2020年四川省德阳市高考(文科)数学三诊试卷-(解析版).doc

1、2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1设集合M1，0，1，Nx|x2x，则MN（）A0B0，1C1，1D1，0，12如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A3+iB3iC3iD1+3i3在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）ABCD4已知等比数列an中，a53，a4a745，则的值为（）A30B25C15D105设向量（2，1），+（m，3），（3，1），若（+），设、的夹角为，则cos（）ABCD6若函数f（x）ex（sinx+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A，

2、+）B（1，+）C1，+）D（，+）7若函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|），已知函数y|f（x）|的图象如图，则（）Af（x）2sin（4x+）Bf（x）2sin（4x）Cf（x）2sin（x）Df（x）2sin（x+）8如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，在BCD中BCD90且BC3将ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM，那么（）A平面ABD平面BCDB平面ABC平面ABDCABCDDACBD9执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A2B1C1D2110已知双曲线1与圆x2+y25x+40交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左

3、焦点（2，0），则双曲线的离心率为（）A+BCD11将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比如圆就是等宽曲线其宽就是圆的直径如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（）（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等A1个B2个C3个D4个12已知函数f（x）ax22x+lnx有两

4、个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）x1+x2+t恒成立，那么t的取值范围是（）A1，+）B22ln2，+）C3ln2，+）D5，+）二、填空题（共4小题）.13已知f（x），则ff（3） 14设数列an的前n项和为Sn，且an2n1，则数列的前n项和为 15某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为 万元16已知点M（，1），直线l过抛物线C：x24y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C相切，那么直线l的斜率为

5、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组100，110），第二组110，120），第五组140，150，得到频率分布直方图（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率18在三角形ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、

6、c，已知bcosC+ccosB2，bsinCa（1）求ABC的面积；（2）若b：c：1，求A19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥PABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥PABCD和四棱柱ABCDA1B1C1D1的高相等（1）证明：PB平面ADO1；（2）若ABBDBB12，求几何体PAB1C1的体积20巳知函数f（x）ax2lnx2，g（x）axex4x（1）求函数f（x）的极值；（2）当a2时，证明：g（x）+f（x）021已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x4的距离之比为（1

7、）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x4于M、N、H（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）22在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角

8、坐标方程；（2）射线OP：（0，）交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标选修4-5：不等式选讲（本题满分0分）23已知函数f（x）+m0恒成立（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+n时，求7a+4b的最小值参考答案一、选择题（共12小题）.1设集合M1，0，1，Nx|x2x，则MN（）A0B0，1C1，1D1，0，1【分析】求出集合N，然后直接求解MN即可解：因为Nx|x2xx|0x1，M4，0，1，所以MN0，1故选：B2如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A3+iB3iC3iD1+

9、3i【分析】由已知求得z，代入z+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由题意，得z1i，则z+1i+1i+3+i故选：A3在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）ABCD【分析】根据对称性得到阴影部分的面积等于AOB的面积；再结合面积比即可求解结论解：由对称性可得，阴影部分的面积等于AOB的面积；而AOB的面积占整个正方形面积的；故选：D4已知等比数列an中，a53，a4a745，则的值为（）A30B25C15D10【分析】根据题意，设数列an的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7a4a6q（a5）2q45，解可得q

10、的值，结合等比数列的通项公式有q（1+q），计算即可得答案解：根据题意，等比数列an中，设其公比为q，若a53，a4a745，则a4a7a8a6q（a5）2q45，则q5，故选：A5设向量（2，1），+（m，3），（3，1），若（+），设、的夹角为，则cos（）ABCD【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解解：+（m，3），（3，1），（+），3m30，可得m5，可得+（1，3），（3，4），设、的夹角为，则cos故选：D6若函数f（x）ex（sinx+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A，+）B（1，+）C1，+）D（

11、，+）【分析】求函数的导数，要使函数单调递增，则f（x）0恒成立，然后求出实数a的取值范围解：因为f（x）ex（sinx+a），所以f（x）ex（sinx+a+cosx）要使函数单调递增，则f（x）0恒成立所以asinxcosx，所以sinxcosx，故选：A7若函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|），已知函数y|f（x）|的图象如图，则（）Af（x）2sin（4x+）Bf（x）2sin（4x）Cf（x）2sin（x）Df（x）2sin（x+）【分析】直接利用函数y|f（x）|的周期为函数yf（x）的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f（）2来求出的值，最后求出函数

