《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1).doc

1、复变函数与积分变换期末试题（A）吉林大学南岭校区2011年12月题号一二三四五六总分得分得分得分一填空题（每小题3分，共计15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ ）；4是 的（ ）极点；5 ，（ ）；得分二选择题（每小题3分，共计15分）1解析函数的导函数为（ ）；（A） ； （B）；（C）； （D）.2C是正向圆周，如果函数（ ），则（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果级数在点收敛，则级数在（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；（C）点绝对收敛； （D）点一定发散 下列结论正确的是( )（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；(B) 如果在C所围成的区域内解析，

2、则（C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析；（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 得分三按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设是解析函数，求（2）计算其中C是正向圆周：；（3）计算（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.得分四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；（1），（2），（3）得分 五（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题得分六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：复变函数与积分变换期末试题（A）答案及评分标准一填空题（每

3、小题3分，共计15分）1的幅角是（）； 2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ），4是 的（ 一级 ）极点；5 ，（-1 ）；二选择题（每题4分，共24分）1解析函数的导函数为（B ）；（A） ； （B）；（C）； （D）.2C是正向圆周，如果函数（ D ），则（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果级数在点收敛，则级数在（C）（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；（C）点绝对收敛； （D）点一定发散 下列结论正确的是( B )（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；(B) 如果在C所围成的区域内解析，则（C）如果，则函数在C所围成的区域内一定解析；（D）函数在区域内解析的充分必要条件是

4、、在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ D ） 三按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）设是解析函数，求解：因为解析，由C-R条件 ，给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）计算其中C是正向圆周：解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。（3）解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理 -（5分） -（8分） -（10分）（4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，

5、请指出它的级.解 ：（1）（2）（3）（4）（5）备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；（1），（2），（3）解：（1）当而 -6分（2）当= -10分（3）当 -14分每步可以酌情给分。五（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题：解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有 （5分）整理得 （7分） （10分）六、（6分）求的傅立叶变换，并由此证明：解： -3分 -4分- -5分， -6分 复变函数与积分变换期末试题（B）吉林大学南岭校区2011年12月题号一二三四五六总分得分一填空题（每小题3分，共计1

6、5分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. =（ ），在复平面内处处解析4是 的（ ）极点；5 ，（ ）；二选择题（每小题3分，共计15分）1解析函数的导函数为（ ）；（A）； （B）；（C）； （D）.2C是正向圆周，如果函数（ ），则（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果级数在点收敛，则级数在（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；（C）点绝对收敛； （D）点一定发散 下列结论正确的是( )（A）如果函数在点可导，则在点一定解析；(B) 如果,其中C复平面内正向封闭曲线, 则在C所围成的区域内一定解析；（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为的幂级数

7、，而且展开式是唯一的；（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ ）（A）、是复平面上的多值函数； 是无界函数； 是复平面上的有界函数；（D）、是周期函数得分三按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分）（1）设是解析函数，且，求（2）计算其中C是正向圆周；（3）计算，其中C是正向圆周；（4）利用留数计算其中C是正向圆周；（5）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.得分四、（本题12分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；（1），（2），（3）得分 五（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题 得分六、（本题8分）

8、求的傅立叶变换，并由此证明：复变函数与积分变换期末试题简答及评分标准（B）吉林大学南岭校区2011年12月题号一二三四五六总分得分得分得分一填空题（每小题3分，共计15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4 ，（ 0 ） ；5 ，（ 0 ）；得分二选择题（每小题3分，共计15分）1是解析函数的实部，则（ A ）；（A）； （B）；（C）； （D）.2C是正向圆周，如果函数（ A ），则（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果级数在点收敛，则级数在( C )（A）点条件收敛 ； （B）点绝对收敛；（C）点绝对收敛； （D）点一定发散 下列结论正确的是( C )（A

9、）如果函数在点可导，则在点一定解析；(B) 如果,其中C复平面内正向封闭曲线, 则在C所围成的区域内一定解析；（C）函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为的幂级数，而且展开式是唯一的；（D）函数在区域内解析的充分必要条件是、在该区域内均为调和函数5下列结论不正确的是（ C ）（A）是复平面上的多值函数； （B）是无界函数；（C） 是复平面上的有界函数；（D）是周期函数得分三按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）求使是解析函数， 解：因为解析，由C-R条件 ，给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）其中C是正向圆周；解：本题可以用柯西公式柯西高

10、阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程因为函数在复平面内只有两个奇点，分别以为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于c内（3）计算，其中C是正向圆周； 解：设在有限复平面内所有奇点均在：内，由留数定理 -（5分） （4）函数在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 19、阳光、空气、水、土壤、岩石、植物、动物构成了我们周围的环境。我们人类也是环境中的一部分，我们都生活在一不定的环境之中。人与自然和谐相处，共同发展，是我们共同的责任。 二、问答题：答：硫酸铜溶液的颜色逐渐变浅，取出铁钉后，发现浸入硫酸铜溶液中的那部分变红了。给出全部奇点给5分。其他酌情给分

11、。得分第二单元 物质的变化四、（本题14分）将函数在以下区域内展开成罗朗级数；23、我国是世界上公认的火箭的发源地，早在距今1700多年前的三国时代的古籍上就出现了“火箭”的名称。（1），（2），（3）一、填空：（1），（2），（3）解：（1）当3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。而 -6分1、焚烧处理垃圾的优缺点是什么？（2）当8、铁生锈的原因是什么？人们怎样防止铁生锈？= 7、我们每个人应该怎样保护身边的环境？ -10分（3）当 -14分得分 五（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题解：对的Laplace变换记做，依据Laplace变换性质有 （5分）整理得 （7分） （10分）得分六、（本题6分）求的傅立叶变换，并由此证明：解： -2分- 4分- 5分得分得分= -6分得分