为x,则另一边14-x,根据勾股定理可知：x2+（14-x）2=100,解得x=6或8,所以面积为682=24故选C二填空题11.要使二次根式有意义,则的取值范围是_【答案】x3【解析】【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解【详解】由题意知,解得,x3,故答案为：x3【点睛】本题考查二次根式有意义的条件,二次根式中的被开方数是非负数12.已知平行四边形ABCD中,A+C200,则B的度数是_【答案】80【解析】【分析】根据平行四边形对

18、角相等,邻角互补,进而得出B的度数【详解】如图：平行四边形ABCD中,AC,A+B180,A+C200,AC100,B的度数是80故答案为80【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质,得出A=C是解题关键13.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC4cm,AOD120,则BC的长为_cm【答案】2【解析】【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB,再根据邻补角的定义求出AOB=60,然后判断出AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质可得AB=OA,然后利用勾股定理列式计算即可得解【详解】在矩形ABCD中,OAOBAC42cm,AOD120,AOB18012060,AOB是等

19、边三角形,ABOA2cm,在RtABC中,根据勾股定理得,BC2cm故答案为2【点睛】本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,本题主要利用了矩形的对角线相等且互相平分14.如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,正方形A,B,C的面积分别是8cm2,10cm2,14cm2,则正方形D的面积是_cm2【答案】17【解析】试题解析：根据勾股定理可知,S正方形1+S正方形2=S大正方形=49,S正方形C+S正方形D=S正方形2,S正方形A+S正方形B=S正方形1,S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49正方形D的面积

20、=49-8-10-14=17（cm2）.15.如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是（8,0）,点C的坐标是（2,6）,则点B的坐标是_.【答案】【解析】【分析】根据平行四边形的性质,结合A点和C点的坐标,就可以写出B点的坐标【详解】根据平行四边形的性质可得： ,根据已知条件A（8,0）可知OA=8,C（2,6）,可知B点的横坐标为2+8=10,B点的纵坐标为6,所以B（10,6）.【点睛】本题主要考查坐标的表示,再结合考查平行四边形的性质,难度系数较低,但应当熟练掌握16.如图,ABCD的对角线相交于点O,两条对角线的和为18,AD的长为5,则O

21、BC的周长为 _【答案】14【解析】分析：根据两对角线之和为18,可得出OB+OC的值,再由AD=BC,可得出OBC的周长详解：由题意得,OB+OC=（AC+BD）=9,又AD=BC=5,OBC的周长=9+5=14故答案为14点睛：此题考查了平行四边形的性质,解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分,对边相等的性质17.如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,ACD=3BCD,E是斜边AB的中点,则ECD的度数为_度.【答案】45【解析】【分析】求出ACD=67.5,BCD=22.5,根据三角形内角和定理求出B=67.5,根据直角三角形斜边上中线性质求出BE=CE,推出BCE=B

22、=67.5,代入ECD=BCE-BCD求出即可【详解】ACD=3BCD,ACB=90,ACD=67.5,BCD=22.5,CDAB,CDB=90,B=1809022.5=67.5,ACB=90,E是斜边AB的中点,BE=CE,BCE=B=67.5,ECD=BCEBCD=67.522.5=45.【点睛】本题考查三角形内角和定理和直角三角形斜边上中线性质,解题的关键是掌握三角形内角和定理和直角三角形斜边上中线性质.18.如图,DE为ABC的中位线,点F在DE上,且AFB90,若AB5,BC8,则EF的长为_【答案】1.5【解析】【详解】试题解析：AFB=90,D为AB的中点,DF=AB=2.5,D

23、E为ABC中位线,DE=BC=4,EF=DE-DF=1.5,故答案为1.5【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半19.已知直角三角形的两边长分别为3、4则第三边长为_【答案】5或【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长,但没有明确是直角边还是斜边,因此分两种情况讨论：长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时：第三边的长为：；长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：；第三边的长为：或5考点：1勾股定理；2分类思想的应用20.如图,平行四边形的周长为20cm,AEBC于E,AFCD于F,A

