2020年江苏省高考数学模拟试卷(3).docx

1、2020年江苏省高考数学模拟试卷（3）一填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1（5分）若集合Ax|x0，Bx|x1，则AB 2（5分）复数1+i3+4i的共轭复数为 3（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为 4（5分）甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m ；s2甲 s2乙（填，）5（5分）如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙

2、、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有 种6（5分）已知双曲线C：x2-y23=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐近线交于A，B两点，若F1BF2B=0，F1A=AB，则 7（5分）若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为 8（5分）设函数f（x）=x2，0x5f(x-5)，x5，那么f（18）的值 9（5分）若f（x）2sin（2x+）（0）的图象关于直线x=12对称，且当取最小值时，x0(0，2)，使得f

3、（x0）a，则a的取值范围是 10（5分）在正项等比数列an中，若a3a4a5=3，sin（log3a1+log3a2+log3a7）的值为 11（5分）如图，在ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，ABAD=2ACAE，则cosB的最小值为 12（5分）已知P（x0，y0）为直线yk（x+2）上的一个动点，若在圆O：x2+y21上存在点Q，使得OPQ=4，则实数k的取值范围为 13（5分）钝角ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，c1，B=3，则a的取值范围是 14（5分）设函数f(x)=3x-a+2x+1，x0x3+x2-2x，x0的图象上存在两点P、Q，其中点P在y轴右侧，且

4、线段PQ与y轴的交点恰好是线段PQ靠近点P的一个三等分点若OP和OQ斜率之和等于3，则实数a的取值范围是 二解答题（共6小题，满分90分）15（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA1=2，点N为A1B1中点，点M在边AB上（1）当点M为AB中点时，求证：C1N平面A1CM；（2）试确定点M的位置，使得AB1平面A1CM16（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinAsinB+bcos2A2a，（）求ab的值；（）若c=2b，求sin(2C-3)的值17（14分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万

5、元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？18（16分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的两个焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为b3，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点M（0，m），（bmb），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B，y轴上是否存在点N（0，n）使ANMBNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由（3）在（2）条件下

6、m1时，求ABN面积的最大值19（16分）已知函数f（x）exax（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若a3，f（x）的图象与y轴交于点A，求yf（x）在点A处的切线方程；（）在（）的条件下，证明：当x0时，f（x）x23x+1恒成立20（16分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2+kn+k（1）求an的通项公式；（2）若bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn三解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21（10分）已知矩阵A=2132，列向量X=xy，B=47，且AX=B（1）求矩阵A的逆矩阵A1；（2）求x，y的值四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）2

7、2（10分）在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值五解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23（10分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为

8、检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a0）质量指标值频数15，20）220，25）1825，30）4830，35）1435，40）1640，452合计100（）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用

9、为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较24（10分）如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1，12）到抛物线C：y22px（p0）的准线的距离为54点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q（m，n）在直线OM上（1）求曲线C的方程及点M的坐标；（2）记d（m）=|AB|1+4m2，求弦长AB（用m表示）；并求d的最大值2020年江苏省高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一填空题（共14小题，满分70分，每小题5分）1（5分）若集合Ax|x0，Bx|x1，则ABx|0x1【解答】解：集

10、合Ax|x0，Bx|x1，ABx|0x1故答案为：x|0x12（5分）复数1+i3+4i的共轭复数为725+125i【解答】解：1+i3+4i=(1+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=725-125i，z=725+125i故答案为：725+125i3（5分）运行如图所示的伪代码，其结果为17【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S1+1+3+5+7的值，所以S1+1+3+5+717故答案为：174（5分）甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m6；s2甲s2

11、乙（填，）【解答】解：甲得分：76，78，80，82，84平均数是80，乙得分：77，70+m，82，82，83；平均分为15（77+70+m+82+82+83）80，解得m6；甲的方差为15（7680）2+（7880）2+（8080）2+（8280）2+（8480）28；乙得分的方差为15（7780）2+（7680）2+（8280）2+（8280）2+（8380）28.4s2甲s2乙故答案为：6，5（5分）如图，宋人扑枣图轴是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一

12、片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的结果有14种【解答】解：设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，若甲模仿“扶”，则A包含1A33=6个基本事件；若甲模仿“捡”或“顶”则A包含22A22=8个基本事件，综上A包含6+814个基本事件，故答案为：146（5分）已知双曲线C：x2-y23=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐近线交于A，B两点，若F1BF2B=0，F1A=AB，则1【解

