《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点.doc
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1、试卷一: 得 分 一、单项选择题(3分5=15分)1、1、下列各式正确的是( )(A); (B); (C); (D);2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )(A) c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A)若, 则 (B) 是可测函数 (C)是可测函数;(D)若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数(C)在上L可积 (D) 得
2、分二. 填空题(3分5=15分)1、_2、设是上有理点全体,则=_,=_,=_.3、设是中点集,如果对任一点集都有_,则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. (填“充分”,“必要”,“充要”)5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使_,则称为 上的有界变差函数。得 分三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分4=20分)1、设,若E是稠密集,则是无处稠密集。2、若,则一定是可数集.3、若是可测函数,则必是可测函数。 4设在可测集上可积分,若,则得 分四、解答题(8分2=16分).1、(8分)设 ,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积
3、分值。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、(8分)求得 分五、证明题(6分4+10=34分).1、(6分)证明上的全体无理数作成的集其势为.2、(6分)设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、(6分)在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。 4、(6分)设在上可积,则.得 分阅卷人复查人5、(10分)设是上有限的函数,若对任意,存在闭子集,使在上连续,且,证明:是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)试卷一 答案:试卷一 (参考答案及评分标准)一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、1 2、; ; 3、4、充要 5、成一有
4、界数集。三、1错误2分例如:设是上有理点全体,则和都在中稠密 .5分2错误2分例如:设是集,则,但c , 故其为不可数集 .5分3错误2分例如:设是上的不可测集,则是上的可测函数,但不是上的可测函数.5分4错误2分5分四、1在上不是可积的,因为仅在处连续,即不连续点为正测度集.3分因为是有界可测函数,在上是可积的6分因为与相等,进一步,8分2解:设,则易知当时, .2分又因,(),所以当时,4分从而使得6分但是不等式右边的函数,在上是可积的,故有8分五、1设 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 对,使对任意互不相交的有限个当时,有2分将等分,使,对,有,所以在上是有界变差函数.
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