24、E2cm,AF3cm,平行四边形ABCD的面积为_cm2【答案】12【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD10,根据面积公式可得2BC3CD,然后联立组成方程组可得CD和BC的长,进而可得面积【详解】四边形ABCD是平行四边形,ABCD,BCAD,周长为20cm,BC+CD10,AEBC于E,AFCD于F,AE2cm,AF3cm,2BC3CD,联立得,解得：,平行四边形ABCD的面积为：AECB2BC2612,故答案为：12【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质,关键是掌握平行四边形的对边相等,平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积三解答题21.【答案】32【解析】【分析】直

25、接化简二次根式进而合并得出答案【详解】解：原式3+2432【点睛】本题考查的是二次根式的加减法,熟知二次根式的加减法实质上是合并同类二次根式是解答此题的关键22.2【答案】5【解析】【分析】根据二次根式乘除法则运算【详解】解：原式2+3+25【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键23.计算：()()【答案】4【解析】【分析】利用平方差公式和二次根式的除法法则运算【详解】原式=53=2+2=4【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍24.+（+2）（2）【答案】0【解析

26、】【分析】利用二次根式的乘除法则和平方差公式计算即可得出答案【详解】解：原式+46220【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算,平方差公式的运用,熟练掌握二次根式乘除运算法则是解决本题的关键25.如图,每个小正方形的边长为1（1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；（2）求证：BCD=90【答案】（1）四边形ABCD的面积为14.5,四边形ABCD的周长是3；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积,列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD,即可求得四边形ABCD的周长；（2）求出BD2,利用勾股定

27、理的逆定理即可证明；【详解】（1）四边形ABCD的面积=55312422512512=14.5；由勾股定理得AB,BC2,CD,AD,故四边形ABCD的周长是23；（2）连接BDBD2,BC2+CD2=20+5=25,BC2+CD2=BD2,BCD是直角三角形,且BCD=90【点睛】本题考查割补法求面积,勾股定理,勾股定理的逆定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型26.如图,平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O,E、F是线段AC上的两点,并且AE=CF求证：DEBF【答案】证明见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质可求得OA=OC,OB=OD,再结合条件可求

28、得OEOF,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论【详解】如图,连接BE,DF四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,又AE=CF,OE=OF,四边形BFDE是平行四边形,DEBF【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质,利用平行四边形的性质求得OEOF是解题的关键27.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,将矩形ABCD翻折,使得点B落在CD边上的点E处,折痕AF交BC于点F,求FC的长【答案】【解析】分析：根据翻转前后,图形的对应边和对应角相等,可知EF=BF,AB=AE,故可求出DE的长,然后设出FC的长,则EF=4-FC,再根据勾股定理的知识,即可求出答案

29、详解：由题意,得AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF,RtADE中,由勾股定理,得DE=3在矩形ABCD中,DC=AB=5CE=DC-DE=2设FC=x,则EF=4-x在RtCEF中,x2+22=（4-x）2解得x即FC=点睛：本题考查了翻转变换的知识,属于基础题,注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等28.定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；（2）如图1,四边形ABCD是“等对边四边形”,其中AB=CD,边BA与CD的延长线交于点M,点E、F是对角线AC、BD的中点,若M=60,求证：EFAB；（3）如图2在A

30、BC中,点D、E分别在边AC、AB上,且满足DBC=ECBA,线段CE、BD交于点求证：BDC=AEC；请在图中找到一个“等对边四边形”,并给出证明【答案】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等；（2）证明见解析；（3）证明见解析；四边形EBCD是等对边四边形证明见解析【解析】【分析】（1）理解等对边四边形的图形的定义,有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等,可得出答案（2）取BC的中点N,连结EN,FN,由中位线定理可得EN12CD,FN12AB,可证明EFN为等边三角形,则结论得证；（3）证明EOBA,利用四边形内角和可证明BDCAEC；作CGBD于G点,作BFCE交CE延长线于F点根

31、据AAS可证明BCFCBG,则BFCG,证明BEFCDG,可得BECD,则四边形EBCD是“等对边四边形”【详解】（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等（2）如图1,取BC的中点N,连结EN,FN,ENCD,FNAB,EN=FNM=60,MBC+MCB=120FNAB,ENMC,FNC=MBC,ENB=MCB,ENF=180120=60,EFN为等边三角形,EF=FNAB（3）证明：BOE=BCE+DBC,DBC=ECBA,BOE=2DBC=AA+AEC+ADB+EOD=360,BOE+EOD=180,AEC+ADB=180ADB+BDC=180,BDC=AEC；解：此时存在等对边四边形