13、答】解：双曲线C：x2-y23=1的左，右焦点分别为F1，F2，BOcOF2，双曲线C：x2-y23=1的渐近线y=3x，BOF260，BF2O为等边三角形，故BF2O60，所以F2BOA，A为F1B的中点，即1故答案为：17（5分）若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的母线长为2【解答】解：圆锥的底面积为，圆锥的底面半径为r，满足r2，解得r1又圆锥的侧面积为2，设圆锥的母线长为l，可得rl2，1l2，解之得l2故答案为：28（5分）设函数f（x）=x2，0x5f(x-5)，x5，那么f（18）的值9【解答】解：函数f（x）=x2，0x5f(x-5)，x5，f（18）f（35+3）f（

14、3）329故答案为：99（5分）若f（x）2sin（2x+）（0）的图象关于直线x=12对称，且当取最小值时，x0(0，2)，使得f（x0）a，则a的取值范围是（-3，2【解答】解：f（x）2sin（2x+）（0）的图象关于直线x=12对称，所以212+=k+2（kZ），解得=k+3，当k0时，=3所以f（x）2sin（2x+3）由于x0(0，2)，所以32x0+343，所以-3f（x0）2，即a的范围为（-3，2故答案为：（-3，210（5分）在正项等比数列an中，若a3a4a5=3，sin（log3a1+log3a2+log3a7）的值为32【解答】解：在正项等比数列an中，若a3a4a5

15、=3=a43，a4=33sin（log3a1+log3a2+log3a7）sin（log3a1a2a7）sin（log3a47）sin（log3373）sin73=sin3=32，故答案为：3211（5分）如图，在ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，ABAD=2ACAE，则cosB的最小值为439【解答】解：ABAD=2ACAE，AB(AB+BD)=2AC(AC+CE)，AB(AB+13AC)=2AC(AC-13BC)，ABAB+13(AC-AB)=2ACAC-13(AC-AB)，AB(13AC+23AB)=2AC(23AC+13AB)，13ABAC+23AB2=43AC2+23ACAB，

16、23AB2=43AC2+13ACAB，2AB2=4AC2+ACAB，在ABC中，2c24b2+bccosBAC，2c24b2+bcb2+c2-a22bc，b2=19a2+13c2，cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-(19a2+13c2)2ac=89a2+23c22ac=49ac+13ca249ac13ca=439（当且仅当49ac=13ca时，取“”），故cosB的最小值是：439故答案为：43912（5分）已知P（x0，y0）为直线yk（x+2）上的一个动点，若在圆O：x2+y21上存在点Q，使得OPQ=4，则实数k的取值范围为1，1【解答】解：设点O到直线PQ的距离为d，则要存

17、在满足条件的点Q，必须有d1，OP2，即O到直线yk（x+2）的最小值小于等于2则|2k|k2+12，解得k1，1故答案为：1，113（5分）钝角ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，c1，B=3，则a的取值范围是(0，12)(2，+)【解答】解：由正弦定理，有a=csinAsinC=sin(23-C)sinC=32tanC+12ABC为钝角三角形，B=3，当A为钝角时，A=23-C(2，23)，C(0，6)；当C为钝角时，C(2，23)，ABC为钝角三角形，C(0，6)(2，23)tanC(0，33)(-3，0)，32tanC+12(0，12)(2，+)，故答案为：(0，12)(2

18、，+)14（5分）设函数f(x)=3x-a+2x+1，x0x3+x2-2x，x0的图象上存在两点P、Q，其中点P在y轴右侧，且线段PQ与y轴的交点恰好是线段PQ靠近点P的一个三等分点若OP和OQ斜率之和等于3，则实数a的取值范围是（2，+）【解答】解：设Q（m，m3+m22m）（m0），由题意，点P的横坐标为-m2，故P(-m2，2-3m2+2(a+2)m)，OP和OQ斜率之和等于3，m2+m-2+2-3m2+2(a+2)m-m2=-3，化简得，m4+m3+4m22m4（a+2），设g（m）m4+m3+4m22m（m0），则g（m）4m3+3m2+8m2，g（m）12m2+6m+82（6m2+

19、3m+4）0，g（m）在（，0）上为增函数，则g（m）g（0）20，g（m）在（，0）上为减函数，作草图如下，由题意及图象可知，4（a+2）0，解得a2故答案为：（2，+）二解答题（共6小题，满分90分）15（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA1=2，点N为A1B1中点，点M在边AB上（1）当点M为AB中点时，求证：C1N平面A1CM；（2）试确定点M的位置，使得AB1平面A1CM【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，点N为A1B1中点，M为AB中点，C1NCM，C1N平面A1CM，CM平面A1CM，C1N平面A1CM解：（2）当点M是AB中点时