12、的关系式解：由于函数y|f（x）|的周期为函数yf（x）的周期的一半，根据函数的图象函数yf（x）的周期T，满足，所以4整理得k+（kZ），解得k（kZ），故选：A8如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，在BCD中BCD90且BC3将ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM，那么（）A平面ABD平面BCDB平面ABC平面ABDCABCDDACBD【分析】由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论解：ABC是等腰直角三角形，ABAC，BC3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM，AM平面BCD，

13、则AMCD，可得CD平面ABC，可得CDAB，故选：C9执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A2B1C1D21【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S+的值，用裂项法即可得解解：模拟执行程序框图，可得N10，S0，k1满足条件k10，k2，S+，不满足条件k10，退出循环，输出S的值为1故选：C10已知双曲线1与圆x2+y25x+40交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（2，0），则双曲线的离心率为（）A+BCD【分析】设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线

14、方程为：yk（x+2），可得kxy+2k0，圆x2+y25x+30的圆心（，0），半径为：，不妨取切线方程y（x+2）代入圆的方程可得：（1+）x25x+x+4+0，解得x2，解得ab，故选：C11将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比如圆就是等宽曲线其宽就是圆的直径如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（）（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段AB的长；

15、（3）曲线是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等A1个B2个C3个D4个【分析】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论解：若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽度为1，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得到曲线是等宽曲线，错误；（3）根据（2）得（3）错误；综上，正确的有2个故选：B12已知函数f（x）ax22x+lnx有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）x1+x2+t恒成立，那么t的取值范围是（）A1，+）B22ln2，+）C3ln2，+）D5，+）【分析】由题意可得f（x） （x0），由函数f（x）ax22

16、x+lnx有两个极值点x1，x2，可得方程2ax22x+10在（0，+）上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得a的取值范围，由f（x1）+f（x2）（x1+x2）1ln2a，令h（a）1ln2a，利用导数研究其最大值即可解：函数f（x）的定义域为（0，+），f（x） （x0），所以方程2ax22x+50在（0，+）上有两个不相等的正实数根，因为f（x1）+f（x2）（x1+x5）a2x6+lnx1+a2x2+lnx2x1x7a（x1+x2）22x1x22（x1+x2）+ln（x1x2）7ln2a，h（a），易知h（a）0在（0，）上恒成立，故h（a）h（）5，所以t的取值范围是3，+

17、）故选：D二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13已知f（x），则ff（3）【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可解：f（x），f（3）lg1002；故答案为：14设数列an的前n项和为Sn，且an2n1，则数列的前n项和为【分析】通过数列an的通项公式为an2n1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简的表达式，然后求和即可解：数列an的通项公式为an2n1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，Snn+n2，可得数列的前n项和为1+3+3+n故答案为：15某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且

18、两种产品的产量差不超过1吨若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为5万元【分析】由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z，则目标函数z2x+y，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值解：由题意可知，设该车间每天的利润为z，则z2x+y，由图可知，当目标函数过点A时，取得最大值，所以z的最大值为82+15，故答案为：516已知点M（，1），直线l过抛物线C：x24y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C相切，那么直线l的斜率为【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，

19、求得直线l的斜率解：方法一：抛物线C的焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x5，y2），直线AB的方程为ykx+1，联立方程组，消去y，整理得：x24kx40，由，求导，直线AM的斜率，整理得x183x160，所以或，即k，所以直线AB的斜率为k故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组100，110），第二组110，120），第五组140，150，得到频率分布直方图（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据

20、估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率【分析】（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，由频率/组距组距总体数量即可得解；（2）由频率/组距组距样本容量，可分别算出第一小组由3人（记为A1，A2，B1）和第五小组有4人（记为A3，B2，B3，B4），然后用列举法写出从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况以及恰有1男1女的情况，最后由古典概型计算概率的方式即可得解解：（1）由频率分布直方图可知，成

21、绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）100.2，（2）第一小组共有0.00610503人，其中2男1女，分别记为A1，A6，B1；现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况有：A2B3，A2B5，A3B1，B1B2，B1B3，B1B4，共12种，A2B2，A2B4，A2B4，A3B1，共7种故抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率为18在三角形ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB2，bsinCa（1）求ABC的面积；（2）若b：c：1，求A【分析】（1）由余弦定理化简已知等式解得a2，由已知可求bsinC，