32、,是四边形EBCD如图2,作CGBD于G点,作BFCE交CE延长线于F点DBC=ECBA,BC=CB,BFC=BGC=90,BCFCBG(AAS),BF=CGBEF=ABD+DBC+ECB,BDC=ABD+A,BEF=BDC,BEFCDG(AAS),BE=CD,四边形EBCD是等对边四边形【点睛】本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定与性质,中位线定理,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,四边形内角和等知识,解决本题的关键是理解等对边四边形的定义29.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B,在直线 AB上截取BB1=AB,过点B1分别作x

33、、y 轴的垂线,垂足分别为点A1、C1,得到矩形OA1B1C1；在直线 AB上截取B1B2= BB1,过点B2分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A2 、C2,得到矩形OA2B2C2；在直线AB上截取B2B3= B1B2,过点B3分别作x、y 轴的垂线,垂足分别为点A3、C3,得到矩形OA3B3C3；则点B1的坐标是 ；第3个矩形OA3B3C3的面积是 ；第n个矩形OAnBnCn的面积是 （用含n的式子表示,n是正整数）【答案】（1,2）, 12, n(n+1)【解析】【分析】先求出A、B两点的坐标,再设B1（a,a+1）,B2（b,b+1）,B3（c,c+1）,求出a、b、c的值,利用矩形面

34、积公式求面积,找出规律即可得到答案.【详解】一次函数y=x+1与x、y 轴分别交于点A、B,A（-1,0）,B（0,1）,AB=,设B1（a,a+1）,B2（b,b+1）,B3（c,c+1）,BB1=AB,a2+（a+1-1）2=2,解得a1=1,a2=-1（舍去）,B1（1,2）,同理可得,B2（2,3）,B3（3,4）,=34=12, =n（n+1）,故答案为（1,2）,12,n（n+1）.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,根据题意得出B1、B2、B3的坐标,找出规律是解答本题的关键.30.阅读下述材料：我们在学习二次根式时,熟悉的分母有理化以及应用其实,有一个类似的方法叫做“

35、分子有理化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式比如：分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下： 因为,所以再例如：求的最大值做法如下：解：由可知,而当时,分母有最小值2,所以的最大值是2解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值【答案】（1）；（2）的最大值为2,最小值为【解析】【分析】（1）利用分子有理化得到,然后比较和的大小即可得到与的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到,而,利用当时,有最大值1,有最大值1得到所以的最大值；利用当时,有最小值,有最

36、下值0得到的最小值【详解】解：（1）,而,；（2）由,得,当时,有最小值,则有最大值1,此时有最大值1,所以的最大值为2；当时,有最大值,则有最小值,此时有最小值0,所以的最小值为【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想解决本题关键是要读懂例题,然后根据例题提供的知识点和方法解决问题同时要注意所解决的问题在方法上类似,但在细节上有所区别31.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A,C重合）,分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC的中点（1）如图1,当点P与点O重合时,请你判断OE与OF的数量关系；（2）当点P运动到如图2所示位置时,请你

37、在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立；（3）若点P在射线OA上运动,恰好使得OEF30时,猜想此时线段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系,直接写出结论不必证明【答案】（1）OEOF理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析,OEOF仍然成立；（3）CFOE+AE或CFOEAE【解析】【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线,即可判定,得出OE=OF；（2）先延长EO交CF于点G,通过判定,得出OG=OE,再根据中,即可得到OE=OF；（3）根据点P在射线OA上运动,需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时,当点P在线段OA延长线上时,分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关

38、系进行推导计算即可【详解】（1）OE=OF理由如下：如图1四边形ABCD是矩形, OA=OC,在和中, OE=OF；（2）补全图形如图2,OE=OF仍然成立证明如下：延长EO交CF于点G, AE/CF,又点O为AC的中点, AO=CO在和中, OG=OE,中, OE=OF；（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE证明如下：如图2,当点P在线段OA上时,由（2）可得：OF=OG,是等边三角形, FG=OF=OE,由（2）可得：, CG=AE又 CF=GF+CG, CF=OE+AE；如图3,当点P在线段OA延长线上时,同理可得：是等边三角形, FG=OF=OE,同理可得：, CG=AE又 CF=GF-CG, CF=OE-AE【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定,解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等,利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件,根据线段的和差关系使问题得以解决