20、，使得AB1平面A1CM证明如下：在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA1=2，点N为A1B1中点，点M是AB中点，AA1CM，ABCM，AA1ABA，CM平面AA1B1B，A1M平面AA1B1B，A1MCM，A1M=12+(2)2=3，AB1=22+(2)2=6，A1MAB1=AA1AB，AA1MBAB1，AA1MBAB1，AMA1AB1B，AB1A1M，A1MCMM，AB1平面A1CM16（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinAsinB+bcos2A2a，（）求ab的值；（）若c=2b，求sin(2C-3)的值【解答】（本小题满分13分）解

21、：（I）由正弦定理得：sinAsinAsinB+sinBcos2A2sinA，（1分）得：sinB（sin2A+cos2A）2sinA，（2分）sinB2sinA，b2a，即ab=12（4分）（II）c=2b，cosC=a2+b2-c22ab=(12b)2+b2-2b2b2=-34，（5分）C（0，），sinC=1-916=74，（7分）sin2C=2sinCcosC=-378，（9分）cos2C=2cos2C-1=18，（11分）sin(2C-3)=sin2Ccos3-cos2Csin3=-37-316（13分）17（14分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用

22、12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？【解答】解：（1）设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则y50n9812n+n(n-1)242（n10）2+102（5分）所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元（6分）（2）年平均利润为yn=-2（n+49n）+4028+4012（10分）当且仅当n=49n，即n7时，上式取等号（11分）所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元（12分）18（16分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的两个焦

23、点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为b3，设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当lx轴时，|RS|3（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点M（0，m），（bmb），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A、B，y轴上是否存在点N（0，n）使ANMBNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由（3）在（2）条件下m1时，求ABN面积的最大值【解答】解：（1）由内切圆的性质，得122cb=12（2a+2c）b3，得ca=12将xc代入x2a2+y2b2=1，得yb2a，所以2b2a=3又a2b2+c2，所以a2，b=3，故椭圆C的标准方程为x24+y

24、23=1（2）当ABx轴时，可知ANMBNM0，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykx+m联立方程y=kx+mx24+y23=1消去y得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2120（-3m3，）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2假设存在N（0，n）则kAN+kBN=y1-nx1+y2-nx2=kx1+m-nx1+kx2+m-nx2=2kx1x2+(m-n)(x1+x2)x1x2=1x1x2(2k(4m2-12)3+4k2-8km(m-n)3+4k2)=1x1x2(8km2-24k-8km2+8kmn3+4k2)=1x

25、1x28k(mn-3)3+4k2=0（*），对任意kR恒成立所以mn3且m0m0时由（*）式知不存在点N符合题意，综上：m0时不存在，-3m3m0时存在点N（0，n）mn3（3）由（2）得n3M（0，1）、N（0，3）设直线AB的方程为ykx+1由y=kx+1x24+y23=1（3+4k2）x2+8kx80设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8k3+4k2，x1x2=-83+4k2SABN=12|MN|x1-x2|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(8k3+4k2)2+323+4k2=962k2+1(3+4k2)2，令t2k2+1，则t1，SABN=46t4t2

26、+4t+1=4614t+1t+4463，当且仅当t1，k0时取的最大值所以ABN面积的最大值为46319（16分）已知函数f（x）exax（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若a3，f（x）的图象与y轴交于点A，求yf（x）在点A处的切线方程；（）在（）的条件下，证明：当x0时，f（x）x23x+1恒成立【解答】解：（）f（x）exa，当a0时，f（x）0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，当a0时，令f（x）0，解得xlna当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如表：x（，lna）lna（lna，+）f（x）0+f（x）减极小值增所以a0时，f（x）在（，lna）上单调递减，在（ln

27、a，+）上单调递增（）令x0，得y1，则A（0，1），因为f（x）ex3，所以f（0）132，所以在A点处的切线方程为y12（x0），即y2x+1（）证明：令g（x）f（x）（x23x+1）exx21，则g（x）ex2x令h（x）ex2x，则h（x）ex2，当0xln2时，h（x）0，h（x）单调递减，当xln2时，h（x）0，h（x）单调递增；所以h（x）h（ln2）eln22ln222ln20，即g（x）0恒成立所以g（x）在（，+）上单调递增，所以g（x）g（0）1010，所以exx210，即当x0时，f（x）x23x+1恒成立20（16分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2