22、进而根据三角形的面积公式即可计算得解（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得sin（A+）1，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求解A的值解：（1）bcosC+ccosB2，由余弦定理可得：b+c5，bsinCa，（5）由（1）及条件和余弦定理可得：，因为：A（0，），可得：A+，可得A19如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥PABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥PABCD和四棱柱ABCDA1B1C1D1的高相等（1）证明：PB平面ADO1；（2）若ABBDBB12，求几何体PAB1

23、C1的体积【分析】（1）四边形PBO1D中，由已知证明PO1与BD的交点O为PO1的中点，也是BD的中点，可得四边形PBO1D是平行四边形，故PBDO1，再由直线与平面平行的判定可得PB平面ADO1；（2）连接PC1和AC交于点E，求出三角形PAE的面积，可得三角形PAC1的面积，再由等体积法求几何体PAB1C1 的体积【解答】（1）证明：由已知可得，PO1平面A1B1C1D1，且四棱柱ABCDA2B1C1D1的侧棱与底面垂直，故PO1BB1DD6，即P、B、O1、D四点共面可知，在四边形PBO1D中，PO1与BD的交点O为PO1的中点，也是BD的中点又PB平面ADO1，O1DADO1，（3）

24、解：，连接PC1和AC交于点E，由POEC1CE，得OE，几何体PAB1C6 的体积为20巳知函数f（x）ax2lnx2，g（x）axex4x（1）求函数f（x）的极值；（2）当a2时，证明：g（x）+f（x）0【分析】（1）求导得f（x），定义域为（0，+），再分a0和a0两类讨论f（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性，从而求极值；（2）可将g（x）+f（x）化简为2xex2ln（xex）2，要证g（x）+f（x）0，需证f（xex）0；利用（1）中的结论可知f（x）0恒成立，故而得证【解答】（1）解：f（x）ax2lnx2，f（x）a，定义域为（5，+），当a0时，f（x）0，f（

25、x）在（0，+）上单调递减，无极值；极小值为f（）2（lnaln2），无极大值当a0时，函数f（x）无极值；（8）证明：当a2时，g（x）+f（x）2x2lnx2+2xex7x2xex2x2lnx22xex7ln（xex）2，由（1）知，当a2时，极小值为f（）f（1）2（ln6ln2）0，这也是f（x）的最小值，故当a2时，有g（x）+f（x）021已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x4的距离之比为（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x4于M、N、H（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定

26、点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由【分析】（1）设Q（x，y），由题意列式，化简得答案；（2）（i）证明AB的斜率为0时，H恰为线段MN的中点当AB的斜率不为0时，设直线AB：xty+1（t0），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN中点的纵坐标，即可验证H恰为线段MN的中点；（ii）当AB的斜率不为0时，求出以MN为直径的圆的方程，取y0可得圆过定点（1，0）或（7，0），验证AB的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G（1，0）或（7，0），使得以MN为直径的圆过G【解答】（1）解：设Q（x，y），由题意得：，化简可

27、得动点Q的轨迹方程为：；直线PB：y，得N（2，3）当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：xty+1（t0），A（x1，y1），B（x2，y2），H（4，），同理可得N（4，）线段MN的中点坐标为（4，），即为H点（ii）解：当直线AB的斜率不等于0时，|MN|若存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G，由对称性可知，G一定在x轴上则解得x1或x7当直线AB的斜率等于0时，M（4，3），N（6，3），H（4，0），综上，存在定点G（1，0）或（7，4），使得以MN为直径的圆过G请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡

28、上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）22在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：（0，）交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标【分析】（1）直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A和B的极坐标解：（1）已知直线l

29、：x4，转换为极坐标方程为cos4圆C的极坐标方程为4sin整理得24sin，根据转换为直角坐标方程为x2+y23y0得到A（4sin，），B（），若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，当时，|MN|min2，即最小值为4所以点A（2），B（4）选修4-5：不等式选讲（本题满分0分）23已知函数f（x）+m0恒成立（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+n时，求7a+4b的最小值【分析】（1）由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；（2）可令3a+bs，a+2bt，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值解：（1）f（x）+m|x+1|+|x3|m0m|x+1|+|x2|恒成立，因为|x+1|+|x3|x+1x+3|5，当且仅当13时取得等号（2）由（1）可得n7，即+4，（a7，b0），即有+4，所以7a+4b+2s+t当且仅当st，即b2a时取得等号所以7a+4b的最小值为