28、+kn+k（1）求an的通项公式；（2）若bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d，则Sn=d2n2+（a1-d2）n2n2+kn+k故d2=2a1-d2=kk=0，解得a1=2d=4k=0数列an的通项公式为an2+4（n1）4n2（2）由（1）知，bn=1anan+1=1(4n-2)(4n+2)=18（12n-1-12n+1）故Tnb1+b2+bn=18（1-13）+18（13-15）+18（12n-1-12n+1）=18（1-13+13-15+12n-1-12n+1）=18（1-12n+1）=n4(2n+1)三解答题（共1小题，满分

29、10分，每小题10分）21（10分）已知矩阵A=2132，列向量X=xy，B=47，且AX=B（1）求矩阵A的逆矩阵A1；（2）求x，y的值【解答】解：（1）由A=2132，det（A）223110，所以A可逆，设A1=abcd，则2132abcd=1001，则2a+c1，2b+d0，3a+2c0，3b+2d1，解得a2，b1，c3，d2，A-1=2-1-32（2）由AXB得到XA1B=2-1-3247=12，x=1y=2，（也可由AXB得到2132xy=47，即2x+y=43x+2y=7，解得x=1y=2）四解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22（10分）在平面直角坐标系x0y中，

30、直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）设直线l1与l2的交点为P当k变化时点P的轨迹为曲线C1（）求出曲线C1的普通方程；（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为sin(+4)=32，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值【解答】解：（）直线l1的参数方程为x=t-3y=kt（t为参数），转换为直角坐标方程为y=k(x+3)直线l2的参数方程为x=3-my=m3k（m为参数）转换为直角坐标方程为y=13k(3-x)所以得到x23+y2=1（y0）（）直线C2的极坐标方程为sin

31、(+4)=32，转换为直角坐标方程为x+y60设曲线C1的上的点Q（3cos，sin）到直线x+y80的距离d=|3cos+sin-6|2=|2sin(+3)-6|2，当sin(+3)=-1时，dmax=82=42五解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）23（10分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据已知该质量指标值对应的产品等级如下：质量指标值15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）40，45等级次品二等品一等品二等品三等品次品根据

32、质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中a0）质量指标值频数15，20）220，25）1825，30）4830，35）1435，40）1640，452合计100（）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X元，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较【解答】解：（）由（a+0.020+0.022

33、+0.028+0.042+0.080）51，解得a0.008，所以甲企业的样本中次品的频率为（a+0.020）50.14，即从甲企业生产的产品中任取一件，该件产品为次品的概率是0.14；（）由图表知，乙企业在100件样本中合格品有96件，则一等品的概率为4896=12，二等品的概率为18+1496=13，三等品的概率为1696=16，由题意知，随机变量X的可能取值为：120，150，180，210，240；且P（X120）=1616=136，P（X150）=C211316=19，P（X180）=C211216+1313=518，P（X210）=C211213=13，P（X240）=1212=1

34、4，随机变量X的分布列为：X120150180210240P136 19 518 13 14 所以X的数学期望为E（X）120136+15019+180518+21013+24014=200；（）答案不唯一，只要言之有理便可得分，参考如下；以产品的合格率（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，由图表可知，甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率，所以认为乙企业的食品生产质量更高以产品次品率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较也可得出结论以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较，根

35、据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4，乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即一企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高根据第（）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，从而比较甲、乙两个企业产品的优劣24（10分）如图所示，在直角坐标系xOy中，点P（1，12）到抛物线C：y22px（p0）的准线的距离为54点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q（m，n）在直线OM上（1）求曲线C的方程及点M的坐标；（2）记d（m）=|AB|1+4m2，求弦长AB（用m表示）；并求d的最大值【解答】解：（1）y22px（p0）

36、的准线为x=-p2，1（-p2）=54，p=12，抛物线C的方程为y2x又点M（t，1）在曲线C上，t1故M（1，1）（2）由（1）知，点M（1，1），从而mn，即点Q（n，m），依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k（k0），且A（x1，y1），B（x2，y2），由y12=x1y22=x2，得（y1y2）（y1+y2）x1x2，故k2m1，所以直线AB的方程为ym=12m(x-m)，即x2my+2m2m0由x-2my+2m2-m=0y2=x，消去x，整理得y22my+2m2m0，所以4m4m2，y1+y2=2m，y1y2=2m2-m从而AB=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2=1+4m24m-4m2=2(1+4m2)(m-m2)d=AB1+4M2=2m(1-m)m+1m1，当且仅当m1m，即m=12时，上式等号成立，又m=12满足4m4m20d的最大值为1